Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 13
Текст из файла (страница 13)
73 72 Глава 1. Экстремальные задачи Доказательство. Определим отображение б 7. Гладкая задача с равенствами 7.3. Необходимые условия П порядка Очевидно, что отображение У б 80(х) и производная Фреше У (х) = (У'(й), Р'(й)); Х К х У. Возможно одно из двух: образ 1гп У'(х) совпадает или не совпадает со всем пространством К х У. А) Вырожденный случий: 1гпУ" (х) ф К х 1г, К отображению Уч(й) применим лемму о замкнутости образа.
Образ 1гп Р'(х) замкнут по условию, образ Т'(КегР'(й)) есть либо О, либо К, т.е, замкнутое подмножество в К. Значит, по этой лемме образ 1пгУ"(х) замкнут в К х У. Так как он не совпадает с К х У, то 1гпУ"(х) — собственное замкнутое подпросгранство. По лемме о нетривиальности аннулятора существуют число Ль и функционал у' Е У', не равные нулю одновременно и такие, что, (Ль,у ) Е (1шУ (х)) . Значит, ((Ло, У ), 1пг У"(х)) = 0 е==ь ((Ль, у*), У (Е)[Ь[) = О чг 1г с Х е=,, ((Ля~ У )~ ((У (Е)~ Ь) Р (х)[Ь[)) = 0 у Ь б Х (Лог (х) Ь) + (У, Р (х)[Ь[) = 0 у Ь Е Х А зто и есть условие стационарности. В) Невырожденный случай: 1шУ"(х) = Кх У. По теореме об обратном отображении существуют отображение У' '. Иг С К х У вЂ” Х некоторой окрестности Иг точки (Л,у) ((О,О) = (0,0)) и константа К > 0 такие, что У' '(Л,у) = х, У(У (а,у)) =(а,у), [/У (а,у) — У (о,у)Ц <К[[(а,у) — (а,У)Ц л=ь ЦУ' '(а,у) — хЦ <КЦ(о,у)Ц 1г (о,у)Е Иг.
Положим х(е) = У ~(е,О) для достаточно малого по модулю е. Тогда У (х(е)) = (е, 0) ч=ь Т(х(е)) — /(й) = е, Р(х(е)) = О, Цх(е) — х[[ = [[У' (е,О) — х[[ < КЦ(е,О)Ц = К[с!. Из этих соотношений следует, что вектор х не доставляет в задаче экстремума, ибо вблизи его существуют допустимые векторы х(е), на которых функционал Г принимает значения как большие так и меньшие чем Т(Е). Получили противоречие с тем, что х Е 1осехПР.
Таким образом, невырохгденный случай невозмо:кен, и тем самым теорема доказана. Теорема. Пусть х Е 1оспцп Р— точка локального минимума в зада(р), Х У вЂ” балахоны пространства (условие банаховости), функцигь и отобрагкение Р имеют в точке х вторые лраизводные Фрете ,талл ио 3 (г Р б П (х)) (условие гладкости), 1гпР (х) = У (условие регулярности). Тогда существует множитель Лагрангка — функционал у' Е У* такой, что для функции Лагранжа с многкителем Пагранжа Ль = 1 нгд чи (Р) Л(х) = Т(х) + (у', Р(х)) выполняются условия стациоиарности: Л (й) = 0 ( еь Т'(х) + (Р'(х)) у' = 0) и неатрицательиости; Ль(х)[Ь,Ь[ > 0 у Ь Е КегР'(х). (2) Доказательство. Условие стационарности (1) с множителем Лагранжа Л =! вытекает из правила множителей Лагранжа лля гладкой задачи ь= с равенствами и замечания к нему (см.
предыдущий пункт). Возьмем Ь Е Кег Р (х). Тогда по теореме о касательном пространстве КегР'(х) = ТлМ, где М = (х Е Х [ Р(х) = Р(х) = О). Следовательно, Ь Е ТлМ и, значит, существуют е > 0 и отображение т [-е; е[ — Х такие, что Р(й+ 1Ь + г(1)) = 0 !Г 1 Е [ — е; е[ и [[г(1)[) = о(1) при 1 — О. Таким образом, х+ ГЬ+ г(1) — допустимый элемент в задаче (Р) при 1 Е [-е; е[ и„так как х Е 1осппп Р, то Т(х) < Т(х + ГЬ+ г(1)).
