Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Так как функция v(t, x, s) – классическое решениезадачи (1.27), то она является дважды непрерывно дифференцируемой.Отсюда функция u(t, x) также дважды непрерывно дифференцируема.Вычисляя явно производные по t от функции u(t, x) получаем:∫ t∫ tut (t, x) = v(t, x, t) +vt (t, x, s)ds =vt (t, x, s)ds,00∫utt (t, x) = vt (t, x, t) +tvtt (t, x, s)ds =0∫t= f (t, x) +∆v(t, x, s)ds = f (t, x) + ∆u(t, x).0Таким образом, функция u(t, x) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению.
Нетрудно видеть, что u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0. Теорема доказана.1416.1.8Конус зависимости. Единственность.Пусть u(t, x) ∈ C 2 ([0, +∞) × Rn ) – решение волнового уравнения utt −∆u = 0 при t > 0, x ∈ Rn . Зафиксируем x0 ∈ Rn , t0 > 0. РассмотримконусK(t0 , x0 ) = {(t, x) | 0 ≤ t ≤ t0 , |x − x0 | ≤ t0 − t}.Конус K(t0 , x0 ) называется конусом зависимости от начальных данных.Оказывается, что значение функции u(t, x) внутри конуса K(t0 , x0 ) зависит только от значений начальных данных на основании этого конуса– в шаре B(x0 , t0 ).
Обоснование этого факта дает следующая теорема.Теорема 52 Если u(0, x) = 0 и ut (0, x) = 0 при всех x ∈ B(x0 , t0 ), тоu(t, x) = 0 при всех (t, x) ∈ K(t0 , x0 ).Доказательство.Положим∫1(u2t (t, x) + |∇u(t, x)|2 dx.e(t) =2B(x0 ,t0 −t)∫Тогда(ut utt + < ∇u, ∇ut >)dx−ė(t) =B(x0 ,t0 −t)∫1−2(u2t∫+ |∇u| )dSx =∂B(x0 ,t0 −t)∫B(x0 ,t0 −t)∫∂u1ut dSx −∂ν2+∂B(x0 ,t0 −t)ut (utt − ∆u)dx+2∂B(x0 ,t0 −t)∫=(u2t + |∇u|2 )dSx =(∂u1ut − (u2t + |∇u|2 ))dSx .∂ν2∂B(x0 ,t0 −t)Осталось заметить, что в силу неравенства Коши-Буняковского|∂u| = | < ∇u, ν > | ≤ |∇u|,∂νтак как |ν| = 1, и далее|∂u1ut | ≤ |∇u| · |ut | ≤ (|∇u|2 + |ut |2 ).∂ν2142Следовательно, ė(t) ≤ 0 при 0 < t < t0 , и, так как e(0) = 0, e(t) ≥ 0,то e(t) = 0 для всех t ∈ [0, t0 ).
Отсюда следует, что ut = 0 и ∇u = 0 вK(x0 , t0 ), а значит, u(t, x) = 0 внутри K(x0 , t0 ). Теорема доказана.Следствие 9 (Единственность.) Задача Коши utt − ∆u = f (t, x), t > 0, x ∈ Rn ,u|t=0 = ϕ(x),ut |t=0 = ψ(x)(1.28)имеет не более одного классического решения.Доказательство. Пусть u(t, x) и v(t, x) – два классических решениязадачи (1.28). Положим w(t, x) = u(t, x) − v(t, x). Зафиксируем произвольные t0 > 0, x0 ∈ Rn . Заметим, что функция w(t, x) удовлетворяетусловиям теоремы 52 в конусе K(x0 , 2t0 ). Следовательно, w(t0 , x0 ) = 0. Всилу произвольности выбора точки (t0 , x0 ) получаем, что функции u(t, x)и v(t, x) обязаны совпадать.
Следствие доказано.6.26.2.1Уравнение Лапласа.Основные определения. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в R2 и R3 .Пусть Ω ⊆ Rn – область.Определение 3 Уравнение∆u(x) = 0(2.29)называется уравнением Лапласа. Уравнение∆u(x) = f (x)(2.30)называется уравнением Пуассона. Функция u(x) ∈ C 2 (Ω), удовлетворяющая уравнению (2.29) в Ω, называется гармонической в области Ω.Обобщенная функция E(x), удовлетворяющая равенству∆E(x) = δ0 (x), x ∈ Rn(2.31)в смысле распределений, называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в Rn .143Начнем с того, что построим фундаментальные решения в случаяхn = 2 и n = 3.Лемма 9 (непрерывность оператора дифференцирования.) Пусть′{um (x)}+∞m=1 – последовательность распределений um (x) ∈ D (Ω).
