Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Запаздывающий потенциал.В предыдущем разделе нам потребовалось фундаментальное решениедля волнового уравнения – обобщенная функция Φ(t, x). Построим этуфункцию для случая размерности n = 1, n = 2 и n = 3. Начнем со случаяn = 1. Тогда для Φ(t, x) имеем∂2∂2Φ(t,x)−Φ(t, x) = δ(t, x).∂t2∂x2Сделав замену переменных ξ =√1 (t2− x), η =√1 (x2(3.14)+ t), получаем:∂ξ ∂η Φ = δ(ξ, η).(3.15)ОтсюдаΦ = θ(ξ)θ(η) + F (ξ, η),где F (ξ, η) – гладкое решение уравнения ∂ξ ∂η F = 0. Считая F = 0, получаем:Φ(t, x) = θ(t − x)θ(x + t) = θ(t − |x|).Пусть теперь n = 3.
Для построения фундаментального решения сделаем сначала вспомогательное вычисление. Пусть u(t, x) ∈ C 2 (R+ × R3 ) –классическое решение волнового уравнения при t > 0. Положим [u]+ =u(t, x)θ(t), и заметим, что эта функция определена уже при всех t ∈ R.Кроме того,∂t [u]+ = ut θ(t) + u(t, x)δ(t) = ut (t, x)θ(t) + u|t=0 δ(t),∂t2 [u]+ = utt (t, x)θ(t) + ut (t, x)δ(t) + u|t=0 δ ′ (t) == utt (t, x)θ(t) + ut |t=0 δ(t) + u|t=0 δ ′ (t),а также∆[u]+ = θ(t)∆u(t, x).Таким образом, имеет место равенство[u]+ = ut |t=0 δ(t) + u|t=0 δ ′ (t).182(3.16)Отсюда следует, что искомое фундаментальное решение Φ(t, x) имеет видΦ(t, x) = [u]+ для обобщенной функции u(t, x) – решения задачи u = 0, t > 0, x ∈ R3 ,u|t=0 = 0,(3.17)ut |t=0 = δ(x).Сопоставим задаче (3.17) вспомогательную задачу uε = 0, t > 0, x ∈ R3 ,uv e|t=0 = 0,∂t uε |t=0 = ψε (x),(3.18)где ψε (x) – последовательность функций из C0∞ (R3 ), сходящихся к δ(x)при ε → 0.
Тогда по формуле Кирхгофа (1.24) имеем∫1uε (t, x) =ψε (y)dSy .4πt∂B(x,t)D′Так как ψε (x) ⇁ δ(x), ε → 0, то по лемме 9 получаем, что решение задачи(3.17) имеет вид∫1δ(|x| − t)u(t, x) =δ(y)dSy =.4πt4π|x|∂B(x,t)Так как δ(|x| − t) = 0 при t < 0, то [δ(|x| − t)]+ = δ(|x| − t).
Отсюда дляn = 3 получаемΦ(t, x) =δ(|x| − t).4π|x|(3.19)Справедлива следующая теорема.Теорема 74 (Единственность запаздывающего потенциала.) Фундаментальное решение волнового уравнения, тождественно равное нулю при t < 0 – единственно.Доказательство. Предположим противное. Пусть Φ1 и Φ2 – два фундаментальных решения, тождественно равных нулю при t < 0. Положим183U = Φ1 − Φ2 . Тогда U = 0 и U |t<0 = 0.
Пусть ηε (t, x) – стандартноеусредняющее ядро, Uε (t, x) = (U ∗ ηε )(t, x). Тогда в силу свойств сверткиобобщенной и гладкой функций Uε = 0 и Uε = 0 при t < −ε. Но отсюда всилу единственности классического решения задачи Коши для волновогоD′уравнения получаем, что Uε = 0 при всех t. Но так как Uε (t, x) ⇁ U (t, x),ε → 0 + 0, то U (t, x) = 0. Теорема доказана.Таким образом, условие Φ(t, x) = 0 при t < 0 выделяет из всех фундаментальных решений единственное решение, определенное при n = 3формулой (3.19). Это решение называется запаздывающим потенциалом,и оно отвечает принципу причинности, согласно которому решение неоднородного волнового уравнения при t = t0 зависит только от значенийправой части при t ≤ t0 , т.е.
