Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В случае m = nполучаем утверждение (б).21710.2.3Метод стационарной фазы.Теперь, собрав информацию из Лемм 1-3, можно дать неформальноеобоснование метода стационарной фазы для вывода асимптотики интеграла∫eiIε =φ(y)εa(y)dy при ε → 0.RnПредположим, что ∇φ = 0 внутри носителя функции a(y) в изолированных точках y1 , . .
. , yN и кроме того в этих точках матрицы D2 φ(yk )невырождены. Тогда для m = 1, 2, . . .∫φ(y)ei ε ζ(y) a(y)dy| = O(εm ), ε → 0,|Rnгде ζ ∈ Cc∞ равная нулю в окрестности точек y1 , . . . , yN Действительно,можно воспользоваться Леммой 3(а) для замены переменных в окрестности любой точки из носителя ζ, чтобы φ была аффинной функцией сненулевым градиентом, а затем применить Лемму 1.С другой стороны, если ζ гладкая, ζ равна нулю всюду, за исключением окрестности yk , и ζ(yk ) = 1, можно применить Лемму 3(б), найти∫ie ε φ(y) ζ(y) a(y)dy =∫Rnie ε φ(Φ(x)) ζ(Φ(x)) a(Φ(x))| det DΦ(x)| dx =Rn∫ii2φ(y)k= eεe 2ε (x−yk )·D φ(yk )(x−yk ) ζ(Φ(x)) a(Φ(x))×=Rni×| det DΦ(x)| dx = e ε φ(yk )×e 4 sgn(Diπ2 φ(yk ))(2πε)n/2×| det D2 φ(yk )|1/2(a(yk ) + O(ε))согласно Лемме 2.
Используя эти оценки и разбиение единицы, получаемасимптотическую формулуIε = (2πε)n/2N∑k=1iiπe ε φ(yk )sgn(D2 φ(yk )) (a(y ) + O(ε))4ek| det D2 φ(yk )|1/2при ε → 0.218(2.27)ПРИМЕР 4(стационарная фаза для волнового уравнения; продолжение).
Теперь применим вышеизложенную теорию к одному из интегралов(2.14):∫ ∫i1εI± (x, t) =ba(z) e ε φ± (x,ξ,z,t) dzdξn/2(2π)Rn RnЭтот интеграл имеет вид (2.16), но с (x, t) вместо x и (y, z) вместо y.Для фиксированных x ∈ Rn , t > 0 рассмотрим множество, на котором (y, z) → φ+ (x, y, z, t) стационарно:S + = {(y, z)| ∇y,z φ+ (x, y, z, t) = 0}В силу (2.15)(с заменой ξ на y)φ+ (x, y, z, t) = (x − z) · y + t|y| + p(z).Поэтому∂y φ+ (x, y, z, t) = (x − z) + ty, y ̸= 0,|y|∂z φ+ (x, y, z, t) = −y + ∂z p(z)СледовательноS + = {(y, z)| x = z −t∇z p(z)}|∇z p(z)|здесь и далее y = ∇z p(z) ̸= 0, если (y, z) ∈ S + .Если y ̸= 0, то[]2Dy2 φ+ Dy,zφ+2Dy,z φ+ ==2Dy,zφ+ Dz2 φ+ 2n×2n[=где P(y) = I −y⊗y.|y|2tP(y)|y|−I−I2Dz p(z)]2n×2nНа множестве S + имеемy = ∇z p(z)Поэтому2φ+ )det(Dy,z)t2= (−1) det I −D pP(∇z p)|∇z p| zn(219(2.28)Симметричная матрица Σ(z) = |∇1z p| Dz2 pP(∇z p) имеет n вещественныхсобственных значений λ1 (z), .
. . , λn (z). Имеем Σ(z)∇z p = 0, поскольку∇z p ⊗ ∇z p= ∇z p.|∇z p|2Отсюда λn (z) = 0. Оказывается, что другие собственные значенияλ1 (z), . . . , λn−1 (z) являются главными кривизнами κ1 (z), . . . , κn−1 (z) поверхности уровня p, проходящей через z. Поскольку проектор P2 = P,ненулевые собственные значения оператора |∇1z p| Dz2 pP(∇z p) суть ненулевые главные кривизны.
