Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Получили условие стационарности функции Лагранжа Л(х) с Ле = ... =Л,=О,Л,„=1. 77 1)галлая задача с равенствами и вар~~ Таким обРазом, из пп и . В' С) вытекает, что либо принцип Лагранжа уже обоснован (А = й1), либо 2 В И, 0 < И < гщ Ах = И, Аьч, ~ И. () О) Ламма 3.
Если выполнены соотношения ,2„то И = 0 лдтяетсл решением следующей задачи: (фФ),И) — пцп; (/,(х),И) < О, ! = И+,..., ' = И 1,... пт Р'(х)[И] = О. (Р) м, что верждение леммы неверно. Докааательство. Прелположим, чт ут Тогда найдется такой элемен т), т = И+ 1,..., пз, Р (х)[т!] = О. Пусть Š— элемент, принадлежащий Анчы ), ' = И - 1 ... пт, Р'(й)[(] = О. Тогда при малом ! > 0 элемент т)+ !( принадлежит Ан в противоречии с (2). к з че Р теорему этом, что словие Слейтера для этой задачи выполнено (из-за непустоты ь.»~ .
ы А, По этой теореме на условия а Л = 1, Ла н...,Л, такие, что выполняются у л нательные числа Ль =, ачн...,,, у л дополняющей нежесткости Л<ут(х) = О, 1 = + Лагранжа задачи (Р) Л(И) = 2 Лт(7,'(х) И) в точке И = 0 выполнен ЛИ,=ЛИ =0 е=» принцип минимУма: пппх Кеглрб йй / Ф Л(И) = ~~~ Лт(тт(х), И) > Л(И) = ~~ Л;(у;(х), 0) = 0 Ч И Е КегР (х). Из последнего соотношения вытекает, что , что Л(И) = ~ Л;, У,'(й), и) = О для любого И Е КегР'(х), т, е, 2 Л,7 (х) Е (КегР'(х)) . Поскольку по лемме об аннуляторе ялра регулярного оператора а (КетР'(х)) = 1пт (Р'(х)), то существует у' 6 У', для которого п~ Л;2,(х)+ (Р(х)) у = О.
щн Это и есть условие стационарности функци гр и Ла анжа Л(х), если положить Ле = ... = Ль ~ = О. ы еле ет, что если 1щР'(й) = !' Замечание. Из доказательства теоремы следу и существует элемент И Е КегР,й„лд ом словия Слейте- 1 = 1,... гп, е» А, чь И (назовем это условие аналогом условия ле тет — 1,...,гп, е» ~ на Ра), то Ло ~ 0 и, следовательно, можем полагать е —— тьЛ =1. и авила множителей Лагранжа Приведем еще одно доказательство пр с использованием элементов выпуклого анализа.
Глава 1. Экстремальные задачи Доказательство. Как и в предыдущем случае, не ограничивая общности, считаем, что У,(х) = О, ! = 0,1,...,щ. Будем рассматривать основной невырозкденный случай: !щР(х) = У. Рассмотрим задачу без ограничений (Л(й), Ь) + бКегР'(й)(Ь) и„.„ где бА() — индикаторная функция выпуклого множества А.
Лемма. Вектор Ь = 0 доставляет абсолютный миншпум функции р (И = 0 б аЬзгп!и ч»). Доказательство. Доказательство леммы проведем от противного. Предположим, что 0 к аЬзщ!и (в. Тогда Я,ь,,„< О. Следовательно, существует вектор й Е КегР'(х), для которого щах (2",(х),й) < 0 «» г=ь,ц, и (~,'(Е),й) < О, ! = О,...,т. Поскольку 1щР'(х) = У, то по теореме о касательном пространстве Ь Е КегР'(х) = ХьМ, где М = (х [ Р(х) = Р(х) = 0).
Тогда по определению касательного вектора существует отображение ю [-в, г[ — Х такое, что Р(х+ !Ь+ г(!)) = 0 у ! б [-е, г[, Цг(!)Ц = о(!). Поэтому у,(Е+ !Ь+ г(!)) = Л(х) + (у,'(Ю) !Ь+ г(!)) + о(Ц!й + г(8)Ц) = !(Т,'(й), Ь) + о(!) < 0 при малых ! > О, ! = О, 1,...,пь. Таким образом, вектор а + !Ь + г(!) является допустимым элементом в задаче (Р), но при этом Яй + !Ь+ г(!)) < 0 = /ь(й).
Получаем противоречие с тем, что х б!оспин Р. ВектоР Ь г— е 0 поставляет абсолютный мин следовательно, по аналогу теоремы Ферма для минимума выпуклой функции 0 Е д(л(Ь). По теореме Моро — Рокафеллара субдифференциал суммы функций равен сумме субдифференциалов, значит, 0 б В(ь(.) = В щах (Ях), ) + дбКегР'(х)(.). б 8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами 8.3. Необходимые условия Н порядка аго иинимума 'Георема. усть х че Р), Х,У вЂ” банахавы пространстви (условие банах н овости, уннциемы по Фреше в некоторой окрестности 1щР'(х) = У (условие регулярности). Тогда глах Лчь(х,л,у')[Ь,Ь[ > 0 У Ь Е К, (А,у'мл Л,у") = ~™~ Л;уг(х)+ (у',Р(х)) а=О к: = (ь б х [ (у,'Щи) < о, ! = о,(,...,, Р'(~Н~! = ) — конус допустимых вариаций, а д — (Л у ) а П ~ х У Л~ Л(г((х) + (~(~)) .
