Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 10
Текст из файла (страница 10)
5.2.5. Строгая лифференцируемость Во многих задачах конечномерного и бесконечномерного анализа дифбзеренцируемости по Фреше в точке недостаточно для получения содержательного результата. Это побуждает к следующему усилению дифференцируемости в точке. Пусть отображение у дифференцируемо по Фреше в точке х. Оно называется строго диффереицируемым в точке х (при этом пишут у б БР(х)), если лля любого е > О найдется такое 6 > О, что для всех х, и хз, удовлетворяющих неравенствам Цх| — хЦ < 6, Цхз — йЦ < 6, выполнено неравенство ]!У(х ) — У(хг) — У'(й)[х — хзП[г < вЦх — хзЦх 5.2.6. Часгнме производные Пусть Х, У, Я вЂ” нормированные пространства. Рассмотрим отображение Е: Х х У вЂ” Х, (й,й) б Х х У. Если отображение х— Е(х,у) дифференцируемо в точке х по Фреше, то его производная называется частной производной по * отобралсепия Е в точке (х,у) др,1х,51 и обозначается Р'(х,ф) или ™.
Аналогично определяется частная др (*,У) пРоизводнаЯ по У Рз(х, У) = — зд — ' —. у 5.2.7. Производные высших порядков Дадим теперь определение второй производной Фреше. Если отображение у: Х вЂ” у диффсренцируемо в каждой точке х б Х, то определено отображение х — У'(х) пространства Х в пространство Е(Х,У). Поскольку о(Х, У) также является нормированным пространством, то можно ставить вопрос о существовании второй производпой У'(й) = (У')'(х) б Е(Х,ЦХ,У)). для Л, б Х оператор уп(й)[Ь,] б ЦХ,У).
Возьмем Лз б Х,. тогда опРеделено Уч(й)[ЬнЛз] = Уч(й)[Ь!ЦЬз] б У. Таким обРазом, опРеделено линейное по каждому аргументу отображение ув(х); Х х Х вЂ” у. Аналогично определяются производные высших порядков. Теорема (о смешанных производных). [АТФ, с. 156.] Если отобралсе"ив У б Р~(к) двазкды дифферепцирувмо в точке х, то У (й)[Лндз] = У (й)[Лз,Л|] ч Лндз б Х. Замечание. Можно считать, что отображения определены не на всем пространстве, а в окрестности рассматриваемых точек. 57 56 Глана 1. Экстремальные задачи 5.3.!.
Теорема о суперпозиция 1 1:К- К, Г(х)=хфп —, х=О. 1'(Е) = ф'(й) с р'(й), уо(Е) = ф'(у) с уо(Е), бХ(й,й) = ф'(у)[бОэ(х,!л)] У Ь б Х. х =х х >О О, в остальных случаях, Следовательно, 5.2.8. Контрпрнмеры на дифференцнруемость Приведем несколько контрпримеров, показываюших, что введенные понятия дифференцируемости действительно различны. Пример 1. Непрерывная функция не имеет в фиксированной точке производной ни но какому направлению: Пример 2. Непрерывная функция имеет в фиксированной точке производную по всем направлениям, но не имеет в этой точке вариации по Лагранжу: ~: К вЂ” 1 К, 1(х) = [х), х = О. Пример 3. Отображение имеет в фиксированной точке вариацию по Лагранэку, непрерывно в этой точке, но не имеет в этой точке производной Гата.
Определим отображение в полярных координатах х = (хпхэ) = (г сов уз,гмии) по формуле: ~: К К, ~(х) = гсозЗЭэ, а = О. (Нетрудно проверить, что вариация по Лагранжу бу(х, й) не является линейным оператором по 1л.) Пример 4. Отобраэкение Г имеет в фиксированной точке производную Гата, но не имеет в этой точке производной Фреше: (бэ(х, й) = О ~ производная Гата до(х) = О, отображение Г разрывно в точке х = (О,О). Функция, дифференцируемая по Фреше, непрерывна в точке дифференцируемостн (легко следует из определения).) Пример 5.
Функция имеет в фиксированной точке производную Фреше, но не строго дифференцируема в этой точке: У:К-К, У(х)=~х' хпаци " '"' й=о. ( О, иррационально, (Эта функция имеет разрывы в любой окрестности нуля, а строго дифференцируемая функция непрерывна в некоторой окрестности й,) Ц 5. Элементы функнионального анализа 5.3. Некоторые теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах Приведем несколько теорем, наиболее часто используемых для решения экстремальных эалач. Теорема. Пусть Х, У, Я вЂ” линейные нормированные пространства, р. Х вЂ” !г, ф: У вЂ” Я, р(х) = у, Г = ф ь !о: Х Я вЂ” суперпозиция отображений р и ф.
