Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При этом, постановка (5.43) имеет смысл длявсех f (x) ∈ L2 (Ω).С помощью теоремы Рисса и неравенства Фридрихса мы получимсуществование и единственность решения обобщенной задачи Дирихледля уравнения Пуассона. Кроме того, техника, используемая для доказательства этой теоремы, может быть использована и для доказательствасуществования (и единственности) решения многих других линейных задач математической физики.Теорема 46 Обобщенное решение задачи (5.43) существует и единственно.Доказательство. Рассмотрим правую часть как функционал на v ∈H01 (Ω). Его линейность очевидна, а непрерывность следует из неравенства Коши-Буняковского и эквивалентности нормы || · ||1 и нормы || · ||∗в пространстве H01 (Ω):|− < f, v > | ≤ ||f || · ||v|| ≤ ||f || · ||v||1 ≤ C||f || · ||v||∗ .По теореме Рисса 45 существует единственный элемент u ∈ H01 (Ω) такой,что − < f, v >= [v, u], что и доказывает существование и единственностьрешения задачи (5.43).4.6Коротковолновые асимптотики и функция ГринаЗадача этой главы на примере одномерного уравнения Шредингера По”смотреть, что будет за фокальной точкой “? Вначале на модельном уравнении (уравнение Шредингера с гармоническим осциллятором) показывается, каким образом можно построить коротковолновую асимптотикудля функции Грина, и каким образом можно осуществить переход черезфокальную точку с помощью h−преобразования Фурье.
Затем (в последнем параграфе этой главы) описывается метод канонического оператораМаслова для одномерного уравнения Шредингера с потенциалом U (x)из некоторого специального класса.1064.6.1Напоминание: общая структура метода коротковолновых асимптотик для одномерного уравнения Шредингера.Рассмотрим коротковолновую асимптотику для решения задачи Кошидля уравнения Шредингера:{ ∂ψ2 2ih ∂t = − h2 ∂∂xψ2 + U (x)ψ,(6.44)ψ|t=0 = ϕ0 (x) exp( hi S0 (x)).Тогда для ψ(t, x) = ϕ(t, x) exp( hi S(t, x)) имеем:{ ∂S 1 ( ∂S )2+ 2 ∂x + U (x) = 0,∂tS|t=0 = S0 (x)и{∂ϕ∂t+ϕ|t=0∂S ∂ϕ∂x ∂x(6.45)2+ 12 ∂∂xS2 ϕ = 0,= ϕ0 (x).Система характеристик для задачи Коши (6.45) имеет вид: ẋ = p, x|t=0 = ξ,ṗ = −U (x), p|t=0 = S 0 (ξ),ż = 12 p2 − U (x), z|t=0 = S0 (ξ).(6.46)(6.47)Система характеристик для задачи Коши (6.46) имеет вид: ṫ = 1, t|τ =0 = 0,ẋ = ∂S, x|τ =0 = ξ,∂x1 ∂2Sż = − 2 ∂x2 z, z|t=0 = ϕ0 (ξ).(6.48)Заметим, что в силу (6.47) имеем ∂S= p, откуда и из того, что в задаче∂x(6.48) частью решения является t = τ получаем, что якобианы ∂xв за∂ξдачах (6.47) и (6.48) совпадают.
Вспомним теперь, что все определенныев окрестности нуля решения (6.46) описываются формулойϕ0 (ξ) ,(6.49)ϕ(t, x) = √∂x(t,ξ)∂ξξ=K(t,x)107где K(t, x) – решение алгебраического уравненияX(t, ξ) = x,(6.50)а функция X(t, ξ) – решение задачи Коши (6.47). Более того, окончательно имеем∫t(P 2 (τ, ξ) − U (X(τ, ξ))dτ )|ξ=K(t,x) ,S(t, x) = (S0 (ξ) +(6.51)0где функции P (t, ξ) и X(t, ξ) – решения (6.47).4.6.2Модельный пример: уравнение Шредингера длягармонического осциллятора.Для дальнейшего изучения свойств решения задачи Коши (6.44) рассмотрим следующий важный модельный пример:{2 22ih ∂ψ= − h2 ∂∂xψ2 + x2 ψ,∂t(6.52)iψ|t=0 = ϕ0 (x)e h S0 (x) .Пусть сначала функция S0 (x) такая, чтоS0′′ (x) ̸= 0 при x ∈ supp ϕ0(6.53)Тогда решение системы характеристик (6.47) имеет вид:X = ξ cos t + p0 (ξ) sin t, P = −ξ sin t + p0 (ξ) cos t, p0 (ξ) = S 0 (ξ),и якобиан J = cos t + S0′′ (ξ) sin t обращается в ноль при t таких, чтоctg t = −S0′′ (ξ).В частности, если S0′′ (ξ) > 0, то J ̸= 0 при t ∈ [0, π2 ], а если S0′′ (ξ) < 0, тоJ ̸= 0 при t ∈ [− π2 , 0].