=[""' ,=ь ч Л,Т,(х)=0, 1=1, '=О 1,...,гп, Л(=1 (=О Множество Л вЂ” совокупность на оров, у', або в Л, ', для которых выполнены условия а -с п разила множителей Лагранжа лля зад р ач с авенствами и неравенствами и ,'»„А; = 1 Доказательство этой теоремы см. м. ГТ, с.!24 . 8 4 достаточные условия Н порядка По теореме Дубовицкого — Милютина субдифференциал максимума функций равен выпуклой оболочке субдифференциалов, следовательно, В Глак (у;(Х),.) = СОПЧ (ге(Х),...,уы(Х)).
ПО ОПРЕЛЕЛЕНИЮ Субднф~=Од,...гь ференциала функции дбКегР'(а)(0) = (Ь'Е Х' [ (й*, И) < бКегР'(х)(й)— бКегР'(х)(0) ч Ь Е Х) = (й* [ (й',И) < бКегР'(Е)(й) ч Ь) (КегР'(х)) =!гп(Р'(Я)) (по лемме об аннуляторе ядра регулярного оператора). Таким образом, 0 Е сопч (уь(х),..., у,'„(Е) ) +! гп (Р'(х)) . Значит, существует вектор Л Е П ~' такой, что ЯЛ( = 1, Л( > О, (=О и функционал у' Е У', для которых 2,' Л(Т,'(х) + (Р'(х))*р' = О. ° =ч а. П ть выполняются условия теоремы о необходимых условиях второю порядка (банаховость, гладкость, регул ч( и для некоторого о в > 0 ыналняется условие строгой палаясительности: щах Л (х,Л,у )[Ь,И[ > оЦИЦ (цгчел для любого й, принадлелссицега конусу допустимых р ц ва иа ий К.
Тогда Х Е 1оспнп Р— точка лакальнаго минимума в задаче (Р). Доказательство этой теоремы см. [ГГ, , с. 13б. 80 Глава !. ЭкстЗтемалапые засачи Ответы к задачам главы 1 1.1. (5,2) Е !осина, Я в кк -оо, Я =+оо. 1.2. (2,3) к !осехсг, Яв,п кп -оо, Яв„= +со. 1.3. (-4,14) Е аЬьти!п, Я в кп -52, Я =+со» 2 ! 4 1.4. ( — —, — —, !) Е аЬзпнп, Явв = — —, Яв,к = +со. 3' 3' ) 3' т! 1ъ !.5. ( —, — 1, -) К !ОСЕХСГ, Яка» аа -СО, Япвк = +00.
2' '2 1.6. (1, !) Е 1оспнп, (0,0) к 1осехсг, Явв — — -со, Я,к =+со. 1.7. (1,1) б 1остпах, (0,0),(0,3),(3,0) К !осехсг, Я в па — со, Я,к =+со. 1.8. (0,0) Е1осехСг, Я и = -оо, Я =+со. 1 ъ 1 1.9. (х —,х!) 6 аЬяп!п, Я в — — — 1-, (0,0) Е 1осптах, 2' / 8' (- 1 х —,0),(О,х!) к 1осехсг, Я „=+оо. 2' +! 3:! +! ~! 1.10. ( —, — ) Е !оспин, ( —, — ) б !осптах, ъ'2е ъ/2е ъ/2е ъ/2е (х1, О), (О, х1) к 1осехтг, Яв,.п — 00 Явак — +00. 1.11. (2, 3) Е 1осптах, (О, хт) б сосгпах при хт Е ( — со; 0) ст (б, +оо), (О,хз) Е !оспин при 0 < хт ( 6, (0,0),(0,6),(хиО) Д 1осехсг, Яппп = Со~ Япак = +»ко. ! 1ъ 1.12. (0,0) б аЬЯп!и, Я в =О, ! — —,— -) Е 1осехтг, Я =+со. 4' 2 1.13. (1, -2) К !осехсг, Я и кп — оо, Я,к кп +ос.