Поэтому по определению функции Л и по формуле Тейлора Т(х) < Т(х+ ГЬ+ г(1)) = Л(й+ 1Ь+ г(1)) — (у',Р(й+1Ь+ г(1))) = 2 = Л(х) + Л (х) [1Ь + г (1)) + — Л" (х) [1Ь + т(1),1Ь + г (1)] + о(1г) = 1г = у(й)+ '— Ль(й)[Ь,Ь[+ о(1'). 2 Отсюда 1г — Ль(Е)[Ь,Ь[+О(1 ) > >0 2 при малых 1. Разделим обе части последнего неравенства на ! и устремим 1 к нулю. Получим Ль(й)[Ь,Ь[ > О.
74 Глава 1. Экстремальные задачи 8.1. Постановка задача Ль(й)[И, И] > аЦЛЦ~ У Л б КсгР'(й) Л(х) —,> Л Л(х) + (У Р(х)) г=ь еыполняютсн условия: а) стационарности: н) дополняющеи нежесткости Л,Г,(й) =О, з= 1,".,гп; с) неотрицательности: Л! > О, з = О, 1,..., »з. 7.4. Достаточные условия 11 порядка Теорема. Пусть вмпалняютсл условия гпеоремы о необходимых условиях П порядка (банаховость, гладкость, регулярность, стационарность для функции Лагранжа Л(х) = Г(х) + (У', Р(х)) с множителем Ль = 1) и для некогпорого о > 0 выполнятся условие строгой положительности: Тогда х Е !оспин Р— точка локального минимума в задаче (Р).
Докаэагольотао. Применяя лемму о правом обратном операторе к отображению Р'(х): Х вЂ” 1', построим оператор М: 1' — Х такой, что Р'(й) ь М = 7~, ЦМуЦ < СЦуЦ ХГ у б У Возьмем ЦИЦ < б н х + И вЂ” допустимый элемент в задаче (Р(х+ й) = О). Положим Иг = М(Р'(х)[И]) н обозначим И, = Л вЂ” Иг. Тогда Р'(х)[И,] = Р'(х)]И вЂ” Иг] = Р'(х)[И] — Р(й)М(Р'(х)[И]) = Р'(Я)[Л] — Р'(х)[Л] = О.
Значит, Л| Е КегР'(х). По формуле Тейлора О = Р(х+ И) = Р(й) + Р (Е)[И]+ -Рл(йий, И]+ о(ЦИЦг) Отсюда сушесгвует б > 0 такое, что ЦР'(я)[ИЦ! < С~ЦИЦ У ЦИЦ < б. Поэтому ЦЛ»Ц = ЦМ(Р'(х)[И])Ц < СЦР'(х)[И]Ц < СС~ЦИЦ~ < СС~б[]И]! = сЦИЦ прн е = СС,б н ЦЛЦ вЂ” ЦЛ»Ц < Ц!г, Ц = ЦИ вЂ” !»гЦ < ЦИП -1- ЦйгП с» (1 с)ЦИЦ < НИЗ Ц < (! + с)ЦИЦ Вновь по формуле Тейлора у(; + И) = Л(Е + Л) = Л(й) + Л (й)[И] + -' Лл(й)[И,И] + О(ЦИЦ') = = У(й) + -Ль(й)[Л,И] + (ПЬП').
Отсюда, обозначая В: = Цль(Я)Ц, имеем у(й + и) — у(я) = -ль[и, + ь„и, + и,] + (ПЛП') = 2 = — (Ль[Лнй,] -1- 2Л" [йн Иг] + Ль[йг, Иг]) + о(ЦЛЦ ) > > — (аЦИ~Ц вЂ” 2ВЦИ<Ц ЦйгЦ вЂ” ВЦИгЦ ) + о(ЦЛЦг) > > -ЦЛЦ~(а(1 — е) — 2В(1+ е)с — Ве') + о(ЦйЦ') > 0 при достаточно малых е > 0 (при е = 0 множитель в круглых скобках равен а > 0). Из последнего соотношения следует, что й б 1осгп!и Р.
