Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(6„)„>ь — фундаментальная последовательность и, значит, она сходится в силу банаховости Х. Обозначим чь(х) = 1пп 6„— х. Поскольку ч оь П6 — хП = 1Кь — 6в-! +6ч-1 — йп-з+ .. +Ез — 6+6 — хП»< » <1Кь (ь — !П + П6в-! 6ч — зП + ° + 1Кз 6П + П6 хП »< !у) / < 1К вЂ” хП [ — „, + — „, + .. + ! < 2П6 — хП, !з! Цср(х)Ц <» 21К, — хП < 2СЦР(х)Ц = КЦР(х)Ц [1 '+ р(х)Ц < ПхП+ Цр(х)Ц < ПхП+ 2СЦР(х)Ц < д. Р Е 822(х), поэтому Р непрерывно в некоторой окрестности х = О, и, значит, что Р непрерывно в точке х + !э(х) и поэтому из (4) Р(х + 5з(х)) = 1ип Р(6„) = — 1нп Рг(й)(6„ь! — 6„) = 0 = Р(У). $ 5.
Элементы функционального анализа Пусть Х вЂ” нормированное пространство, М вЂ” некоторое его подмножество. Элемент Л Е М называется односторонним касательным (палукасательнмм) векторам к множеству М в точке Л Е Х, если существует е > О и отображение г: [О, с) — Х, такие, что а) х+ !Л+ г(!) Е М ч ! Е [О, е1; Ь) Пг(!)П = а(!) при ! — +О. Вектор Ь называется касательным к множеству М в точке 2, если векторы Л и — Л являются односторонними касательными векторами к М в х. Множество всех касательных векторов к М в точке х обозначается ТлМ, множество односторонних касательных векторов Т'М.
Очевилно, что ТлМ и ТеМ вЂ” конусы. Если множество ТлМ является подпространством в Х, то оно называется касательным пространствам к множеству М в тачке Я. Во многих случаях, в том числе и представляющих значительный интерес для теории экстремальных задач, множество касательных векторов может быть найдено при помощи такого слелсгвня из теоремы Люстерника. Теорема (о касательном пространстве). Пусть Х, Я вЂ” банахавы пространства, Р: Х вЂ” ~ Я, Р Е 5.0(х), Р'(Л) — эпимарфизм, М = (х Е Х ! Р(х) = Р(х)). Тогда Т,М = КегР(х). доквантнльотво. А) Пусть Л Е Т,М, тогда существуют е > 0 и отображение г: [-е, е] — Х, такие, что В+ !Л+ г(!) Е М ч' ! Е [ — е, е1, Цг(!)Ц = а(!) при ! — О.
При малых ! Р(х) = Р(~+ ГЛ+ г (!)) = Р(~) + !Р'(2)[Л)+ а(!). Отсюда !Р'(х)[Л! + а(!) = 0 и, значит, Р'(х)[Л) = О, т.е. Л Е КегР'(д) ~ ТьМ С КегР'(л). В) Пусть Л Е КегР'(х). Положим г(!) = р(х+ !Л), где р отображение, построенное в теореме Люстерника. Тогда Р(х+ !Л+ г(!)) = Р(Л+ тЛ+ Зг(У+ ГЛ)) = Р(2) еь 6+ !Ь+ г(!) Е М, Цт(!)Ц = Црр+!Л)Ц <КЦР(я+!Л) — Р(Л)Ц = = КЦ!Р'Р)[Л!+ а(!)Ц = К[!а(!)Ц = о(!), 69 5.5. Задачи Глава !. Экстремальные задачи % 6. Йгадкая залечи без ограиичеввв $6.
Гладкая задача без ограничений не диф- Найти производные Фреще следующих отобрюкений. В задачах 5. ! — 5.6: Н вЂ” гильбертово пространство. 5.1. г: Н - К, у'(х) = (а,х), а 6 Н. 5.2. У: Н- К, Г(х) =(х,х). 5,3.,Г: Н -+ К, у(х) = [[х]] = ~/(х, х). 5.4. )' Н вЂ” ~ К, у(х) = (х,х)н~. 5.5. у.' Н вЂ” ~ и, Г(х) = х][х[] 5,6.,У: Н~(0) -~ Н, Г(х) =— []х[[ 5.7.
