Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Контрпример: у(х) = г, + знт л? (о, х = О. Ясно, чта х = 0 Е аЬзгп(п 2. С другой стороны, в любой окрестности нуля и справа, и слева производная 2" (х) = 2х(2+ 5(п -') — соз -', х Ф О, принимает как положительные, так и отрицательные значейия, т.е. функция 1 и возрастает, и убывает. Пример !2. Имеетг» бесконечное число локальных максимумов, но нет ни одного локального минимума: Необходимое условие экстремума 1 порядка: дУ(*) дУ(*) (-2х, =О; /*, =О; Стационарные точки х = (О,-', + йя), й Е л.. Для проверки условий П порядка надо выписать матрицу вторых производных в каждой стационарной точке: дх дх 0 — гбпх2 ( — 2 О 1 А) =( 1, А! ( — 2 ОО! (0,1+2»г) ( Π— ),Г ' (0,$+(2ь+1)г) ( О 1/ гг-2 0 ) Матрица ~ 0 1 ! по критерию Сильвестра является отрицательно определенйой: Аг — — -2 < О, Аз =- 2 > О.
Поэтому по достаточному условию второго порядка (О, 2 + 2пя) е !осгпах 2 '0г п е л.. гг -2 0) Матрица ~ у! по критерию Сильвестра не является неотрицательно определенной матрицей (А ~ 0). Следовательно, не выполняется необходимое условие локального минимума.
Поэтому точки (О, 2 + (2п+!)Х) не поставляют локального минимума. Точки локального минимума могли быть только среди стационарных точек, но там их не оказалось. Следовательно, нет ни одного локального минимума. гг Глава !. Экстремальные задачи 1.5. Задачи, упражнения В задачах !.1-!.17 без ограничений найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные минимумы и максимумы. 50 20 1.1. у(х„хз) = х,х, + — + — — > ехгг. х> хз 1.2. у(хи ха) = х~ — хз — 4х> + бхз ехгг. 13. у(х>,хз) =5хз+4х,хз+хз — !бх, — !2хз — ехгг.
14, у(х>,хз,хз) = ха+ хз+ хз — х>хз+ х> — 2хз ехгг. 1 5. у(хьхз хз) = хз>+ хз~+ 2хз+ х>хз+2х хз+Зхзхз х> ехгг 1.4. у(хнхз) = х> +из — Зх>хз — ехгг. 1.7. у(х>,хз) = Зх>хз — х>хз — х>хз ехгг 2 з 18. у(х>,хз) =х, +хз (х>+хз) ехгг. 1,9, У(хи ха) = 2х, + х, — х', — 2х, ехзг. 1.10. у(х>,хз) = х,хз!п(х, + хз) ехгг. 1.11. у(хихз) = хзхз(б — х> — хз) — > ехгг.
1,12. у(х„х,) = ез*>+з*'(8х> — бх,х, + Зхз) — ехгг. > 1 13, у(х>,хз) = е*' *'(5 — 2х> + хз) ехгг. 1.14. у(х„хз,хз) = х,х,х,(7 — х, — 2хз — Зхз) ехгг. > 1. 15.,у(х>, хз) = / (! + хзс+ х>) Ж вЂ” гп!п -> (задача о полнномах Лежандра второй степени). 1 1,14, у(х>,хпхз) = ) (1~+ хзС +хз1+х>) М вЂ” пцп.
— > (задача о полиномах Лежандра третьей степени). 1.17. Найти экстремумы неявно заданной функции двух переменных хз —— у(х„хз), если Е(х>, хз, хз) = х> + х, + хз — каз — хзхз + 2х~ + 2хз + 2хз — 2 = О 23 Ф 2. Коиечиомериые гладкие задачи е равенствами 42. Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечиомерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1. Постановка задачи Пусть У>: К" — > К, ь = 0,1,...,пь, — функции и переменных, Считаем, что все функции У> обладают определенной гладкостью. Гладкой конечнамернои экстремальной задачей с ограничениями типа,оавенств называется следующая задача: Уь(х) — > ехгг; Уг(х) = О, ь =1,...,гп. 2.2.