Тогда, если ф дифференцируемо по Фреше в точке у, о р в точке х дифференцируемо по Фреше (дифференцируемо по Гата, имеет вириоцию но Лагранжу), пю 1 обладает в точке х тем же свойством, что и ьэ, и при этом соответственно Если ф б ЯО(у) строго дифференцируемо в у, а р б Ялг(х) строго дифференцируемо в х, то Г б ЯО(х) строго дифференцируемо в х. (Теорема о суперпозиции не имеет, вообше говоря, места, если ф аифференцируемо лишь по Гата.) Доказательство.
Рассмотрим подробно два крайних случая вариацию по Лагранжу и строгую дифференцируемость. А) Вариация но Лагранэку. По определению производной Фреше в точке у ф(у) = ф(у) + ф (у) [у — й) + о(у — у). бТ(х,й): — Лш Г(е+ лй) — г (х) ф(р(Я+ лЦ) — ф(у) — 11е л-о Л л-о Л ф (у) [ р(Е+ Лй) — у] + о(!О(х+ Лл) — у) = 1пп л-о Л =ф (у) 1нп р(х+Л!г) — у1 о(!о(х+Лй) — у) [ ~ +1пп л-о Л ~ л-о Л =ф (р) [бОэ(х,Ц]+ 1|гп „„!нп о(чг(х+ Лй) — у) Цьэ(х+ Лй) — уЦ л-о Цчэ(х+Лй) — уЦ л о Л =ф (у)[бр(х,!л)]+О. Цб!о(х,д)Ц =ф(у) [б!э(х. Ц].
Ц 5. Злемеиты фуиквиаиальиого анализа 58 Глава 1. Зкстремаяьиые задачи что и доказывает формулу для вариации по Лагранжу суперцозиции отображений. В) Строгая ди44гренцируемость. Так как р Е $Р(х), ф Е ЯР(Я, то для любых е! > О, сз > О, найдугся такис 6! > О, бз > О, что из неравенств Цх! — ЗЦ ( б,, Цу! — ОЦ < 6», 1 = О, 1, следуют неравенства ]]р(х!) — !р(хз) !р (х)[х! х»[[1» ч е»Цх! х»Цх.
(1) Цф(У!) — 4(У») — 4 (]))[У! — Уз][]» ( е»ЦУ! — У»Ц»' (2) б! 6» Положим 6 = ппп1 ' 1. Если теперь Цх; — дЦ < б, » =0,1, Ье»+] (.)цг то в силу (1) []у»(х!) — !р(хз)Ц ~ (е»ЦХ! — х»Ц + Цу! (х)[х! — х»]Ц ~( ( (е! + []!р'(х)Ц) Цх! — х»Ц. (3) Полагая в этом неравенстве поочередно х! = х, » = О, 1, получаем ]]у»(х;) — р(й)][ = Цу»(х!) — УЦ ( (е! + []!р'(Й)]])б ( бз. Значит, для у! = р(х;) справедливо неравенство (2).
По неравенству треугольника дхя норм []» (х!) — г (х») — 4 (»>) 1!р (й)[х! — Хз]] Ц ~ (Цф(»о(х!)) — 4(З»(х»))— ф (У)»Р(х!) — т(х»)] [] + Цф (»>) »р(х!) »р(хз) — р (х)[х! — хз[] Ц ( ( е»Ц»»(х!) 'Р(х») Ц + Цф'(]>) [] . Ц р(х!) — х(хз) — »о(й)[х! — хз]Ц ( (»>,1!> ( г»(с! + Ц!р (й)Ц) Цх! — х»Ц + []4(О)]]е»Цх! — х»Ц = = (е»ез+ ез[[т' (»)Ц + е! []4 (4)Ц)Цх! — Х»Ц ч еЦх! — х»Ц это и означает, что Г Е ЯР(х).
Действительно, для любого е > О подберем е! > О, ез > 0 так, чтобы выполнялось неравенство е »ез + в» ]! у» (х) [] + в! [[ф (у) Ц ( г По этим г!,ез найдем б! > О, 6» > О, так, чтобы имели место соотношения (1) и (2).