информацию нельзя передавать в прошлое.Так как этот принцип физически осмысленен, то в электродинамике дляпостроения решений неоднородного волнового уравнения используетсяименно запаздывающий потенциал.Заметим теперь, что равенство (3.16) имеет место и для n = 2. Отсюдааналогично сказанному выше для n = 3, в случае n = 2 получаемΦ(t, x) =θ(t − |x|)√.2π t2 − |x|2(3.20)Упражнение к пункту 3: Получить равенство (3.20) аналогично выводу равенства (3.16).Литература:М.Ф.Шубин, Введение в теорию дифференциальных уравнений“, §7,”§23, §24184Глава 8Введение в теорию полугрупп.Многие уравнения с частными производными можно рассматривать какобыкновенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.Этот, на первый взгляд достаточно абстрактный, подход позволяет получать результаты о существовании решений и их гладкости, не выводяявно формул для решений.
Опишем сначала постановку задачи в общем виде. Пусть X – вещественное банахово пространство. Рассмотримв этом пространстве обыкновенное дифференциальное уравнениеdv= Av(t), t ≥ 0dt(0.1)v|t=0 = u ∈ X.(0.2)с начальным условиемЗдесь A : D(A) → X – линейный (возможно, неограниченный) оператор,v : [0, +∞) → X – функция со значениями в банаховом пространстве X.Нас интересует, какие условия разумно наложить на оператор A для того, чтобы:а) задача (0.1), (0.2) имела единственное решение v(t) для любого начального условия u ∈ X;б) интересные нам уравнения с частными производными можно былозаписать в виде (0.1), (0.2).1858.1Полугруппа и ее инфинитезимальный оператор.Пусть существует единственное решение v : [0, +∞) → X задачи (0.1),(0.2) для любых начальных данных u ∈ X. Введем семейство линейныхоператоров S(t) : X → X по правилу: v(t) = S(t)u.
Тогда в силу того,что v(t) – единственное решение, имеем:S(0)u = u,(1.3)S(t + s)u = S(t)S(s)u = S(s)S(t)u.(1.4)Условие 3 Потребуем также, чтобы отображение t : S(t)u было непрерывным из [0, +∞) в X.Определение 7 Семейство {S(t)}t≥0 ограниченных линейных операторов, отображающих X в X, называется полугруппой, если выполненысвойства (1.3), (1.4) и условие 3.
Если, кроме того, для любого t ≥ 0имеет место неравенство||S(t)|| ≤ 1,(1.5)то полугруппу {S(t)}t≥0 будем называть сжимающей.Пусть теперь задана сжимающая полугруппа {S(t)}t≥0 . Зададимсявопросом о том, какой оператор A и какое уравнение (0.1) ей соответствуют.Определение 8 ПоложимS(t)u − u∈ X},t→0+0tD(A) = {u ∈ X | ∃ limA : D(A) → X, Au = limS(t)u−u.tt→0+0Таким образом заданный оператор Aназовем инфинитезимальным оператором полугруппы {S(t)}t≥0 (в другой терминологии – производящим оператором или генератором).186Теорема 75 (Дифференциальные свойства полугруппы.) Пусть{S(t)}t≥0 – сжимающая полугруппа, u ∈ D(A).
Тогда:а) S(t)u ∈ D(A) для любого t ≥ 0,б) AS(t)u = S(t)Au для любого t > 0,в) отображение t → S(t)u дифференцируемо для любого t > 0,г) dtd (S(t)u) = AS(t)u для любого t > 0.Доказательство.lims→0+0Действительно, вычисляя явно AS(t)u, получаем:S(s)S(t)u − S(t)uS(t)(S(s)u − u)= lim=s→0+0ssS(s)u − u= S(t)Au.sТаким образом, S(t)u ∈ D(A) и AS(t)u = S(t)Au, т.е. пункты а) и б)доказаны. Пусть теперь t > 0, тогда()S(t)u − S(t − h)ulim− S(t)Au =h→0+0h()S(h)u − u= lim S(t − h)− S(t)Au =h→0+0h)(S(h)u − u− Au) + (S(t − h) − S(t))Au = 0,= lim S(t − h)(h→0+0hтак как= S(t) lims→0+0||S(t − h)(S(h)u − uS(h)u − u− Au)|| ≤ ||− Au|| → 0, h → 0 + 0hhв силу того, что полугруппа {S(t)}t≥0 сжимающая и определения оператора A, и ||(S(t − h) − S(t))Au|| → 0, h → 0 + 0 в силу того, что имеетместо условие 3. Следовательно,S(t)u − S(t − h)u= S(t)Au.h→0+0h(1.6)S(t + h)u − S(t)u= S(t)Au.h→0+0h(1.7)limАналогично,limТаким образом, существует производная dtd S(t)u = S(t)Au.