ПустьD′также um ⇁ u, m → ∞. Тогда для любого k = 1, . . . , n:∂um D′ ∂u, m → ∞.⇁∂xk∂xkДоказательство.Пусть ϕ ∈ C0∞ (Ω) – пробная функция. Тогда∂ϕ∂um(ϕ) = −um ().∂xk∂xkD′Далее, так как um ⇁ u, m → ∞, и∂ϕ∂xk∂ϕ∂ϕ∈ C0∞ (Ω), то lim um ( ∂x) = u( ∂x).kkm→∞∂ϕ∂uОтсюда, так как ∂x(ϕ) = −u( ∂x), получаем требуемое.kkПусть теперь n = 2. Заметим, что последовательность обобщенныхфункций{ 1, |x| < ϱ,πϱ2fϱ (x) =0, |x| > ϱудовлетворяет условиюD′fϱ (x) ⇁ δ0 (x), ϱ → 0 + .(2.32)Построим последовательность обобщенных функций Eϱ (x) таких, что∆Eϱ = fϱ .(2.33)Тогда, согласно (2.32), в силу леммы 9 получим, что искомое фундаментальное решение E(x) является пределом последовательности Eϱ (x) вD′ (R2 ) при ϱ → 0+.Заметим, что в силу симметричности функций fϱ (x) разумно искатьEϱ (x) в виде Eϱ (x) = Eϱ (|x|).
Переписывая (2.33) в полярных координатах, имеем{ 11 ′, 0 < r < ϱ,′′πϱ2Eϱ + Eϱ =(2.34)0, r > ϱ,r144откуда{r,πϱ20 < r < ϱ,0, r > ϱ,и далее, дважды интегрируя по r, получаем{ r2+ C1 ln r + C3 , 0 < r < ϱ,4πϱ2Eϱ (r) =C2 ln r + C4 , r > ϱ.(rEϱ′ )′=Заметим, что в силу теоремы о дифференцировании кусочно-гладкойфункции (теорема 6.2.9, часть 1, глава 6), функции Eϱ (r) и Eϱ′ (r) должны быть непрерывны при ϱ = r. Кроме того, из (2.34) следует, что функция Eϱ (r) определена с точностью до аддитивной постоянной, а значит,можно считать, что C4 = 0. Отсюда получаем:11+ C1 = C2 ,+ C1 ln ϱ + C3 = C2 ln ϱ.2π4πПотребовав также, чтобы функция Eϱ (r) была определена при r = 0,получим C1 = 0.
Таким образом,{ 1 211r + 2πln ϱ − 4π, r < ϱ,4πϱ2Eϱ (r) =1ln r, r > ϱ.2πОтсюда, устремляя ϱ → 0 + 0, получаем, что при n = 2 фундаментальное1решение имеет вид: E(r) = 2πln r.Пусть теперь n = 3. Тогда аналогично (2.32) имеем{ 3, r < ϱ,4πϱ3fϱ (r) =0, r > ϱ.Отсюда аналогично (2.34) получаем2Eϱ′′ + Eϱ′ = fϱ ,rи далее{(r2Eϱ′ )′{Eϱ′==r4πϱ3C2,r23r2,4πϱ3r < ϱ,0, r > ϱ,+ Cr21 , r < ϱ,r > ϱ,145и в итоге{Eϱ =r28πϱ3− Cr2− Cr1 + C3 , r < ϱ,+ C4 , r > ϱ.Далее, как и для случая n = 2, получаемC4 = 0,1C1C21C1C2+ 2 = 2,−+ C3 = − , C1 = 0.24πϱϱϱ 8πϱϱϱОтсюдаC2 =и в итоге{Eϱ =13, C3 = − ,4π8π3r2− 8πϱ, r8πϱ31− 4πr , r > ϱ.< ϱ,1откуда при ϱ → 0 + 0 имеем E(r) = − 4πr.Теорема 53 Пусть E(x) – обобщенная функция, являющаяся фундаментальным решением в Rn для уравнения Лапласа, f ∈ C0∞ (Rn ).