Пусть r1 , . . . , rn−1 базис главных кривизн((∇z p, rj ) =0). Тогда(Dz2 pP(∇z p)rj , rj ) = (P2 (∇z p)rj , Dz2 prj ) == κj (P(∇z p)rj , P(∇z p)rj ) = κjТаким образом, на S +n−12det(Dy,zφ+ ) = (−1)n Πj=1(1 − tκj (z)).(2.29)Если |t0 | достаточно мало, в силу теоремы о неявных функциях существует единственное решение уравненияx0 = z − t0∇z p(z), y = ∇z P (z)|∇z p(z)|гдеy0 = y(x0 , t0 ), z0 = z(x0 , t0 )Таким образом, из асимптотической формулы (2.27)(с 2n вместо n) получаем∫ ∫i1εφ (x ,y,z,t0 )ε + 0I+ (x0 , t0 ) =dydz =(2.30)a(z)en(2πε) Rn Rniπ2e ε sgn(Dyz φ+ ) iεφ+=e[a(z0 ) + O(ε)], ε → 0(2.31)2 φ |1/2| det Dyz+2φ+ и Dyzφ+ вычислены в точке (x0 , y0 , z0 , t0 )2Напомним, что из (2.29) функция det(Dyzφ+ ) выражается в явномвиде. Аналогична асимптотическая формула верна для I−ε (x0 , t0 ).
Поскольку1uε (x0 , t0 ) = (I+ε (x0 , t0 ) + I−ε (x0 , t0 ))2можно получить подробную информацию о пределах при ε → 0, по крайней мере, для малых t0 > 0.22010.2.4Оптика и стационарная фаза.ЗАМЕЧАНИЕ. Опишем кратко взаимосвязь между методом, основанном на формальной геометрической оптике, и методом стационарной фазы. Напомним, что первый метод приводит к двум уравнениям ГамильтонаЯкоби∂t φ ± |∇φ| = 0φε (x,t)(2.32)φ(x,t)+o(1)εдля комплексного решения uε = aε (x, t) ei ε = (a(x, t)+o(1)) ei.Характеристические уравнения для уравнения с частными производными∂t φ − |∇φ| = 0φ|t=0 = φ0 (x)(2.33)(уравнения на x и p системы ОДУ Гамильтона, выводившиеся в главе 4части 1) имеют следующий вид{ẋ = ∇p H, x(0) = x0 ,(2.34)ṗ = −∇x H, p(0) = ∇x φ0 (x0 ),Эта система называется системой ОДУ Гамильтона.
В нашем случаеẋ = −p(s), ṗ = 0|p(s)|Пусть x = X(x0 , t), p = P (x0 , t) – ее решение. В силу леммы о локальной обратимости, при малых t существуют функции x0 (x, t) обратные кx = X(x0 , t). Далее, из уравнений системы характеристик (2.34) можнополучитьz(x0 , t) =∫ t (∑n0Pj (x0 , τ )Hpj (P (x0 , τ ), X(x0 , τ )) −(2.35)j=1)−H(P (x0 , τ ), X(x0 , τ )) dτ + φ0 (x0 ),и, подставляя в (2.35) равенство x0 = x0 (x, t), получаем решение задачи Коши (2.33): u(t, x) = z(x0 (x, t), t).
В рассматриваемом случае, для221достаточно малого |t| ≪ 1, характеристики заметает малую окрестностьначальной точки. В частности, в данной точке x ∈ Rn , t > 0, где t мало,характеристика x(·)-это прямая, проходящая через единственную точкуz, удовлетворяющую условиюx0 = x + t∇φ(x0 ).|∇φ(x0 )|Это условие в точности совпадает с рассмотренным выше определениемстационарного множества S + .
