Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть Г: К вЂ” К вЂ” функции одного действительного переменного. Если х б 1осехгг г — точка локального экстремума функции г и г' б Р(а) дифференцируема в точке х, то у'(х) = О. 11, Конечиомериые задачи без ограничений Доказательство. По определению дифференцируемости У(х + й) = у(х) + Г (х)й + г(Л), т(Л) = о(й) = о(1)й при малых Ь. Значит, ~(й + л) — г» = (г" (а) + (1) ) ь. Если бы у'(х) ~ О, го при Л достаточно близких к нулю, величина Г'(х)+о(1) имела бы знаку'(х), поскольку о(1) О при Л вЂ” О. Саможе й может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, разность Г(х + Л) — у(х) может быть как меньше, так и больше нуля. Это противоречит тому, что у(х + Л) — у(х) > О при х б 1оспнп у' и з (х + Ь) — у(х) < О при х б 1осшах у.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна. Теорема 2. Пусть функция у б Р (х) дважды дифференцируема в точке й, Необходимые условия экстремума: если х б !оспин л — точка локального минимума функции /, то Г'(х) =- О, уь(х) > О. Достаточные условия экстремума: если Г'(й) = О, Ул(х» О, то а б !осгп!и у — точка локального минимума функции г. Доказательство. По формуле Тейлора у(й + ь) = Г(й) + 1'(с)л + -ун(й)л' + г(й), г(ь) = о(ь'). 2 Необходимость.
Пусть х б 1осгп!и Г. Тогда, во-первых, по необходимому условию экстремума! порядка для функций одной переменной— теореме Ферма — у'(х) = О, во-вторых, У(х+ Л) — Г(х) > О при достаточно малых Ь. Поэтому в силу формулы Тейлора у(х+ й) — у(х) = -ун(х)ь~+г(Л) > О (г(ь) = о(ь~)) 2 при малых Ь. Разделим обе части последнего неравенства на Л и устрез г(Ь) мим й к нулю. Поскольку — — О, то получим, что ун(х) > О.. Лз Достаточность.
Пусть у'(х) = О, у "(х) > О. Тогда по формуле Тейлора в силу условия т(Л) = о(ь~) еь !1(Л)! < еь~ ~ т(Л) > -ей~ для любого е > О при достаточно малых Л имеем: Г(а + Л) Г(й) = Гн(а)ь + (Ь) > ( — — )й > О 1 - 2 г (У) 2 при е < . Следовательно, х б 1осгпш Г '(х) 2 !О Глава 1. Экстремальнме задачи р'(й,) =о с=с =О. д1(й) дх, / д'1(й) ! г 1б=! (АЬ, Ь) > о)!Ь!!~ 'ч' Л 6 К". Для локального максимума неравенства имеют противоположный внл; 1л(й) < 0 и 1н(й) < 0 соответственно. В олномерном случае можно дать почти исчерпыяающий ответ на вопрос о том, является ли данная точка х локальным экстремумом или нет.
Теорема 3. Пусть функция 1 Е Р'(х) и раэ дифференцируема в точке х. Необходимые условия экстремума: если х Е !осппп (гпах) 1 — точка локального минимума (максилгума) функции 1, то лабо 1 (й) = ... 1!н1(х) = О, либо 1'(й) = " = 1" 0(й) = О, 10-'(й) > О (1<' !(К) < О) (1) при нгкотораи т: 2 < 2гп < и. Достаточные условия экстремума: если выполняетсл условие (1), то л Е !оспйп (гпах) 1 — точка локального минимума (максимума) функции 1. Доказательство. Пусть для определенности х Е 1осппп1.
По формуле Тейлора 1(й+") = Л~~, " + "(Л) г(Ь) = о(Ь") ( „-~ 0 при Ь - О), 1 (х) ь „ г(Л) Необходимость при и = ! следует из теоремы Ферма. Пусть далее и > 1. Тогда либо 1'(й) = ... = 1!"1(х) = О, либо 1'(х) = ... 10 0(й) = О, 1!0(х) ф О, ! < и. Значит, 1!'1(й), Поскольку й Е 1осппп 1, то 1(й + Л) — 1(й) = — Ы + т,(Л) > О при достаточно малых по модулю Ь. Так как 1!0(й) уг О, то отсюда следует, что ! — четно и 101(й) > О. Достаточность. Пусть 1'(х) = ... = 10т '1(й) = О, 1 (й) ф О.
Тогда по формуле Тейлора 1(х+Ь) — 1(й)= Ь +г,(Ь), — — ~0 при Ь- 0 1" '( ) (Ь) (2гп)! ' Льп Поскольку 10 1(х) ) О, то 1(х+ Л) — 1(х) > О при лостаточно малых Л, т. е. х Е !оспин 1. б 1. Конечвомерные задачи без ограничений 1.2.2.
Функции нескольких переменных Сформулируем необходимое условие экстремума ! порядка в конечномерной задаче без ограничений, являюшееся аналогом теоремы Ферма. 'Г орема 1. Если х = (хы...,йн) Е 1осехгг1 — точка локального экстремума функции и переченных 1(х~ х„) и функция 1 б Р(х) диффергнцируема в точке х, то 1'(х) = 0 ч=ь 01(х) д1(й) дх, дх„ Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной у(хг) = 1(йн...,й, нх;,х; н...,й„). Поскольку х = (й„...,х„) е !осехгг1, то х, Е 1осехггу.
Кроме того !р Е Р(х;). По необходимому условию экстремума для функций одной переменной — теореме Ферма Сформулируем необходимые и достаточные условие экстремума П порядка в конечномерной задаче без ограничений. Предварительно напомним, что второй производной функции нескольких переменных является симметричная матрица вторых производных а также приведем определения знакоопределенностей симметричных матриц.
