Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для определенности мы будем рассматривать задачи на минимум. 3.2.Необходимые и достаточные условия экстремума 3.2.1. Принцип Лагранжа Сформулируем необходимое условие экстремума 1 порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств— принцип Лагранжа. Теорема. Пусть х Е !осехгг Р— точка локального экстремума в задаче (Р), а функции Д, 3 = 0,1,...,пз, непрерывно дифференцируемы в окрестности значки х (условие гладкости), 76гда существует ненулевой вектоР множителей ЛагРанжа Л = (ЛО, Лн..., Лт) Е К~~~, Л ОЬ О, такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) Л(х, Л) = 2 Л;Ях) выналняются Г=О условия: а) стационарнвсти: Л,(х,Л)=О е=» — *=О, 1=1,...,п О=» ~ Л;У,'(а)=О; дЛ(х, Л) д*, 3=О Ь) доналняющей нелгесткастк Лгуг(У) = О, г = 1,..., т'; с) неотрицательногти: Лг > О, О = 0,1,...,т.
Доказательство этой теоремы в более общем случае см. (АГГ, с. 51). Точки, удовлетворяющие необходимым условиям локального экстремума, называются критическими. В задаче на максимум ЛО < О. 2 з~. ОО Глава 1. Экстремальные ыигачи 3.2.2. Необходимое условие экстремума П порядка Сформулируем необходимое условие минимума П порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств н неравенств. ТЬорема. Пусть х б 1оспцп Р— тачка локального минимума в задаче (Р), функции Уг, з = О,...,т, дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки и (условие гладкости), векторы ,(У),...,З (й) — линейно независимы (условие регулярности).
Тогда существует множитель Лагранзка Л = (Лы Лн.,., Л ) Е Кы+ с Ль — — 1 такой, что для функции Лагранзка задачи (Р) Л(х, Л) = ~ Л;Уг(х) г=ь выпалняютсл условия экстремума г порядка: а) стационарности: Л.(х, Л) = О ~» ' = О, 1 = 1,..., и е=» Ч ~' Л,у,.'(й) = О; оЛ(х, Л) дху Ь) дополняющей нежесткости: Л;зг(х) = О, з = 1,..., пь'; с) неотрицательности: Лг > О, 1= 0,!,...,т'; и (Лге(х,Л)Ь,Ь) >О ч ЬЕ1?, ч'ЛЕЛ, где Л?: = (Ь Е К" [ (Д1(й),Ь) < О, 1 = 0,1,...,пз', Г,'(й)[Ь[ = О, т' + 1,..., гп) — конус допустимых вариаций, а Л вЂ” совокупность множителей Лагранжа Л, для которых выполнены условия а)-с) с Ль = 1. Доказательство этой теоремы см.
[ГТ, с. 124[. Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = ( — 1, Лн..., Л ) и соответственно в конусе допустимых вариаций (Ге~(У), Ь) > О. В 3, Конечномернме глалкие задачи с равенствами н неравенствами 35 3.2.3. Достаточное условие экстремума П порядка Сформулируем достаточное условие минимума П порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств н неравенств. Теорема.
Пусть функции Д, 1 = О,...,гп, дваэсды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки Й (условие гладкости), векторы У +,(й),..., З (х) — линейно независимы (условне регулярности), существует множитель Лагранжа Л = (Ль,..., Л ) Е К~+' с Ль = такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) Ь(х, Л) = ~~, Л;Д(х) г=0 выполняются условия экстремума 1 порядка: а) стационарности: Ье(У,А) =0 с=» ' =О, у =1,...,и о=» ~~~ А;уг(й) =0; оЛ(х, Л) Оху г=о Ь) дополняющей незкесткостщ Л\Л (2) О $1 гп с) неотрицательности: Лг > О, з =0,1,...,гп; пгах (Ь (х,Л)Ь,Ь) > а[[Ь[[ Ч Ь б Х зел с некоторой ~ололсительной константой о, где 2?: = (Ь б К [ (У[(й) Ь) ч О з = О, 1,...,гп', у1(х)[Ь[ = О, 1 = гп' + 1,..., пт) — конус допустимых вариаций, а Л вЂ” совокупность множителей Лагранжа Л, для которых выполнены условия а)-с) с Ло = 1.
Тогда х б 1осппп Р— таиса локального минимума в задаче (Р). Доказательство этой теоремы см. [ГТ, с. 124[. Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = ( — 1, Лн..., А ), соответственно в конусе допустимых вариаций (уь(х), Ь) > 0 и гпах (Ь, (х, Л)Ь, Ь) ( — а[~Ь[[ ч Ь Е К. ьел 36 Глава 1. Экстремальные задачи 3.3. Правило решения Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств следует: «ь !) Составить функцию Лагранжа Л(х,Л) = 2 Л;з;(х).