Необходимые и достаточные услоаия экстремума 2.2.1. Принцип Лаграшка Сформулируем необходимое условие экстремума 1 порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств — принцип Лагранжа. Л (й,Л)=0 е>ь>ь =О, 1=!,...,гь ч=ь ~Л;уг(й)=0. дЛ(х, Л) дх. Это соотношение называется условием стационарности. Точки, удовлетворяющие условию стационарности, называются стационарными. Доказательство проведем от противного.
Предположим, что условие стационарности не выполняется. Это означает, что векторы У (й) = (' -') = дУг(й) дУ,(й) Л г = 0> 1,,пь линейно независимы Поэтому дх, '"' дх„)' дУь(й) дУь(й) дх> дх„ дУ (х) дУ (х) дх > дхь уду,(а) ! ранг матрицы А = ~ дх. ) >=ь,...,п> ! равен Теорема. Пусть х Е !г>сехггР— точка локального экстремума в задаче (Р), а функции У>, ь = 0,1,...,т, непрерывно диффвренцируемы в окрестности точки х (условие гладкости), Тогда существует ненулевой вектор мнозкителвй Лагранзка Л = (Ль,Л>,... > Л ) Е К~+', Л ~ О, такой, ы что для функции Лагранзка задачи (Р) Л(х,Л) = 2 Л;Уг(х) выполняется >=О условие стацивнарткти 25 й 2.
Конечномерные гладкие задачи с равенствами 24 Глава 1. Экстремальные задачи из+ 1. Тогда по теореме о ранге матрицы (см. [13, с. 71[) существует матрица М порядка (т+ 1) х (го+ 1) с определителем, отличным от нуля. Допустим для определенности, что этой матрицей является матрица, составленная из первых столбцов матрицы А: дУ»(х) дУ.(й) да( дх бес .. ".
= десМ Ф О. дУ„,(й) дУ'.(й) д, дх„, Не ограничивая общности, считаем, что Уо(х) = О. Действительно, если Ях) ~ О, то следует рассмотреть функцию То(х) = То(х) — уо(х) н лля нее будет Го(У) = О. Положим Р(х) = (Ро(х),...,Е (х)) (уо(х л ю .,й»),уы(х,йы~с, й»)) для вектора х = (хн..., х„,+с). Функция Р отображает некоторую окрестность точки х =- (хн...,й ы) б К +' в К +', и является (в силу условий гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым отображением в этой окрестности. Р(х») = О. Кроме того, якобиан отображения Р в точке х отличен от нуля, т.е. бес [ ) = ссесМ Ф О. /дР,(х») с [ дх ) с=о,с, .,ы 3 1= ~,...,лн- ~ По теореме об обратной функции в конечномерных пространствах (см. следующий пункт) существует обратное отображение Р ' некоторой окрестности точки у = О в окрестность точки х такое, что Р '(О = 0) = х» и (Е '(у) — )К '(у)~ < К[у — у[ еь [Р '(у) — х[ < К[у[ с некоторой константой К > О.
В частности, для достаточно малого по модулю е определен вектор й(г):= Е (е,О,...,0), для которого [х(е) — х»[ < К'[е[. Это означает, что Р(х(е)) = (е,О,...,0), что равносильно равенствам Уо(х(е),х +з,...,й») = е, Тс(х(е),хс +н...,х ) = О, с = 1,...,т. Таким образом, для вектора х(е) = (х~(г),...,х„,ьс(е),х,с,...,й») выполняются условия Уо(х(е)) = е, Л(х(е)) = О, с = 1,..., щ, и при этом [х(е) — й[ < К[с[.