Матрица А называется неотрицательно определенной (А > О), если (АЬ,Ь) ) 0 ч Л Е К" синь ~~~ абЬ;Л! » )0 тг Л = (Л,,...,Ь„) 6 К". Матрица А называется паеолгитгльно определенной (А > 0), если (АЛ,Л) >О АЛЕК", ЛфО. Матрица А называется строго палолсителъно определенной, если сушествует а > 0 такое, что Аналогично опрелеляются неположительная и отрицательная матрицы. Отметим, что в конечномерном пространстве условие положительной определенности симметричной матрицы А эквивалентно условию строгой положительности матрицы А.
В бссконечномерных пространствах зто не так (см. 1АТФ, с. 242!). !2 Глава 1. Экстремальные задачи Теорема 2. Пусть функция / Е 23~(х) двазкды дифференцируема в точке х = (йц...,х„). Необходимые условия экстремума: если й Е 1осппп(|пах) / — точка локального минимума (максиму.на) функции /, то /'(У) = О, (/н(х)Ь,Ь) > О ((/ь(х)Ь,Ь) < 0) Ч Ь Е К". Достаточные условия экстремума: если /'р) = О, (/ь(Х)Ь,Ь) > О ((/н(Х)Ь,Ь) > О) у Ь б К", Ь зе О, то х Е !оспин (|пах) / — точка локального минимума (максимума) функции /. Докаэатольстао. По формуле Тейлора У(х+ Ь) = У(х) + (У'(х) Ь) + -(/ь(Х)Ь Ь) +г(Ь) т(Ь) о(!Ь!з) Докажем теорему для случая минимума. Случай максимума аналогичен.
Необходимость. Поскольку х Е !оспин/, то, во-первых, по необходимому условию экстремума 1 порядка в конечномерной задаче без ограничений — аналогу теоремы Ферма /'(х) = О, во-вторых, /(х + ЛЬ) — У(х) > 0 при достаточно малых Л. Поэтому в силу формулы Тейлора Л /(х+ ЛЬ) — /(х) = — (/лЯЬ,Ь) + г(ЛЬ) > 0 (г(ЛЬ) = о(/Л!') ) при малых Л и фиксированном Ь. Разделим обе части последнего неравенства на Л и устремим Л к нулю.
Поскольку г(ЛЬ)/Л вЂ” О, то 2 получим, что (г (х)Ь,У|) > 0 1|' Ь б К . Достаточность. Так как / (х) = О, то по формуле Тейлора в силу выполненного условия (/н(х)Ь,Ь) > о!Ь! имеем: У(*+ Ь) — У(й) = -(/н(й)Ь,Ь) +.(Ь) > -!Ь!'+,(Ь) > О 2 2 при достаточно малых И, так как г(Ь) = о(!Ь!~). Следовательно, х б 1оспцп/.
ь Замечааие. ДлЯ квадРатичных фУнкционалов Зг(х) = 2 а,зх,хз | |=| условие положительной (отрицательной) определенности матрицы А = г (х) = (азз), ., являетсн достаточным условием абсолютного минимума (максимума) функционала. 13 5 1. Конечиомериые задачи без о|3заничеинй 1.2.3. Критерий Сильвестра Знакоопределенность матрицы устанавливается с помошью критерия Сильвестра. Напомним, что последовательными главными минорами матрицы А / а|| " а|ь '~ называются определители А, ь =де! ~ аь, ...
аы Главным минором Ач ц матрицы А называется определитель матрицы размера Ь х Ь, составленной из строк и столбцов с номерами / асц азгц ~ з|,, ..,зы Ац ь: = дез а|ни ... ач Ь Теорема. (9, с. 260). Пусть А — симметричная матрица. Тогда 1. Матрица А нололсительно онределена (А > 0) тогда и только тогда, когда все ее носледовательные главные миноры аолохзительны, т.
е. А|,ь >О, Ь=!,...,п. 2. Матрица А отрицалзельно определена (А < 0) тогда и только тогда, когда все ее последовательные главные миноры чередуют знак, начиная с отрицательного, т. е. ( — 1)лбе|А| ь > О, Ь = 1,..., п. 3. Матрица А неотрицательно определена (А > О) тогда и только тогда, когда все ее главные миноры неотрицательны, |л.е. А„ь > О, 1<з| «... зь<п,й=!,...,п, 4. Матрица А ненололсительно определена (А < 0) тогда и только тогда, когда все ее главные миноры чередуют знак, начиная с ненолозсительного, т.
е. ( — 1) А„;„> О, 1 < з, « ... зз < и, 1з = 1,..., зз. Замечание 1. Как будет показано ниже, положительность (неотрицательность) л|атрицы равносильна положительности (неотрицательности) всех собственных значений матрицы. Замечание 2. Отметим, что условие положительности последовательных главных миноров матрицы равносильно условию положительности всех главных миноров (см. [9, с. 260)). Для условия неотрицательности это не так, т.
е. из условия неотрицательности послеловательвых главных миноров не следует неотрицательность всех главных миноров ма~рицы и, следовательно, не следует неотрицательность матрицы. /о о'з Действительно, у матрицы А = ~ ! ) последовательные главные миноры равны нулю (А, = Ап — — 0), но она не является неотрицательной: (АЬ Ь) = ((О -Ьз) (Ь~ Ьз)) = -Ьзз < О пРи Ьз ~ О. 15 14 Глава 1. Экстремальяые задачи б 1. Кояечиомериые задачи без ограиичеиий 1.2.4. Метод Ньютона (метод касательных) Для того, чтобы решить залачу без ограничений нужно найти стационарные точки — решения уравнения /'(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