У: Кг — К~, У(хйхз) =(х1хз,хзг+хзз) х Т! 2) 5.8. Г: С([0, Ц) — К, У(х(.)) = [ х (1) дг. о з 5.9. Г: С([О, Ц) — К, у'(х( )) = ~ ] х(1) а! о 5.10. у: С([0, Ц) К, Дх()) = ~ / х~(1)дг) о 5.П. у: С([0, Ц) — К, у(х( )) = х(0). 5.12. г: С([0, Ц) — ~ К, У(х(.)) = х(0)х(1). 5.15. У: С([О, !]) -. С([О, !]), Г(х()) = х(.)х(!). 5.14. Г: С([0, Ц) » К, Г(х(.)) = яп х(0). 5.15. Г: С([0, Ц) » К, Г(х()) = япх(0) соах(1). 5" 16,Г: С([0 Ц) К ~(х()) = х(!)*!о! (Е(1) > О Ч 0 < 1 < !) 5.17.
~: С([0, Ц) — + К, ~(х()) = (о!пй(0))»'»г01; В задачах 5 !8 — 5.20 указать точки, где функции у: К" — К ференцируемы по Фреше. у 1 1/г 5.18. У(х) = ~Ех21 1=1 5.19. Д(х) = гпах ]х ]. !Як<» » 5.20. у(х) = 2 ]х.[. В этом параграфе даютса необходимые и достаточные условия экстремума функционалов в нормированных пространствах.
6.1. Постановив задачи ! !усть Г: Х вЂ” К вЂ” отображение линейного нормированного пространства Х во множество действительных чисел (в этом случае обычно говорим функционал на пространстве Х), обладающее некогорой гладкостью,, т. е. определенными свойствами дифференцируемости. Гладкой задачей без ограничений называется задача об отыскании экстремумов этого Функционала: ,у(х) — ехгг. 6.2.
Необходимые условия 1 порядки Теорема 1 (аналог теоремы Ферма в нормированных пространствах). Луста Ю Е 1оеехггУ '- нигчка локалыюго экстремума функционала и функционал у диффвренцируеи ео Фреигв. (имегт вариацию но Яагранхгу» в точке и. Тогда ,Г(й)=0 (ду(е,ь)=0 тьех) Донвгоаввньотио. Возьмем произвольный„но фиксированный элемент Ь 6 Х. Рассмотрим Функцию оо(Л) = у(и+Лй). Поскольку х 6 !осехггу, то О 6 !осехггр — локальный экстремум функции р. По теореме' Ферма лля функций одной переменной !о'„(О) =' О. По определению вариации по Лагранжу это эквивюгентно тому, что Юу(х, Ь) = О.
В силу цроизвольности Ь бу(хгй) = О о й 6 Х. Если функционал у дифференцируем по Фреше в точке х, то в этой точке он имеет вариацию по Лагранжу и.у'(х)[Ь] = ЮУ(х, Ь). Поскольку из уже доказанного следует, что эта вариация ду(х,.) = О, то и 1" (У) = 0 в силу определения дифференцируемости по Фреще. 6.3. Необходимые и доствтоЧИЫЕ условИя П иврядив Теорема 2. Пуста функционал» 6 гу~(а) двахгдм днффгргнцируем в точке х. Необходимые условия экстремума: если х 6 1осппп (шах)у, то г'(Е) = О, г "(х)[Ь, Ь] ~ )0 (г (х)[Ь,Ь] < 0) о Ь 6 Х.
доствточвьге усмтия экстремума: если у'(х) = 0 и У»(У)[й,й] > а[]й][' [~»(х)[й,й] < -а[[Ь]!') о' Ь 6 Х (*) нри некотором о > О, то х 6 1оспнп (шах) Г. 70 71 7.1. Постановив задачи Глава 1. Экстремальмме залачи Данааатамьство. По формуле Тейлора У(в+ Л) = У(х) +У (х)[И[+ — У"(Е)[Ь,И[+ т(И), т(Л) = о(ЦЛЦз). ц 7. Гладкчв задача с равенствами ф 7. Б!адкая задача с равенствами Докажем теорему для случая минимума. Случай максимума аналогичен. Необходимость.
