Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому Ле Ф О, полагаем Лв = 1. Тогда из а) Аз! — — — ЛУ!. Умножая последнее равенство скалярно на у!, получим, что (Ау!, у!) = -Л(/„у!) = 5 и < О. Отсюда Л > 0 и по условию Ь) (у!, у!) = 1. Таким образом, У! — собственный вектор матрицы А, АЗ! = Л!/! (Л, = — Л), (у!! = 1, Яыы = Л!, Л! — минимальноесобственное значение матрицы А. Обозначим Т ! —— (х Е К" ) (х, 7!) = 0) — надпространство в К". Если ь)(х) =0 т х б Т, то Л = ... = Л„= О, ~п...,,у„— любая ортонормированная система из б!. Пусть г;) х 0 на Т !. Тогла !в на Т ! принимает положительные или отрицательные значения. Для опрелеленности теперь считаем, что () принимает на Т ! положительные значения.
Рассмотрим вторую задачу (Ах,х) — шах; (х,х) < 1, (х,у!> = О. (Рз) Решение х =,Уз задачи (Рз) по теореме Вейерштрасса существует, так как сечение сферы Я плоскостью Х ! является по-прежнему компактом. Функция Лагранжа Л = Лв(Ах, х) + Л((х, х) — 1) + 2р(х, у!). Необходимые условия локального максимума: а) стационарности: Л* = 0 л=ч ЛвАУз+Л~з+ р1! =0; Ь) дополнЯюшей нежесткости: Л((Уз,/з) — 1) = 0; с) неотрицательности: Лв <0 (задача на максимум!), Л > О.
Если Ле = О, то из пункта а) выводим, что Луг + р1! — — О. В силу линейной независимости векторов у! и уз следует, что Л = р = 0 — все множители Лагранжа — нули, а этого быть не может. Поэтому Ле ф О, полагаем Лв = — 1. Тогда из а) Ауз = Луг+ РУ!. Умножая последнее равенспю скалярно на у! и учитывая ортогональность векторов )'! и гз, получим, что (А/з,У!> = Л(уз з!>+ Р(Г!,з!) = р(у!,у!) = и л» (уз,Ау!) = р е» (ГпЛ!Г!) = и с» 0 = и. Умножая полученное равенство Ау! = Луз скалярно на уз, получим, что (АЛ,Л) = Л(УпЛ) = Я,„> О. Отсюла Л > 0 и по условию Ь) (зз,Л) = 1.
Таким образом, Зз — собственный век!ор матрицы А, Ауз = Лзуз (Лз = Л), векторы у! и Гз ортогональны. Далее поступаем подобным образом. Вводим надпространство Тз = (х Е К" ! (х,з!> = О, (х,зз) = О). Если г»(х) = 0 ч х б Тз, то Лз = = Лн = О, Уп,У» — любая ортонормированная система из Тз. Пусть Äà х 0 на бз. Тогда Я на Тз принимает положительные или отрицательные значения. Вновь рассматриваем задачу на минимум или максимум: (Ах,х) — ехп; (х,х) < 1, (х,,Г!) = (х,Уз) =О. (Рз) Решая эту задачу, получаем единичный вектор уз такой, что А)! =Лзз!, )з ортогонально у! и Зз. Поступая аналогично, в итоге придем к ортонормированному базису з !,..., ~н из собственных векторов матрицы А с собственными числами и и Лн При этом лля вектора х = 2 (х, у!) у! имеем Ах = 2; Лг(х, з!)Л и з=! в=! и н л С(*) =(Ах, > =(Ч:Лг(*,Л>Л,Ч.(*,ау,,'> = ~Лг(*,Л>'.
$=! 41 40 Глава !. Экстремальные задачи 3.5. Задачи 54 Выпуклые залачи ф 4. Выиуклые задачи 3.1. х~хзхз — екгг; х~~+х»+х» < !. и и 3.2. 2, 'х — ехгг„2;х" < 1. з=~ п и 3.3. 2 'х! — ~ ел!г; 2;хз < 1. з=! з=я 3.4. ем "— х, — хз — ~ ехгг; х~ +ха < 1, х1 > О, хг 3.5. х, + хз †« ехгг; хз + хз ( 1, х~ > О, зз > О.
2 2 2 Зб. х, +хз+хз — ехгг; х~ -!-хз+хз < !2, х, > О, ? 2 3 3.7. х, +4хз+х, — ехсг; х~+хз+хз ( 12, х, > О, 3 2 2 38. х, +хз+хз — екгг; х| +хз+хз (1, х~ > О, 3.9. 2х, + 2х|+4хз — Зхз - ехгг; 8х~ — Зхз+ Зхз < — 2х1 + хз — хз = — 3, хз ) 0 2 3.10. 2х1 + 2х~ + 4хз — Зхз — елгг; 8х1 — Зхз + Зхз = -2х~ +хз — хз < -3, хз > О. г 3.11.
Зхз — ! !х~ — Зхз — хз — ехгг; х~ — 7хз+ Зхз+ 7 5х, + 2хз — хз < 2, хз > О. 2 3.12. Зхз — 11х~ — Зхз — хз — ехгг; х, — 7хз+ Зхз+ 7 5х~+2хз — хз(2, хз>0. 3.13. х,хз — 2хз -~ ехгг; 2х,-хз — Зхз < 10, хз > О, 3.14. х~хзхз — ехгг; хз > 1, х~ ) 1, хз > 1, х',+ 3. .15. Доказать неравенство для средних степенных > О.