° П 8. Йгадкая эаляча с равенствами и неравеястаамн ф 8. ййадкая задача с равенствами и неравенствами Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства. Отображение Р: Х вЂ” У, функционалы Г; Х вЂ” В, з = О, 1,..., гп, обладают некоторой . Гладкой экстремальной задачей с ограничениями типа равенств и неравенств в нормированных пространствах называется следующая задача: га(х) — ш1п;,1г(х) < О з = 1,...,»ь, ( ) 8.2. Необходимые условия 1 порядка Теорема (правило множителей Лагранжа).
Пусть х Е 1осшшР точка локального минимума в задаче (Р), Х, У вЂ” банаховы пространства (условис банаховости), отобразкенил Р, Г, Е БВ(х), з = 0,1,...,»г,— строго дифференцируемы в точке х (условие гладкости), 1шР'(х) замкнутое надпространство в У (ослабленное условие регулярности). Тогда существуют мнозкители Лагранжа — вектор Л = (Ль, Лн..., Л ) Е ам"' и функционал У' Е У* не равные одновременно нулю, (Л,У') ф О, и такие, что для функции Лагранжа задачи (Р) л'(е) = о (" е»~л.у!(й)[и]+(У* Р(е)[л]) =Оч йбх с») лгу (х)+(Р (х)) У =0) г=е в=ь Глава 1. Экстремальные задачи 76 Доказательство. Можно считать, что Уе(х) = О, иначе рассмотрим функцию Ув(х) = зе(х) — уе(х).
Если Ут(х) Ф 0 при 1 < т < пт, то отбросим эти ограничения, поскольку для локального экстремума ограничения У,(х) < 0 несущественны и полагаем Л; = О. Таким образом, можно считать, что условия дополняющей нежесткости уже выполнены. Л) Вырожденный случай. 1щР'(й) Ф У. Тогда 1щ Р'(х) есть замкнутое собственное надпространство У. По лемме о нетривиальности аннулятора существует ненулевой функционал у' Е (1тпР'(х)) С У' такой, что (у, у) = 0 у у Е 1щ Р'(х) е» (у', Р'(хНИ!) = 0 тт И Е Х с» (Р'(х)) у" = О. Остается положить Лт = О, т = 0,1,...,пз, и приходим к утверждению теоремы. В) Невырожденный случай.
1птР'(й) = 1', т.е. оператор Р'(х) отображает пространство Х на все У. Положим для 0 < !с < пт Аь= (И](гг'(х) И) <О, 1=И,И+1 Р( )[И] ) Очевидно, что Ае С А~ С ... С Аы. Ламма ! (основная). Ав — пустое множество. Докааагальетао. Предположим противное, т. е. Аа ~ о. Тогда существует вектор И Е КегР'(х), для которого (з,'(х), И) < О, т = О, 1,...,пз. По теореме о касательном пространстве КегР (х) = ТвМ, где М = (х Е Х ] Р(х) = Р(х) = 0) . Значит, существует отображение г: [-в, е] — Х (е > 0) такое, что Цг(!)Ц = а(1), й+!И+с(1) Е М С» Р(х+!И+»(!)) =0 У ! Е [ — е, е]. (1) При малых ! > 0 имеем неравенства Л(х+ !И+с(1)) = Цй) +1(92),И) +а(!) < О, т = 0,1,...,пт, (1,) Соотношения (1) и (1;), т = 1,...,т, означают, что при малых т > 0 элемент х+!И+г(!) допустимый в задаче (Р).
Но при этом неравенство (! е) пРи малых т .. 0 пРотивоРечит томУ, что й Е 1осппп Р. С) Ламма 2. Если А, есть пустое множества, та длл задачи (Р) верен приннип Лагранжа. Доказательство. Поскольку А = (И ] (У' (й), И) < О, Р'(х)[И] = 0) = о, то (2' (й),И) = 0 у И Е КегР(х), т.е. )ы (й) Е (КегР'(й)) . Так как по лемме об аннуляторе ядра регулярного оператора (КегР'(х)) = !щ(Г'(х)), то У' (х) Е 1щ(Р'(х)) и, значит, существует у' Е У', для которого у,'„(х) + (с" (х)) у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