Пусть, для определенности, S0 (ξ) > 0, t = π2 . ТогдаS( π2 , x) = (S0 (ξ) − ξp0 (ξ))|ξ=ξ(q) = Φ(q), J = S0′′ (ξ(q)), где ξ(q) – решениеалгебраического уравнения p0 (ξ) = q. Отсюда окончательно получаемπϕ0 (ξ(q))iϕ( , x) = √ ′′exp( Φ(q)).2hS0 (ξ(q))108(6.54)Рассмотрим теперь ситуацию, когда S0 (x) = k(x − y) + 2b (x − y)2 . В этомслучае имеемx = ξ cos t + (b(ξ − y) + k) sin t, ξ =x − (k − by) sin t,cos t + b sin tи с помощью формул (6.53), (6.54) получаем2x(k − by) + (b(x2 + y 2 ) − 2ky) cos t − (x2 + k 2 ) sin tS(t, x) =,2(cos t + b sin t)и окончательноψ(t, x) = √ϕ0 (ξ(t, x))iexp( S(t, x)).hcos t + b sin t(6.55)Важным для дальнейшего исследования является тот факт, что при ϕ0 =1 формула (6.55) дает точное решение задачи Коши (6.44) при всех tтаких, что ctg t ̸= b.4.6.3Функция Грина задачи Коши для уравненияШредингера с гармоническим осциллятором.Построим обобщенную функцию G(x, y, t) такую, что G(x, y, 0) = δ(x−y)и G – обобщенное решение уравнения Шредингераih∂ψh2 ∂ 2 ψ x 2=−+ ψ.∂t2 ∂x22Заметим, что тогда решение задачи Коши (6.52) может быть записано ввиде∫+∞ψ(t, x) =G(x, y, t)ψ0 (y)dy.−∞Нам также понадобится следующее определение.Определение.
h-преобразованием Фурье функции ϕ(x) ∈ P будемназывать преобразование, заданное равенством()hFx→kϕ(x)1(k) =h109∫+∞ikxϕ(x)e− h dx.−∞Заметим, что h = 1 дает определение обычного преобразования Фурье быстро убывающих функций. Таким же образом, как это было сделано для обычного преобразования Фурье, определим h-преобразованиеФурье обобщенных функций умеренного роста.
Заметим, что имеют место равенства()ihFx→kδ(x − y) (k) = exp(− ky),h∫+∞1iδ(x − y) =exp( k(x − y))dk.2πhh(6.56)(6.57)−∞Покажем теперь, что функцию Грина для задачи Коши (6.52) мы можемвычислить точно. Для этого положим в рассмотренном выше примереb = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) = k(x − y).При этом начальные данные для соответствующей задачи Коши будутиметь видiψ|t=0 = exp( k(x − y)).hСоответствующее этим начальным данным точное решение, задаваемоеформулой (6.55), имеет вид:1expψ(t, x) = √cos t(i 2kx − 2ky cos t − (x2 + k 2 ) sin th2 cos t)π π, t ∈ (− , ).2 21Заметим, что если домножить начальные данные на 2πhи проинтегрировать по k ∈ R, то в силу (6.57) получится δ(x − y).