Отсюда и изпункта б) следуют пункты в), г). Теорема доказана.187Замечание 18 Определим по индукции D(Ak ) = {u ∈ D(Ak−1 | Ak−1 u ∈D(A)}. Пусть u ∈ D(Am ). Тогда для любого t ≥ 0: S(t)u ∈ D(Am ).Доказательство. Применим метод математической индукции. Для m =1 доказываемое утверждение совпадает с пунктом а) теоремы 75. Пустьдоказываемое утверждение верно для некоторого m = k.
Тогда дляm = k + 1 имеем:S(s)S(t)Ak u − S(t)Ak u= S(t)Ak+1 u,s→0+0slimт.е. S(t)Ak u ∈ D(A). Но по пункту б) теоремы 75 имеем S(t)Au = AS(t)u,откуда следует, что S(t)u ∈ D(Ak+1 ). Замечание доказано.Замечание 19 Так как отображение t → AS(t)u непрерывно, то отображение t → S(t)u принадлежит классу C 1 ((0, +∞)), если u ∈ D(A) иполугруппа {S(t)}t≥0 сжимающая.Определение 9 Оператор B : D(B) → X называется замкнутым, если для любой последовательности uk ∈ D(B) такой, что uk → u иBuk → v при k → ∞ верно u ∈ D(B), v = Bu.Теорема 76 (Свойства генератора сжимающей полугруппы).
Пусть{S(t)}t≥0 – сжимающая полугруппа, A – ее производящий оператор. Тогда:а) D(A) плотно в X,б) оператор A замкнутый.Докажем сначала пункт а). Пусть u ∈ X – произ∫tвольный элемент. Положим ut = S(s)uds.Доказательство.0В силу условия 3 и интегральной теоремы о среднем имеет местосходимость 1t ut → u, t → 0+0. Покажем, что для любого положительногоt имеет место включение ut ∈ D(A). Действительно, для произвольногоh > 0 имеем:∫t∫ttt1S(h)u − u= S(h)( S(s)uds) − S(s)uds =hh018801=h∫t(S(s + h) − S(s)) uds.0Таким образом,S(h)ut − ut=h→0+0hlim∫t+h∫h11S(s)uds −S(s)uds = S(t)u − u.= lim h→0+0hht0Отсюда по определению оператора A получаем, что для любого положительного t: ut ∈ D(A) и имеет место равенство∫tS(s)uds = S(t)u − u.tAu = A(1.8)0Из вышесказанного следует пункт а).
Докажем теперь пункт б). Пустьтеперь uk ∈ D(A), uk → u, Auk → v в X при k → ∞. Тогда в силу пунктаг) теоремы 75 имеем dtd S(t)uk = AS(t)uk , откуда∫tS(t)uk − uk =∫tAS(s)uk ds =0S(s)Auk ds.0Устремляя k → ∞, получаем∫tS(t)u − u =S(s)vds,0и в силу интегральной теоремы о среднем и условия 3 получаемS(t)u − u1lim= limt→0+0t→0+0 tt∫tS(s)vds = v,0т.е.
u ∈ D(A), Au = v. Теорема доказана.1898.2Резольвенты.Определение 10 Будем говорить, что λ ∈ R принадлежит резольвентному множеству ϱ(A) оператора A, если оператор λI −A : D(A) →X взаимно однозначный и задает отображение на“, т.е. обратим. Ес”ли λ ∈ ϱ(A), то резольвентой называется оператор Rλ : X → X, определенный формулой Rλ u = (λI − A)−1 u.Можно показать, что Rλ : X → D(A) – ограниченный линейный оператор.Упражнение. Доказать, что для любого u ∈ D(A) имеет место равенство ARλ u = Rλ Au.Теорема 77 (Резольвентные тождества.) Если λ, µ ∈ ϱ(A), то:Доказательство.Rλ − Rµ = (µ − λ)Rλ Rµ ,(2.9)Rλ Rµ = Rµ Rλ .(2.10)Действительно, для любого u ∈ X имеемRλ u = Rλ (µI − A)Rµ u = Rλ (µ − λ)Rµ u + Rλ (λI − A)Rµ u == (µ − λ)Rλ Rµ u + Rµ u,откуда следует равенство (2.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