хз 1~ 0~ хз ~ )О. хз 3~0, хз >О. х1 + хз — хз =— з' 40, <О, <О, 3х ~+ 2хз+ хз = 6. хз + хз = 8. 3 ь п < , О<Р<4< путем решения экстремальной задачи и и !х!г- так; ~~~ !х !т =аз (! (р< о, а) 0). .з=! 1=~ Ч хз > О, з = 1,, пз. (— пз 3.15. Д . Доказать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим; Пусть в этом пункте Х вЂ” линейное нормированное пространство (определение линейного нормированного пространства сьз. в $5), для простоты понимания можно считать, что Х = К" — конечномерное пространство. 4.1.
Элементы выпуклого анализа. Сублиффереиииал Напомним определение выпуклого множества. Мнозкество А С Х называется выпуклым, если для любых двух точек а~ н аз из А и любого числа ! Е (О, 1) элемент 1а1+ (! — 1)аз б А. пусть задана функция (функционал) т: х — к: = к ьз ( — ос) гз (+со). Множество ер17 = ((а,х) 6 К х Х ! а > У(х)) в пространстве К х Х называется надграфиком функции /. Функция Т называется выпуклой, если надграфик у — выпуклое множество. Функция Т называется собгтееппой, если Т(х) > — оо зг х и З х +со. Мы будем изучать выпуклые собственные функции.
Для краткости будем называть их просто «выпуклые» функции. Из определения выпуклого множества сразу следует, что функция выпукла тогда и только тогда, когда выполнено церпяеяспзпо Иепсеяа: у(1х, +(1 — 1)хз) (гу(х~)+(! — 1)у(хз) зу х„хз б Х, ЗГ1 Е (О, 1), Выпуклость многих классических функций одной переменной сразу вытекает из следующей теоремы. Теорема 1. [Р, с.42] Пусть функция Т: К вЂ” ~ К дважды непрерывке дифферепцируема (з Е 27~(К)).
Тогда опа выпукла гпагда и гполько тогда, когда ег вторая производпая яеотрицатгльяа (Зп(х) > 0 у х Е К). Приведем несколько примеров выпуклых функций, выпуклость которых сразу следует из теоремы 1 и определения выпуклой функции. !. Т(х) = е'*, а б К. 2. У(х) =!х!г,р>! В многомерном случае (Т: К" — К) выпуклой является аффинная функция Т(х) = (а, х) + Ь, а Е К", Ь б К (выпуклость тривиально следует из неравенства Иенсена). Квадратичная функция Гг(х) = (Ах, х), где А — симметричная матрица, является выпуклой тогда и только тогда, когда матрица А неотрицательно определена.
Это сразу вытекает нз следующего многомерного обобщения теоремы 1. 43 а 4. Вмиуклые задачи Глава 1. Экстремальные задачи Теорема 2. [Р, с.44[ Пусть функция у: К" — » К двалгды непрерывно дифференцируеиа (г Е Ю~(К")) . Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда гг матрица вторых производных (гессиан) нготрицатгльно определена г»( ) * >ОУ ЕК» [ в1бо х, х зь О, 0~(х) = ] [-1, 1], х = О.
Выпуклыми функциямн многих переменных (функционалами) являются следующие функции: 1. Функция нормы » ц У(~) =: [[х[[, = ~ 2 [ху!'), 1 < р < ~. 2. Индикаторная функция выпуклого множества А С Х бА(х) т ( 3. Функцил Минковского выпуклого множества А С Х О, ахЕА ча>0; рА(х) = +ос, ах к А ч а > 0; пно(а >0! а 'х Е А), иначе. 4. Опорная функция непустого множества А С Х вА(у) = тах(у, х) »ел Дадим определение важного понятия выпуклого анализа — понятия субдифференциала функции, обобщающего для выпуклых функций цонятие производной в гладком анализе. Субдиффгргнциалом выпуклой функции Г в точке х называется следующее множество в сопряженном пространстве Х': ду(й) = (у Е Х' ! (х — У, у) < ~(х) — У(У) Ч х Е Х). Напомним, что сопряженным пространством Х' называется пространство линейных непрерывных функционалов на Х.
В случае Х = К" сопряженное пространство (К") = К". Из определения сразу вытекает, что субдифференциал — выпуклое множество в Х'. Легко доказать, что оно замкнуто. Сублифференциал дифференцируемой функции совпэлает с ее производной. Для функций одного переменного субдифференциал ду(У) — зто совокупность угловых коэффициентов й, при которых прямые у = йх+Ь, проходящие через точку (Х, у(х)), лежат нод графиком функции у = У(х). Пример. у(х) = [х!. (см. рис.
6). для субдифференциала суммы функций имеет место теорема аналогичная теореме о производной суммы функций. Рис. 6. Теорема Моро — Рокафеллара. [Глава 6, Введение] Пусть Г1 и Гз— выпухлыг функции иа Х. Существует точка ь, х „в кото й функция У1 конечна (ф(хь)! < оо), а функция гз непрерывна. Тогда д(~1 + ~з)(х) = 01~(х) + д~з(х) У х. Теорема Моро — Рокафеллара иногда формулируется для сублиней- ных Функций.
Функция р называется сублиивйиой, если а) р(Лх) = Лу(х) лля любого Л > О, для любого х Е Х; Ь) р(х~ + хз) < р(х~) + р(хз) для любых хи хт Е Х. О о, что сублинейная Функция является выпуклой. Выпуклая функция не обязана быть сублинейной. Нетрудно видеть, адграф сублинейной функции — выпуклый конус. Теорема.,Пусть рн рт — сублинейные функции, функция Р1 непрерывна, функция рз замкнута. Тогда в точке х = 0 0(р, +р,) =др, +др,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