Так как уравнение(6.52) линейно, то интеграл по параметру k от решений также будет решением, соответствующим начальным данным, проинтегрированным потому же параметру. Тем самым, для того, чтобы построить функцию1Грина, необходимо домножить указанное выше точное решение на 2πhипроинтегрировать по параметру k ∈ R. В результате получим:1G(x, y, t) =2πh cos t()∫+∞i kx1 22exp(− ky − (x + k ) tg t) dk. (6.58)h cos t2−∞110Так как фаза в (6.58) Џ- квадратичный полином по k, то интеграл в(6.58) вычисляется в явном виде.
Для этого выделим полный квадрат:kx1− ky − (x2 + k 2 ) tg t =cos t2=−)2 x 2 + y 2√1( √xxyk tg t − (− y) ctg t +ctg t −.2cos t2sin tСделаем теперь в (6.58) замену под знаком интеграла: положимz1 = k√| tg t| −√x √| ctg t| + y | ctg t|.cos tТогда1√G(x, y, t) =exp2πh | sin t|()ix2 + y 2(cos t − xy) ×h sin t2∫+∞iexp(− sign(tg t)z12 )dz1 ,×2h−∞и, сделав замену z =G(x, y, t) =z1√,hполучаем окончательно(12π√exph| sin t|)ix2 + y 2(cos t − xy) ×h sin t2∫+∞i×exp(− sign(tg t)z 2 )dz.2(6.59)−∞Таким образом, вычисление интеграла в правой части равенства (6.58)свелось к вычислению интегралов∫+∞iz 2I± =exp(± )dz.2−∞111(6.60)4.6.4Вычисление интегралов I ± и явный вид функции Грина.Заметим, что I − = I + . Кроме того,∫+∞∫+∞iz 2iz 2I =exp( )dz = 2exp( )dz.22+−∞0Следовательно, достаточно вычислить интеграл∫+∞iz 2exp( )dz.202Так как функция exp( iz2 ) – аналитическая функция на комплекснойплоскости, то для любого замкнутого контура ΓIexp(iz 2)dz = 0.2ΓПусть R – положительный параметр, который будет выбран далее.
Возьмем контур ΓR = {z = x, x ∈ [0, R]} ∪ {z = Reiϕ , ϕ ∈ [0, π4 ]} ∪ {z =πsei 4 , s ∈ [R, 0]}. В силу сказанного ранее,I0=iz 2exp( )dz =2∫Rexp(0ΓRπ∫4+ix2)dx+2iR2 e2iϕexp()iReiϕ dϕ +20∫0πei 4 exp(−s2)ds.2RДалее, по определению∫+∞∫Riz 2iz 2exp( )dz = limexp( )dz =R→+∞2200112 π∫4∫02 2iϕ2πiR es= − lim exp()iReiϕ dϕ + ei 4 exp(− )ds .R→+∞220(6.61)RДокажем, что первое из слагаемых в (6.61) равняется нулю. Для этогопреобразуем сначала подынтегральное выражение:eiϕ exp(iR2 e2iϕiR2R2) = eiϕ exp(cos 2ϕ −sin 2ϕ).222Далее положим ϕ∗ ∈ (0, π4 ) – параметр, который будет выбран далее.Заметим, что при ϕ ∈ [0, ϕ∗ ] в силу положительности sin 2ϕ имеет местонеравенствоiR2 e2iϕR2|Re exp()| = R exp(−sin 2ϕ) ≤ R.22iϕЕсли же ϕ ∈ [ϕ∗ , π4 ], то при достаточно малом ϕ∗ имеем|Reiϕ exp(iR2 e2iϕR2)| ≤ R exp(−sin 2ϕ∗ ) = R exp(−R2 sin ϕ∗ cos ϕ∗ ) ≤22≤ R exp(−R2 ϕ∗ cos2 ϕ∗ ) ≤ R exp(−R 2 ϕ∗).2В этом случаеππ∫4|2 2iϕiReiϕ exp(iR e2∫4)dϕ| ≤ϕ∗R exp(−R 2 ϕ∗)dϕ → 0, R → +∞,2ϕ∗и первое слагаемое в (6.61) оценивается сверху суммой:ππ∫4|2 2iϕiReiϕ exp(iR e2∫4)dϕ| ≤ |0iReiϕ exp(iR2 e2iϕ)dϕ| + Rϕ∗ .2ϕ∗Осталось выбрать ϕ∗ = min{ π8 , R− 2 }.