г=о 2) Выписать необходимое условие экстремума ! порядка: а) стационарности: Л (х,л)=0 с=ь — '=О, у=!,...,п; дЛ(х, Л) дх. Ь) дополняюгцей нежесткости; Л;Д(х) = О, о = 1,..., пз'; с) неотрицательности: Лг > О, 1= 0,1,...,гззл; 3) Найти точки х, удовлетворяющие условиям а)-с) (эти точки называются крилгическими). При этом следует отдельно рассмотреть случаи а) Ло — — 0; Ь) Ло = ! (или любой положительной константе); с) Ло = — ! (или любой отрицательной константе).
В случае а) критические точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае Ь) критические точки могут доставлять минимум в задаче. В случае с) критические точки могут доставлять максимум в задаче. При нахождении критических точек в условиях дополняющей не- жесткости ЛгД(х) = 0 для кюкдого о надо рассматривать два случая: Л; =О и Л;ФО. ч) Исследовать на локальный и абсолютный экстремум найденные критические точки или, если их нет, найти Я и и Я и указать последовательности допустимых точек, на которых эти абсолютные экстремумы достигаются. При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума и порядка в каждой критической точке.
Отметим, что проверка выполнения необходимых или достаточных условий экстремума в задаче с ограничениями типа равенств и неравенств — задача непростая. Поэтому, как правило, мы будем при исследовании экстремума использовать непосредственную проверку, сравнивая значение исследуемой функции в критической точке с ее значениями в близких допустимых точках. з 3. Конечаомерные гладкие задачи с равенствами и неравенства ствами 37 3.4.
Примеры Пр р !. хз + х + хз — + т!и; 2х~ — хз + хз ~( 5, х~ + хз + хз = 3. з Решение. Функция Лагранжа Л = Ло(х'+х, +х,') + Л~(2х1 — *о+ хз — 5) + Лз(х, + хо + хз — 3). Необходимые условия локального минимума: а) стационарности; Л„= о <=ь 2Лох| -ь 2Л ~ + Лз = О, Л = 0 с«=ь 2Лохз — Л! + Лз = О, «г Л„= 0 с=э 2лохз + Л1+ Лз = 0; Ь) дополняющей нежесткости: Л~(2х~ — хо+хо — 5) = 0; с) неотрицательности: Л >О Л >О. Если Ло — — О, то из уравнений пункта а) выводим, что Л! = Лз = 0— все множители Лагранжа — нули, а этого быть не может. 1 Поэтому Ло ~ О, полагаем Ло = —. Предположим Л~ ~ О, тогда в силу условия Ь) 2х~ — хз + хз — 5 = О.
Выражая хи аз,хз из условия а) через Лп Лз и подставляя в уравнения х! + хз + хз = 3, 2х| — хз + хз — 5 = О, получим, что (- — 2Л1 — ЗЛз — — 3, — бл~ — 2лз = 5, откуда Л~ — — — о ( Π— противоречие с условием нестрицательности с). Значит, в случае Л, ~ О критических точек нет.
Пусть Л = О. Тогда х! = хз = хз = 1 — единственная критическая 1 точка. Функция 2(х) = хо+ хо о+ хо з-«оо при !х! — оо, значит по следствию из теоремы Вейерштрасса решение задачи существует, а в силу единственности критической точки решением может быть только она. Итак, Е = (1, 1, 1) 6 аЬзш!и, Я и = 3. 38 Глава 1. Экстремальные задачи в3, Ко чномерные гладкие задачи с равенствами н неравенствами 39 Пример 2. Приведение квадратичной формы к главным осям. л ПУсть А = (ач)г, — симметРичнаЯ матРица (ау = аз) и Г,1(х) = и а! х,х. = (Ах, х) — соответствующая ей квадратичная форма. °,з=! Теорема.
В пространстве К" суигествугт ортонормированный базис у!,..., у„, в котором квадратичная форма Я имеет представление и г1(х) = ~~! Л,(х,Л)~, В базисе Г!,...,у„матрица формы Я диагональна. Направления векторов Г!,...,З„называются главныыи осями формы Ц, а переход к базису у!,..., З„называется приведением формы к главным осям. Доказательство. Если Я = О, то Л! = ... = Л„= О, У!,...,у„— любая ортонормнрованная система. Пусть г',! М О, тогда Я принимает положительные или отрицательные значения. Для определенности считаем, что г;1 принимает отрицательные значения. Рассмотрим первую экстремальную задачу (Ах,х) — ппп; (х,х) < 1.
Если Ц принимает только неотрицательные значения, то надо рассматривать задачу на максимум. Решение х = 7! задачи (Р!) по теореме Вейерштрасса существует, так как шар Я = (х б К" ( (х,х) < 1) является компактом в К", а функция (Ах,х) непрерывна. Функция Лагранжа задачи (Р!) Л = Ле(Ах, х) + Л ((х, х) — 1) . Необходимые условия локального минимума: а) стационарности: Л, =0 ч=» ЛвА1!+Л~! =0; Ь) дополняющей нежесткости: Л(()'!, /!) — 1) = 0; с) неотрицательности: Ле > О, Л > О. Если Ле = О, то Л ф О и из пункта а) выводим, что У! — — О, но это противоречит условию Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