Поскольку х Е 1осш1пу, то во-первых по теореме Ферма у'(х) = О, во-вторых у(х+ЛЛ) — у(я) > О при достаточно малых Л. Поэтому в силу формулы Тейлора у(А+ЛИ) — у(Е) = — ун(й)[Ь,И[+ т(ЛЬ) > О ( (ЛЛ) = а([Л[')) при малых Л. Разделим обе части последнего неравенства на Л и устрез т(лл) мнм Л к нулю. Поскольку — О, то отсюда Лз У (х)[Л, Ь[ > 0 У Л Е Х. Достаточность. Так как У'(х) = О, то по формуле Тейлора в силу заданного условия У»(х)[И,И[ > оЦИЦ имеем: у(х+ Ь) — у(х) = 2 у'(й)[И, И[+ г'(Ь) > 2 ЦИЦ + т(Ь) > 0 при достаточно малых И, так как т(Л) = а(ЦЛЦз).
Следовательно, х Е 1оспцпУ. Условие (») называется условием строгой положительности (отрицательности) второй производной Фреше функционала У. Отметим, что в конечномерных пространствах условие положительной определенности симметричной матрицы А гарантирует строгую положительность матрицы А (и, значит, является достаточным условием минимума в стационарной точке).
В бесконечномерных пространствах это не так. СЮ ПРимеР Пусть у: !з — К, у(х) = 2', (у — х"„). Тогда точка й = 0 »=1 является стационарной (У'(0) = 0), а второй дифференциал У в нуле— положительно определенным Л» У"(О)[И,И[=2,"~ — ", >О Ъ Ь|О. »=! Но вместе с тем 0 к 1оспнп У, поскольку на послеловательности векторов х„= -'„', и = 1,2,... (е„— и-й базисный вектор пространства !г), у(х„) = 1г — -1г < 0 = у(0) при и > 1, а сама последовательность (-'» ) — 0 в пространстве !г при и — +со.
Пусть Х, 1' — линейные нормированные пространства. Функционал у Х К и отображение Р: Х вЂ” У обладают определенной глал,)юстью. Гладкой экстремальной задачей с ограничениями типа равенств В нормированных пространствах называется следуюшая задача: у(х) ехгг; Р(х) = О. Отметим, что отображение типа равенства в бесконечномерных пространствах может содержать в себе как конечное, так и бесконечное Кисло равенств. 7.2.
Необходимые условия 1 порядка Теорема (правило множителей Лагранжа). Пусть х Е!осехггР— тачка локального экстремума в задаче (Р), Х, У вЂ” балакаем пространства (условие банаховости), функционал у и атобразквниг Р Е 527(х) своего диффвренциругмы в тачке х (условие гладкости), 1шР'(х) замкнутое надпространства в У (ослабленное условие регулярности). Тогда существуют мнолгитвли Лагранжа Ле Е К и функционал у~ Е У нв равные одновременно нулю, (Л«у') ф О, и такие, что для функции Дагранжа эадичи (Р) Л(х) = Л»у(х) + (у*, Р(х)) выпалнявтсл условие стацианарнасти: Ь'(х) = 0 [ л» Л» (У (Я), И) + (у*, Р (й) [И[) = 0 У Ь Е Х ч» (Лау(л)+ (Р(я)) у',Л) = 0 У ЛЕХЕ»Л»у(х)+(Р(Ю)) у" =О). Замечание.
Если в условиях теоремы выполнено условие регулярности «яобраэквния Р в точке х, т.в. 1гп Р'(л) = У, то множитель Ле зь О, и, следовательно, моэкем считать его равным единице; Ле — — 1. Действительно, если Ле — — О, то у' зг 0 в силу того, что множители Лабйанжа одновременно в ноль не обращаются. Поэтому условие стационарприобретает вид: (у', Р'(х) [И[) = 0 У И Е Х е» (у', У) = 0 е» у" = О. или противоречие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