Тогдафункция u(x) = (E∗f )(x) является решением уравнения Пуассона (2.30)в Rn .Доказательство. Из свойств свертки обобщенной и гладкой функцийимеем u(x) ∈ C ∞ (Rn ). Кроме того,∆u = ∆(E ∗ f ) = ((∆E) ∗ f )(x) = (δ0 ∗ f )(x) = δ0 (f (x − ·)) = f (x).Теорема доказана.Замечание 15 Вообще говоря, формула u(x) = (E ∗ f )(x) дает решениеуравнения (2.30) и в случае, когда f ∈ C02 (Rn ).Упражнения к пункту 1.1. Построить фундаментальное решение при n = 4.2. Обосновать предельный переход при ϱ → 0 + 0 при построении фундаментального решения (почему предел именно такой?).3. Единственно ли фундаментальное решение? Почему?1466.2.2Теоремы о среднем.Обозначим α(n) обьем единичного шара в Rn .
Заметим, что тогда nα(n)– площадь поверхности того же шара.Теорема 54 (О среднем для гармонических функций.) Пусть u(x) ∈C 2 (Ω) – гармоническая функция. Тогда для любого шара B(x, r) ⊂ Ω имеет место равенство∫∫11u(x) =udS =u(y)dy(2.35)nα(n)rn−1α(n)rn∂B(x,r)B(x,r)Зафиксируем x ∈ Rn . Положим∫∫11u(y)dSy =u(x + rz)dSz .ϕ(r) =nα(n)rn−1nα(n)Доказательство.∂B(x,r)Тогда1ϕ (r) =nα(n)′∂B(0,1)∫< ∇u(x + rz), z > dSz =∂B(0,1)1=nα(n)rn−1∫1=nα(n)rn−1∫< ∇u(y),y−x> dSy =r∂B(x,r)∫∂ur 1dSy =∂νyn α(n)rn∂B(x,r)∆u(y)dy = 0.B(x,r)Отсюда ϕ(r) = const , и1ϕ(r) = lim ϕ(t) = limt→0+0t→0+0 nα(n)tn−1∫u(y)dSy = u(x).∂B(x,t)В последнем равенстве использовано то, что u ∈ C 2 (Ω), а также интегральная теорема о среднем.Для интегрирования по шару, переходя к сферическим координатам,получаем∫∫∫ru(y)dSy dt =u(y)dy = B(x,r)0∂B(x,t)147∫rnα(n)tn−1 dt = α(n)rn u(x).= u(x)0Теорема доказана.Теорема 55 (Обратная теорема о среднем.) Если функция u(x) ∈C 2 (Ω) удовлетворяет условию∫1u(x) =udSnα(n)rn−1∂B(x,r)для каждого шара B(x, r) ⊂ Ω, то u(x) – гармоническая функция.Доказательство.
Если ∆u(x) ̸= 0 для некоторой точки x ∈ Ω, тов силу непрерывности вторых производных функции u найдется шарB(x, r) ⊂ Ω такой, что ∆u ̸= 0 в B(x, r). Без ограничения общности,можно считать, что ∆u > 0 в B(x, r). Но тогда для функции ϕ(r) изтеоремы 54 имеем∫r 1′0 = ϕ (r) =∆u(y)dy > 0.n α(n)rnB(x,r)Противоречие.6.2.3Свойства гармонических функций.Будем предполагать, что Ω ⊂ Rn – открытое ограниченное множество.Теорема 56 (Сильный принцип максимума.) Пусть u(x) ∈ (C 2 (Ω)∩C(Ω)) – гармоническая функция в Ω. Тогда:1.) (принцип максимума): max{u(x)| x ∈ Ω} = max{u(x)| x ∈ ∂Ω}.2.) (сильный принцип максимума): если Ω связно и существует точкаx0 ∈ Ω такая, что u(x0 ) = max{u(x)| x ∈ Ω}, то u(x) = const в Ω.Доказательство.Пусть x0 ∈ Ω иЗаметим, что 2) ⇒ 1). Докажем утверждение 2).M = u(x0 ) = max{u(x)| x ∈ Ω}.148Тогда при 0 < r < dist(x0 , ∂Ω) по теореме о среднем имеем∫10M = u(x ) =u(y)dy ≤ M.α(n)rnB(x0 ,r)Так как равенство достигается только в том случае, когда u(x) = M вB(x0 , r), то получаем, что u(y) = M ∀y ∈ B(x0 , r).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
