Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Надо применить теорему о среднем к отображению В(х) = Г(х) — Л. Следствие 2. Пусть Х, К вЂ” линейные нормированные пространство, отображение Р: Х вЂ” Т дифференцируемо по Гота в некоторой окрестности точки й, отображение х — у(;(х) непрерывно в точке й, Тогда отображение г строго дифференцируемо в х. Доказательство. В силу непрерывности отображения х — уо(х) для любого е > 0 найдется такое б > О, что Ц /о(х) — го(х)Ц < е при Цх — хЦ < б. В силу выпуклости шара В: = В(х, б) = (х [ Цх — хЦ < 6) из условия х„хг б В следует, что [хп хг] б В. По следствию 1 теоремы о среднем с Л = /о(л) Цу(х1) — у(хг) — уо(х)[х1 — хг[Ц < < пгах Ц Го(х) — уо(х)Ц Цх, — хгЦ < еЦх, — хгЦ, *Е(аь аг) что означает строгую лифференцируемость отображения Г в точке х.
° Ц 5. Элементы функционального анализа Следствие 2 показывает, что при проверке дифференцируемости конкретного функционала достаточно локазать существование производной Гаго и проверить ее непрерывность. Это гарантирует строгую дифференцируемость и тем более сушествование производной Фреше. 5.3.4. Теорема о полном дифференциале Теорема. Пусть Х, г; Я вЂ” линейные нормированные пространства, отображение Р: Х х гг — Я имеет в кождои точке (х, у) иэ некоторой окрестности точки (х, у) б Х х Г чостяые производные Ра(х, у) и Р„(х, у) в смысле Гота, являющиеся непрерывными в точке (х, у).
Тогда Р б БВ(х, у) строго дифференцируемо в той лсе точке и при этом Р (х, у)Ы,«)] = Ра(х, у)[Я + Рт(х, у)[г(]. Доказательство. В силу непрерывности отображений Р (х, у) и Рт(х,у) в точке (х,у) для любого е > 0 можно найти б > 0 такое, что для любой точки (х, у) из «прямоугольной» окрестности )г: = В(х,б) х В(у, 6) точки (х, У) выполняются неравенства ЦР (х, у) — Р (й, у)[! < е, ЦРт(х, у) — Рт(В, О)Ц < е, (») Легко видеть, что если точки (хпу(), (хг,уг) лежат в )г, то и точка (хг,у,) б )г и, более того, оба отрезка [(хпу~),(хг,у~)], [(хг,у~),(хг Уг)] содержатся в У.
Поэтому отображения х — Р(х,у1) и у Р(хну) дифференцируемы по Гато: первое отображение имеет произволную Р,(х, у~) на отрезке [хи хг], второе Р„(хг, у) на (у„уг]. Применяя следствие 1 теоремы о среднем к этим отображениям, получаем в силу (») ЦР(хну~) — Р(хг,уг) — Р (х, у)[х1 — хг] — Рг(б,у)[у| — уг]Ц = = ЦР(х~ у1) — Р(хг,у1) — Ра(й,у)[х| — хг]+ + Р(хг1 у~ ) Р(хг уг) — Ре(* у)[у( — уг] Ц < шах [[Р,(х, у|) — Р,(х, у) Ц Цх| — хгЦ + ас(а»ад + шах [[Рт(хг, у) — Рт(х, у) Ц Цу~ — угЦ < те(у»тд) < еЦх~ — хгЦ+еЦу~ — угЦ дла любых (х„У,),(хг, Уг) б (г, что и означает стРогУю диффеРенциРУемость отображения Р в точке (х,у). 62 Глава !.
Экстремальные задачи БЗ Ц 5. Элементм функционального анализа 5.4. Дополнительные сведения из алгебры н функционального анализа В этом пункте приводятся дополнительные сведения из алгебры и функционального анализа, которые понадобятся для доказательства теорем об условиях экстремума в гладких экстремальных залачах в норм и рован н ых пространствах. Определение.
Аннулятором А' множества А линейного нормированного пространства Х называется множество линейных непрерывных функционалов х', для которых (х*, х) = 0 ч' х б А: А: = (х' 6 Х* ! (х', х) = 0 т х Е А). Отметим, что А~ всегда содержит 0 Е Х'. Лемме о нетривиальности аниупвтора. Пусть Ь вЂ” замкнутое собственное (Ь ф Х) надпространство линейного нормированного пространства Х.
Тогда аннулятор Ь~ содержит ненулевой элемент х' Е Х'. Доказательство. Возьмем произвольную точку х Е Ь. По второй теореме отделимости существует линейный непрерывный функционал х' Е Х', строго разделяющий х и Ь (Х вЂ” подпространство линейного пространства и, следовательно, выпукло) щах (х", х) < (х', х) . нес Если бы существовало хэ б Б, лля которого (х',хе) ге О, то поскольку охе Е Ь дла любого а б Н, было бы щах(х',х) > щах(х,ахо) =+сю. гас не а Это не так. Следовательно, (х', х) = 0 у х Е Ь н, поэтому х' б Ь~.