(2) Из соотношений (1)-(2) следует, что вектор х не доставляет в задаче экстремума, ибо вблизи его существуют допустимые векторы х(е), на которых функционал уо принимает значения как большие так и меньшие чем То(х) (напомним, что зо(х) = 0). Получили противоречие с тем, что й б 1осехсг Р. Таким образом, наше предположение (противного) неверно и тем самым теорема показана.
2.2.2. Копечномерная теорема об обратной функции. Теорема Вейерштрасса Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть Р: ГГ К" — непрерывно дифференцируемое отобуагкение некоторой окрестности су С К' точки х в К", Р(х) = у и вкобиан отобралсения Р гАР,(х) т' в точке х отличен от нуля [бес Р'(х) = бес сх ) Ф О).
Тогда сСх суигествует обратное отобрахсение Р ' некоторой окрестности К точки у в окрестность точки х такое, что Р (у) = й и [Р '(у) - К '(0) [ < К[у - 0[ сс у б Р с некоторой константой К > О. Пусть г; К" К вЂ” функция и переменных. При исследовании вопроса о достижении функцией п переменных экстремума часто используется следующая теорема, Теорема Вейерштрасса. [16, т.1, с.235[ Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмноокестве конечнаыерного пространства скомпакте) достигает своих абсолютных максшпума и минимума. Выделим простое следствие из этой теоремы, которое часто будем использовать. Следствие.
Если функция у непрерывна на К" и 1пп у(х) =+ос 1»1»» ( 1пп З(х) = — со), то она достигает своего абсолютного минимума 1»1 с» (максимума) на любом замкнутом аодмнолсествв из К". Напомним, что множество А в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности.
элементов А можно выбрать сходящуюся к элементу из А подпоследовательносгь или (равносильное определение) если из всякого покрытия А открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое мно кесгво конечномерного пространства является компактаи. 2.2.3. Необходимое усаовие экстремума П порядка Сформулируем необходимое условие минимума П порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 26 Глава 1. Зкстремальиые задачи Теорема. Пусть х Е 1оспцп Р— точка локального мвнимума в задаче (Р), функции Д, а = О, 1,..., гп, двалсды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки Я (условие гладкости), д!ш11п'(1,(х),...,1' (х) ) = и (условие ре!улярности). Тогда сушествует множитель Лагранжа Л = (1,Л„...,л,„) Е К'"ы таков, что длл функции Лагранжа задачи (Р) а Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л,1,(х) вынолняются условия стационарности: ~=! Л.(Е, Л) = О <=» 1о(х) + '> Лг1,.(й) О Ф=! и нготрицательностк (Л.а(х,Л)Ь,Ь) >О ЧЬ; (1,'(х),Ь) =О, !=1,...,ш.
Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-!,Л„...,Л ) Е К ы и соответственно функция Лагранхга Л(х, Л) = — 1ь(х) + 2" Л;1г(х). !'= ! 2.2.4. Достаточное условие экстремума П порядка Сформулируем достаточное условие минимума П порядка в гладкой конечномерной залаче с ограничениями типа равенств.
Теорема. Пусть функции 1„а = О, 1,..., пз, дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки У (условие гладкости), дпп Лп (1,'(Е), (х) ) = и (условие регулярности). Сувгествует множитель Лагранлса Л = (1, Л„..., Л ) Е К +' такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л;1г(х) вьи!олняютсл условия стационарности: г=! л.(х,Л) =о е 1о(а)+',~ Лг1,'(х) =О !=! и нолозкительности: (Л,а(х,л)Ь,Ь) > О ч Ь зь О: (1!.(х),Ь) = О, а =1,...,гп. Тогда х Е 1осго1п Р— точка локального минимума в задаче (Р).
Мы сформулировали достаточное условие минимума. Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-1, Л„..., Л ) Е К~+~ и соответственно т функция Лагран!ка Л(х, Л) = — 1о(х) + 2', Лг1г(х), ' Во означает линейная оболочка . $2. Коиечномерные гладкие задачи с равенствами 2.3. Правило решения Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств слслует. 1) Составить функцию Лагранжа Л(х,Л) = ) ЛгД(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