1.14. (1,1, !) Е !осгпах, (х„О,хт),(х„хт,О) Е !осехсг, Яппп = 00 Явак =+00. 1 8 1.15. С вЂ” — Е аЬвти!п Я . 3 45 ЗС 8 1.16. С вЂ” — Е аЬапнп, Я и = —. 5 175 1.17. (-3 — к/б, — 3 — ъ/6) Е аЬяп!п, Я в кп — 4 — 2 /б, ( — 3+ ъ~б, -3+ ъ/б) Е аЬяпах, Я,к = — 4+ 2ъ/б. тз 4ъ 1 2.1. ( — — ) ЕаЬатп!и Я; = —, Я =+ею. '»25 25 ' " 25' т! съ 2'2 Огаеиа к задачам главы 1 81 т!Зъ,т!Зъ 2.3. ( —,— — ) ЕаЬяп!п, Я„м=-ъ/2, ( — —,— ) ЕаЬяпах, ~,/2,/2) ™мкк ~ ~ ч2,2) Яв»п ъ~2. 24. (2,— З),(-2,3)баЬятнп, Я вк»-50, (-й ) ! —,4),( — —,-4) ЕаЬяпах, Яв,кап !06 —.
,1 ! !ъ ! 2.5. (-,—,-) баЬапт!п, Я и=-, Я =+со. 3'3'3 3' 1 2 3 2.6. ( —,—, ) ЕаЬяиах, Я,кап»/!4, ъ/Г4 ъ/!4 ъ/Г4 (-, —; — -т) 1 2 3 —,— —,— — ) ЕаЬяп!и, Япвп — — — ъ/Г4. ъ/Г4 ъ' 14 ъ/Г4 тз 3 !ъ !! 2.7. (-, —, -) Е аЬвптсп, Явм кк —, Я,к =+со, 8 8'4 ' 32' г 33 229 ъ 1071 2.8. ( †, †,98) Е аЬятнп, Явв Ява» +ею. 2.!О. (-1,1,1)баЬяптп, Я в=О, (1,1,1)баЬзитах, Я,кк»2.
1 ! 2 1 2 1 2 ! ! 2.11. ( —,—,— — ),( —,— —,— ),( — —,—,— ) ЕаЬ|пт!п, ° /б /б' 4Ь ' /6' ъ/б' /б ' ъ/б'ътб' /6 ппп = /- вак =,— ° !8 24ъ 12 1бъ 2.12, (О,— — ) баЬяпах, Я =36, (Π—,— ) ЕаЬяп!и, Я . =16. '5'5 '5'5 вв— т! 1 !ъ 2.13. !ъ-, —, -) Е !оспсах, (С,О, ! — С) Е 1оспнп при с б (О, 1), б'3'2 (С, О, ! - С) б !ос птах при С Е ( — со, О) О ( 1, +ею), (0,0,1),(1,0,0),(1,1 — С,О) К!осехсг ч С, Я,к =+оо, Явм = -оо. ! 1 1 ! ! ! 1 1 1 2.14.
( —,~ —,— ),(- —,—,— — ),(- —,— —,— — ) баЬзтпах, ъ/6 ъ/3»/2 к/б ъ/3 ъ/2 ъ/6 ъ/3 ъ/2 1 1 1 ! ! ! 1 Я = —, ( —,х —,— — ),( — —,х —,— ) ЕаЬапнп, !г /3' /б' /З' й ' /б' /З' /2 1 а Явм = — —. 2.15. — — 6аЬяп!п, Явв »в п — !а!. 12»/3 !а! Ь вЂ” (а,х) 1(а, У) — Ь! 2.16. 8=а+а. ', Я в —— !о!т м !а! 82 Глава 1. Экстремальные задачи Н2 2.17. Я.,„= [х-6[2- — (а,х-б)') ~а[2 ) 2.18. Стороны прямоугольника: а~ т/2, ать/2, плогдаль 2а,ат.
2а1 2ат 2ат 8 2.19. Стороны параллелипипеда; —, —, —, объем — а,азат. ' чЗ' /3'Л' 3/3 (- — — — )( — — — — )( — — — ) 1 ! 1~ /! 1 1~ /! ! 1 /3 ' /3 /д ' (,/3 ' ,/3 ,/3 / ' ( ./3 /3 ' /3 / ( ) ! ! 1 т ! г ! ! ! — —,— —,— — ) ЕаЬзит!п, Ямм — — — —, ( —,—,— ), .3 .3,3) '"= 3,3 ~Л,3,3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( —,— —,— — ), ( — —,—,— — ), ( — —, — —, — ) б аЬяпах, т/б' 3' /2 ' 3' '3' т/З ' /3' 3' '3 ! Я,„= —, (1, О, 0), (0,1, 0), (Ого, 1) к !осехтг тг [1[ < 1. 3 3 3.2. (0,...,0) 6 аЬятип, Я,„=О, (хи '~",...,хп ~ ) б аЬяпах, Я,„= т/и, критические точки (О,...,о,хги ~,...,хпт ) (и их всевозможные перестановки координат), ги = 1,..., и.
3.3. (0,...,0) б аЬзги!и, Я,„= О, (хп '~~,...,хп ч ) Е аЬяпах, Я,„= 1, критические точки (О,...,о,хти ~~~,...,хти ~~~) (и их всевозможные перестановки координат), ги = 1,...,и. 3.4. (0,1) Е аЬзит!и, Я,„= е ', (0,1) б аЬяпах, Я,„= е — 1, (0,0) к 1осехтг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