° Далее нам понадобятся следующие две теоремы из функционального анализа. Теорема Банаха об открытости. (ГГ, с. 109! Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, Л вЂ” непрерывный линейный оператор из Х в У, являющийся нл эпиморфизмом (Л: Х вЂ” У). Тогда образ каэкдого открытого множества в Х открыт в У. Теорема Банаха об обратном операторе. (КФ, с.2!3! Пусть Х, У— банаховы пространства, Л вЂ” непрерывный линейный оператор иэ Х в У, являющийся эпиморфиэмом и КегЛ = О.
Тогда существуют обратный оператор Л: У вЂ” Х, так же линейный и непрерывный. Лемма Банаха. (ГГ, с. 109! Х вЂ” линейное нормированное пространство, хв б Х. Тогда существует линейный непрерывный функционал х' Е Х' такой, что Цх'Ц = 1, (х', хв) = ЦхэЦ. Лемма Банаха является следствием из известной теоремы Хана— Банаха о продолжении линейного функционала. Лемма о правом обратном отображении. Пусть Х,У вЂ” балахоны пространства, Л вЂ” непрерывный линеиный оператор из Х в У, являющийся эпиморфиэмом.
Тогда существуют отображение М; У вЂ” ~ Х (вообще говоря, разрывное и нелинейное) и константа С > 0 такие, что Л.М = Т„ЦМуЦ < СЦуЦ У у Е К Доказательство. Обозначим Вх. .= (х б Х ! ЦхЦ < 1) — открытый шар в Х радиуса 1. По теореме Банаха об открытости образ открытого множества ЛВх содержит открытый шар бВг. '= (у Е У ! ЦуЦ < б), т.е. лля любого у Е бВг найдется х(у) такой, что Лх(у) = у, Цх(у)Ц < 1. г бу 'г 2ЦуЦ Обозначим Му: = х~ — ) —. Тогда из определения М имеем: = ~2ЦуЦ~ б Ло Му = Л х( — ) — ! = — = у, ЦМуЦ < -ЦуЦ. г бу х 2ЦуЦХ бу 2ЦуЦ 2 2)!уЦ б ) 2ЦуЦ б ' б Лемма о замкнутости образа.
Пусть Х, У, Я вЂ” банаховы пространства, А: Х вЂ” + У, В: Х вЂ” Я вЂ” линейные непрерывные операторы, надпространство 1щ А замкнуто в У, надпространство ВКегА замкнуто в Х, С: Х вЂ” У х Я, Сх: = (Ах, Вх). Тогда С вЂ” линейный непрерывный оператор и надпространство 1гп С замкнуто в У х Я. Докаэатвльство.
Очевидно, что оператор С' линеен и непрерывен. Докажем замкнутость его образа. Замкнутое полпространство У = 1щ А банахового пространства У вЂ” банахово и по определению А: Х вЂ” У— эпиморфизм. По лемме о правом обратном отображении существуют оператор М: у -~ Х и константа К > 0 такие, что А о М = 1у, ЦМуЦ < КЦуЦ у у Е У. Пусть (у, х) Е 1щ С приналлежит замыканию образа оператора С.
Это означает, что найдется последовательность (х„)„р| такая, что у = !пи Ах„б у, х=!ппВх„. Положим Й„: =М(Ах„— у), зн-' тВ(х„— Ь„). Тогда по свойству оператора М, получим: ЦЬ„Ц = !)М(Ахи — у)!! < КЦАхн — уЦ вЂ” ~ О, 65 (4) Р'(х)(ь;» ~ — ь;) + Р(ь») = О, (5) (5') 3» м Глава 1. Экстремальные задачи А(х„— й„) = Аа„— А(М(.4х„— у)) = Ах„— (.4х„— у) = у. Поэтому, Вбь - 0 и 1ппз„= 11п»В(хь — бь) = 1ппВхь т з, т.е.
а принадлежит замыканию множества Е = (1 = Вх ! Ах = у). Это множество, как легко видеть, является сдвигом подпространства ВКегА, следовательно, замкнуто. Итак, г Е Е = г.. Это означает, что существует х Е Х: Ах = у, Вх = з, т.е. (у, к) Е 1гп С. Лемма об аннулаторе ядра регулярного оператора. Пусть Х, У— банаховы нространства, А: Х У вЂ” линейный непрерывный элиморфизм. Тогда (КегА)" =!гпА'. Доказательство. А) Докажем, что 1щА' С (КегА) .
Возьмем х' Е 1щА' с» х' = А'у'. Тогда (х, х) = (А'у', х) =' (у', Ах) = 0 у х Е КегА. Значит, а' Е (КегА), т. е. 1гпА' С (КегА) В) Докажем, что (КегА) С !го А'. Возьмем х' Е (КегА), т.е. (х',х) = 0 ч х Е КегА. Применим лемму о замкнутости образа для пространств Х, У, Я = К н отображений А, Вх: = (х',х). Условия леммы выполняются: подпространство 1гпА = У замкнуто в У, подпространство ВКегА = (х', КегА) = 0 замкнуто в Я = К.