Полагая в этих рассуждениях хз = х, х, = х+ Ь, мы получим доказательство теоремы лля случая дифференцируемости у» по Фреше. Доказательство теоремы для случая дифференцируемости у» по Гата получается анаяизом уже доказанной теоремы для вариации по Лагранжу супсрпозиции отображений. 5.3.2. Формула Тййлора Теорема. [АТФ, с. 159[ Пусть отобрагкение Г Е Р"(х) и раз дифференцируемо по Фрете в точке х. Тогда имеет место разлогкенив в рлд Тейлора У(й+Ь) =У(й)+У(й)[Ь]+-,ГлЯЬ,Ь]+...
+ —,У'">(х)[Ь,...,Ь]+ (Ь), где Цг(Ь)Ц = о(ЦЬЦ») при Ь вЂ” » О. 5.3.3. 'Вюрема о среднем Хорошо известно, что для числовых функций одного переменного справедлива теорема Лагранжа, называемая иногда также теоремой о среднем значении или формулой конечных прирашеннй: Тйорема Лаграяжа. Еош функция у: [а, Ь] — К непрерывна на отрезке [а, Ь] и ди44еренциругиа в интервале (а, Ь), то существует точка с Е (а> Ь) такая, что У(Ь) — у(а) = у'(с)(Ь вЂ” а).
(») Замечание 1. Нетрудно убедиться, что формула (») остается снраввдвивой и для числовых 4ункций у(х), аргумент которых принадлежит произвольному линейному нормированному пространству. Ди44вренцирувмость понимается в смысле Тото. Доказательство. Полагая»л(1)! = у(а+1(Ь вЂ” а)), мы сводим доказательство к случаю функции одной переменной. В этом случае [а, Ь] = 1х ] з = а+ г(Ь вЂ” а), 0 ~ 1 < 1).
Аналогично определяется интервал (а, Ь). Замечаиие 2. Длл ввкторнозначных функций теорема Лагранжа не верна. Пример. Пусть у: К вЂ” ! В~, у(х) = (а>пх, — созх). Тогда Г'(х)[Ь[ = (соя х, мп х)[Ь] = (Ь сох х, Ь ми х), Ь Е В. В то же'время лля любого с У(2к) — ~(О) = 0 4,Г'(с)[2х — 0] = (2»г сох с, 2»г зш с).
Значит, формула (*) лля функции у не имеет места. Отметим, что в анализе, как правило, используется не сама формула (*), а вытекаюшая из нее оценка ],г(Ь) — у(а)] < п»ах ]у'(с)] ° ]Ь вЂ” а]. ебьь> Покажем, что в этом более слабом виде утверждение распространяется уже на случай произвольных нормированных пространств. По традиции оно сохраняет название»теорема о среднем», хотя, конечно, его следовало бы назвать вгеоремой об оценке конечного прирашения».
6! 60 Глава 1. Экстремальные задачи Теорема о среднем. Пусть Х, à — линейные нормированные пространство, отобролсение г: Х «)г диффгренцируемо по Гати в колсдой точке отрезка [а, 6]. Тогда Ц,((6) — 7(а)Ц < игах ЦУо(с)Ц ЦЬ вЂ” аЦ. «е(а,ь) Доказательство. По лемме Банаха (см. п.5.4) для любого у б Т, а значит, и лля у = г(6) — у(а) найдется элемент у' б 1'" такой, что Цу'Ц = 1 и (у',у) = ЦУЦ, т.е. (у',у(6) — у(а)) = [[у(6) — у(о)Ц. Обозначим р(1) = (у*,у(а+1(Ь вЂ” а))). Поскольку у* — линейный непрерывный функционал, а отображение у в каждой точке отрезка [а, Ь] имеет произволную Гата, то по теореме о суперпозиции )г(1) =(у,уо(а+1(Ь вЂ” а))[Ь вЂ” а]) У1б [О, 1[.
Из дифференцируемости функции (оследует ее непрерывность на отрезке [О, 1], и, следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа; уг(1) — уг(0) = р'(В), В с (О, 1). Поэтому [)~(Ь) — у(а))[ = (у",7(6) — /(а)) = ф(!) — р(0) =~р'(В) = = (у', Го(а+ В(6 — а)) [Ь вЂ” а]) < Цго(а+ В(Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а]Ц < < Цуо(а+В(Ь вЂ” а))Ц ЦЬ вЂ” аЦ < игах Цус;(с)Ц ЦЬ вЂ” аЦ. ° «Е(а, Ь) Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы о среднем и Л б В(Х, )г). Тогда ([Г(Ь) — у(а) — Л(Ь вЂ” а)Ц < игах Цуо(с) — ЛЦ. ЦЬ вЂ” аЦ. «е(а,ь) Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