Таким образом, первое слагаемое в(6.61) стремится к нулю при R → +∞, а значит,3∫RI + = 2 limeR→+∞ix22dx = 2e0iπ4∫+∞ 2iπ √se− 2 ds = e 4 2π.0113Подставляя выражение для I + в равенство (6.59), получаем явный видфункции Грина для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором:()exp(i π4 sign tg t)ix2 + y 2G(x, y, t) = √exp(cos t − xy) .(6.62)h sin t22πh| sin t|Замечание 13 Пусть ψ0 (x) – начальные данные для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором. Тогда∫+∞ψ(t, x) =G(x, y, t)ψ0 (y)dy.−∞Положим t = ± π2 , x = ±p. Тогдаπe∓ 4ψ(± , ±p) = √22πhiπ∫+∞√ipyiπhe− h ψ0 (y)dy = 2πhe∓ 4 (Fx→pψ0 )(p),−∞т.е. вычисление h-преобразования Фурье от функции ψ0 может бытьсведено к решению задачи Коши (6.52) с соответствующими начальными данными.4.6.5Фокальные точки и переход через них с помощью преобразования Фурье.Формула (6.62) получена для 0 < |t| < π.
В моменты времени t = πk,k ∈ Z, функция Грина G(x, y, t) имеет особенности. Покажем, что этиособенности являются фокальными точками. Очевидно, что (6.62) Џкоротковолновая асимптотика с фазойS(t, x) =1 x2 + y 2(− xy)sin t2(6.63)и амплитудойϕ(t) = √1141| sin t|(6.64)с точностью до постоянного множителя. Пусть t = τ + t0 . Рассмотримзадачу Коши{2 22= − h2 ∂∂xψ2 + x2 ψ,ih ∂ψ∂τ(6.65)iψ|τ =0 = ϕ(t0 )e− h S(t0 ,x) .ТогдаP = −ξ sin(t − t0 ) +1(ξ cos t0 − y) cos(t − t0 ), X(ξ, t) =sin t0= ξ cos(t − t0 ) +и якобиан1(ξ cos t0 − y) sin(t − t0 ),sin t0∂Xcos t0 sin(t − t0 )sin t= cos(t − t0 ) +=∂ξsin t0sin t0обращается в ноль при t = πk, k ∈ Z, т.е.
точки t = πk – фокальные.Нетрудно убедиться в том, что коротковолновая асимптотика для задачи(6.65) дает (6.63), (6.64).Попытаемся теперь расширить область определения функции ГринаG(x, y, t) за точку t = π. Для этого воспользуемся h-преобразованием Фурье и замечанием 13.
Вычислим явно h-преобразование Фурье от G(x, y, t)по x. ИмеемG̃(p, y, t) =hFx→p(G)(p, y, t)1=√2πh∫+∞ie− h px G(x, y, t)dx,−∞и выписывая правую часть явно, получаемe−i 4 sign tg t√G̃(p, y, t) =2πh | sin t|π()∫+∞i x2 + y 2xyexp(ctg t −− px) dx. (6.66)h2sin t−∞При t ̸= π2 правая часть (6.66) Џ- интеграл с квадратичной фазой, который может быть вычислен аналогично (6.58). В итоге получим)(iπy 2 + p2e− 4 (1−sign cos t)i(sin t + py) .G̃(p, y, t) = √exp −h cos t22πh| cos t|115(6.67)Это равенство определяет гладкую функцию G̃(p, y, t) при t ∈ ( π2 , 3π).2πПри этом, так как при t ∈ ( 2 , π) имеет место равенство 1 − sign cos t = 2,то, вычисляя обратное преобразование Фурье от G̃, получим()iπiπe− 4 e− 2ix2 + y 2expG(x, y, t) = √(cos t − xy) .(6.68)h sin t22πh| sin t|Формула (6.68) определяет функцию Грина при t ∈ (π, 2π) и отличаетсяiπот формулы (6.62) на множитель e− 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