По лемме о замкнутости образа гюдпространство 1п»С' = 1гп(А,х ) замкнуто в У х Я = У х К. Подпространство 1гп(А,х') является собственным, так как точка (0,1) б !щ(А,х*) (если Ах = О, то (х*,х) = 0 ~ 1). По лемме о нетривиальности аннулятора замкнутого собственного подпространства существует ненулевой линейный непрерывный функционал (у', Л) Е (1щ (А, х*)) Е (У х К)' = У' х К такой, что ((у', Л), (Ах, (х", х)) ) = О ч=ь (у', Ах) + Л(х', х) = 0 с=» (А'у',х) +Л(х',х) = 0 с=» (А'у*+ Лх',х) = 0 Ч х Е Х. Но Л ~ 0 (ибо иначе (у*,Ах) = О Ух Е Х к.» у' = 0 — противоречие).
Тогда х' = А'( — "„-) Е !из А", т. е. (КегА)~ С !гп А'. Теорема об обратном отображении. Пусть Х,К вЂ” банаховы щюстранства, Р: Х Я, Р(х) = б. Если Р Е ЯР(й) и Р'(х) является зпиморфизмом, то существуют обратное отобразкение Р: Йг С Я вЂ” Х некоторой окрестности $т' точки 3 и константа К > 0 такие, что Р '(й) = б и Р(Р (ю)) = з, (!Р (е) — Р (З)Ц < КЦл — Е(! У 3 Е 14г. % 5. Элементы функционального анализа Теорема Люстерннка. Пусть Х, Я вЂ” балахоны нространства, Р. Х вЂ” Я, Р Е ЯР(х), Р'(х) является злииорфизмом. Тогда существуют ют отобрахсение»р: 11 С Х Х некоторой окрестности 1Г точки х и число К > 0 такие, что Р(х+ р(х)) = Р(х), ~!за(х)Ц < К11Р(х) — Р(х)11»г х Е ьг.
Докаэательстао этой теоремы основано на модифицированном методе Ньютона. А) Не ограничивая общности, считаем, что х = 0 и Р(х) = О. » ьь По лемме о правом обратном операторе для оператора Р (х): Х вЂ” В существуют отображение М: Я вЂ” » Х и константа С > ! такие, что Р'(й) а М = 1з, ЦМа!! < С)(з!! У к Е Х. Р Е ЯР(х), поэтому для е = —,', существует 6 > 0 такое, что )(Р(х') — Р(хь) — Р'(я)(х~ — х ))~ < — цх — х ц (1) при цх'ц < б /!хьц < б Отображение Р Е ВР(х) поэтому Р непрерывно в некоторой окрестности нуля. Выберем б' столь малым, чтобы ЦхЦ+ ь С!!Р(х)ц < г при (!х(! < б'. Положим для х Е Ег: =В(0, б') с +3 ч М(Р(сь)) и > О ьа — х.
(2) В) Докажем по индукции, что Цбь!! < б ч' и > О. Очевидно, что !КаП = ЦхЦ < з. При я = 1 из (2) получаем оценку Цб~ — хЦ = 11МР(х)11 < С11Р(х)11, (З) ,а~!сЦ<г Пусть Щ! < б при ь = 0,1,...,й (й > 1). Выведем отсюда, что (!аьь»!! < б. Для ь = 0,1,...,й из (2) имеем !!ьг+» — б;Ц = 11МР(с,)11 < С(1Р(б,)11 = = СЦР(бг) — Р(сг,) — Р'(й)(гг — Р;,)!( < ! !!Ег — Рг,(! ~ 1 1з1 ! б 1 !!б„» 1,(! < ~!Е, хЦ < СЦР(.
)Ц <,, ь 67 66 Глава !. Экстремальные задачи то т.е. Л Е ТлМ ~ КегР'(х) С ТлМ. Отсюда в силу неравенства треугольника получаем !Кь ы П = 1Кь+ ~ — 6ь + 6ь — 6ь- ! + " + (з — 6 + 6 П < < 1Кьм — сьП+ Ыь — чь-1П+" + 1Кз 6П+ Ы!П < д/! ! 1г д < — ~ — + — +... +-) + — < д. 2~2ь 2ь ' 2) 2 Таким образом, мы получили, что Ыь, ~П < д, откупа по нндукпни следует, что Ы„П < д 'т' и ) О. С) Из неравенств (5),(5') следует, что !Кч и» вЂ” 61П = 1Кьл~ — альт-~ + 6ььа-! — 6 чт-з+ " + 6ч ~-~ — 6нП»< Ыч+и 6чьы-~П + !Кь+и-! й ч и — з!! + + 1Кч+~ 61П »< / ! 1 < Ы- - 6.П ~ =, + =, + " + ! < < 2!Кь.„~ — 6ьП < 2 "1К! — хП вЂ” 0 при и — оо, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