Аналогично характеристики уравнения счастными производными ∂t φ + |∇φ| = 0 определяют множество S − , накотором стационарна φ− .Литература:М.В.Федорюк, Метод перевала“, §3.1-3.3”Л.К.Эванс, Уравнения с частными производными“, §4.5”222Приведем литературу, хорошо дополняющую прочитанные лекции:ЛИТЕРАТУРА:В.И. Арнольд Математические методы классической механики, 4-изд. М.Эдиториал НРСС, 2000“А.П. Аксенов Дифференциальные уравнения в двух частях: Учебник и”практикум для академического бакалавриата изд. Юрайт , 2016А.В.
Боровских, А.И. Петров Дифференциальные уравнения в двух”частях: Учебник и практикум для академического бакалавриата изд.Юрайт , 2016Я. С. Бугров, С. М. Никольский Высшая математика в 3 т. Т. 2. Элемен”ты линейной алгебры и аналитической геометрии : учебник для академического бакалавриата / . Ҹ 7-е изд., стер. Ҹ М. : Издательство Юрайт,2016.
Ҹ 281 с.В.В. Белов, Е.М.Воробьев Задачник по уравнениям математической физики//Московский институт электронного машиностроения, Москва(1974)“Конспекты лекций по математическим методам физики, “под редакци”ей В.В. Белова и С.Ю. Доброхотова, Институт им. Курчатова(2007)Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний// М. Наука(1974)“В.С.
Владимиров Сборник задач по уравнениям математической физики//М. Наука(1982)“С. К. Годунов Уравнения математической физики//М. Наука((1971)“А.Ю. Горицкий, С.Н. Кружков, Г.А. Чечкин, Квазилинейные уравне”ния с частными производными первого порядка: обобщеные решения,ударные волны, центрированные волны разряжения(краткое учебное пособие)//МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-мвт.
ф.-т., Москва(1997)“Ю.В. Егоров, М.А. Шубин Уравнения с частными производными. Основы теории, ВИНИТИ т. 30, Москва (1988)“А.И. Комеч Практическое решение уравнений математической физики//Учебно-методическое пособие для студентов университетов, МГУ им.М.В.Ломоносова, Москва(1993)“Р.
Курант Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964 “Е.М. Ландис Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов//Изд. Наука(1971)“А.И. Маркушевич Теория аналитических функций , М. Наука (1968)“В.П. Михайлов Дифференциальные уравнения в частных производных//Изд.
Наука(1983)“О.А. Олейник Лекции об уравнениях с частными производными// Москва,223БИНОМ Лаборатория знаний (2005)“И.Г. Петровский Лекции об уравнениях с частными производными//М.Физматгиз(1961)“А.Д. Полянин Уравнения и задачи математической физики в двух ча”стях: Справочник для академического бакалавриата изд. Юрайт, 2016С.Л.
Соболев Уравнения математической физики//М. Наука(1992)“А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики//Изд.Наука, М(1972)“Сборник задач по уравнениям с частными производными(под. редакц.А.С. Шамаева), Москва, БИНОМ Лаборатория знаний (2005)“Г.Е. Шилов Математический анализ// Изд. МГУ(1984)“М.А. Шубин Лекции об уравнениях математической физики//МЦНМОМосква(2001)“М.В. Федорюк, Метод перевала, Наука, Москва(1977)”А.Ф. Филлипов Введение в теорию дифференциальных уравнений// УРСС(Москва), 2004“Л. Хермандер Анализ линейных дифференциальных операторов с част”ными производными.
Т.1: Теория распределений и анализ Фурье.“Л.К. Эванс Уравнения с частными производными//Новосибирск, Та”мара Рожковская(2003)“,224Палин Владимир Владимирович, Радкевич Евгений ВладимировичЛекционный курс: Методы математической физики. Часть I.M., Издательство попечительского совета механико–математического факультета МГУ, 120 стр.Оригинал макет изготовлен издательской группой механикоматематического факультета МГУПодписано в печать 24.11.2012 г.Формат 60×90 1/16.
Объем 7,5 п.л.Заказ 2Тираж 100 экз.Издательство попечительского совета механико–математического факультета МГУг. Москва, Ленинские горы.Отпечатано на типографском оборудовании механико-математическогофакультета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
