Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда в силу произвольRnности выбора y ∈ R , t ∈ [0, T ], устремив µ → 0 + 0 получаемnsup u(t, x) ≤ sup g(x).Rn[0,T ]×RnЕсли же 4aT ≥ 1, то применим приведенное выше рассуждение для t ∈11[0, 8a], затем сделаем замену τ1 = t− 8a. Тогда в новых переменных u(τ1 , x)удовлетворяет тому же уравнению, и к ней опять можно применить то же1рассуждение, что и выше, но уже для τ1 ∈ [0, 8a].
Далее сделаем замену1τ2 = τ1 − 8a , и т.д.. Тем самым, за конечное число шагов мы исчерпаемвесь промежуток [0, T ], и в каждой из полос будет иметь место требуемоенеравенство. Теорема доказана.Следствие 11 (Единственность решения задачи Коши.) Пусть g(x) ∈C(Rn ) ∩ L∞ (Rn ), f (t, x) ∈ C([0, T ] × Rn ). Пусть также α > 0, β > 0 –константы. Тогда существует не более одного решения u(t, x) ∈ Tα,βзадачи Коши{ut − ∆u = f (t, x), t ∈ (0, T ], x ∈ Rn ,u|t=0 = g(x).Упражнение к пункту 5: Доказать следствие 11.1746.3.6Гладкость решений.Пусть t0 ∈ R, x0 ∈ Rn , r > 0.
Обозначим C(t0 , x0 , r) = {(s, y) ∈ R × Rn ||x0 − y| ≤ r, t0 − r2 ≤ s ≤ t0 } – круговой цилиндр высоты r2 с радиусомоснования r и центром верхнего основания в точке (t0 , x0 ). Оказывается,имеет место следующая теорема.Теорема 72 (Гладкость решений уравнения теплопроводности).Пусть u(t, x) ∈ C 1,2 (ΩT ) – решение уравнения теплопроводности в ΩT .Тогда u(t, x) ∈ C ∞ (ΩT ).Доказательство. Зафиксируем точку (t0 , x0 ) ∈ ΩT и выберем r настолько малым, что цилиндр C(t0 , x0 , r) содержится в ΩT .
Обозначимдля краткости C = C(t0 , x0 , r), C ′ = C(t0 , x0 , 43 r), C ′′ = C(t0 , x0 , 21 r). Выберем срезающую функцию ξ(t, x) ∈ C ∞ ([0, T ] × Rn ) так, что ξ(t, x) = 1при (t, x) ∈ C ′ , и ξ(t, x) = 0 при t ≤ t0 , (t, x) ∈/ C.Пусть ε > 0, ΩT,ε = {(t, x) ∈ ΩT | dist((t, x), ∂Ω) > ε}. Пусть такжеηε (t, x) – стандартное усредняющее ядро, uε (t, x) = (u ∗ ηε )(t, x). Определим также vε (t, x) = ξ(t, x)uε (t, x).
Заметим, что при достаточно малом rфункция vε имеет следующие свойства: vε |t=0 = 0, vε (t, x) = uε (t, x) при(t, x) ∈ C ′ , vε (t, x) = 0 при t ≤ t0 , (t, x) ∈/ C. Положим fε = ∂t vε − ∆vε , ирассмотрим задачу Коши{wt − ∆w = fε , t ∈ (0, t0 ], x ∈ Rn ,w|t=0 = 0.По теореме 65, решением этой задачи является функция∫t ∫veε (t, x) =Φ(t − s, x − y)fε (s, y)dyds.0 RnНо функция vε (t, x) тоже является решением той же задачи в силу того,как была определена функция fε . Отсюда, так как обе функции vε и veεограничены, по теореме единственности получаем, что∫t ∫Φ(t − s, x − y)fε (s, y)dyds.vε (t, x) =0 Rn175Так как ξ(t, x) = 0 при t ≤ t0 , (t, x) ∈/ C, то fε (t, x) = 0 там же. Болеетого, так как vε |C ′ = uε |C ′ , то для всех (t, x) ∈ C ′ ∩ ΩT,ε имеемfε (t, x) = ∂t vε − ∆vε = ∂t uε − ∆uε = 0в силу свойств свертки и того, что u(t, x) – решение уравнения теплопроводности.
Следовательно,∫∫uε (t, x) =Φ(t − s, x − y)fε (s, y)dyds,(3.61)Cи этот интеграл не является несобственным. Расписывая подробно выражение для fε , получаем∫∫uε (t, x) =Φ(t − s, x − y) ((ξs (s, y) − ∆ξ(s, y))uε (s, y)−C−2 < ∇ξ(s, y), ∇uε (s, y) >) dyds.Интегрируя последнее слагаемое по частям (перебрасывая производныес uε ), имеем∫∫uε (t, x) =(Φ(t − s, x − y)(ξs (s, y) + ∆ξ(s, y))+C+2 < ∇y Φ(t − s, x − y), ∇ξ(s, y) >)uε (s, y)dyds.Устремляя в (3.62) ε → 0 + 0, получаем∫∫u(t, x) =K(t, x, s, y)u(s, y)dyds.(3.62)(3.63)CТак как fε |C ′ → 0, то K(t, x, s, y) = 0 при (s, y) ∈ C ′ .
Осталось заметить,что K ∈ C ∞ (C \ C ′ ). Следовательно, в силу (3.63) получаем u ∈ C ∞ (C ′′ ).Теорема доказана.176Глава 7Система уравнений Максвелла.7.1Постановка задачи. Законы сохранениядля системы уравнений Максвелла.Пусть x ∈ R3 , t ∈ R, скалярная величина ϱ – плотность электрического заряда, векторные величины: v – скорость движения зарядов, E –напряженность электрического поля, D – электрическая индукция, H –напряженность магнитного поля, B – магнитная индукция.
Также обычно вводят векторную величину j – плотность электрического тока, задаваемую равенством j = ϱv. В указанных обозначениях можно записатьв дифференциальной форме законы электродинамики.Закон Гаусса (электрический заряд является источником электрической индукции):divD = ϱ.(1.1)Закон Гаусса для магнитного поля (не существует магнитных зарядов):divB = 0.(1.2)Закон индукции Фарадея (изменение магнитной индукции порождаетвихревое электрическое поле):rotE = −177∂B.∂t(1.3)Закон Ампера-Максвелла (электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле):rotH = j +∂D.∂t(1.4)В среде сторонние электромагнитные поля вызывают поляризацию (электрическое поле) и намагниченность (ориентацию магнитных диполейвдоль силовых линий стороннего магнитного поля).
Векторы поляризации P и намагниченности M связывают с E и H равенствамиP = ε0 χe E, M = χµ H,где симметрические матрицы χe и χµ называются матрицами диэлектрической и магнитной восприимчивости соответственно. Кроме того,поляризация и намагниченность связаны с векторами электрической имагнитной индукции равенствамиD = ε0 E + P, B = µ0 (H + M ).В предположении, что среда изотропная и однородная, матрицы χe и χµможно считать пропорциональными единичной матрице.
Тогда скалярные параметрыε = 1 + χe , µ = 1 + χµназывают относительной электрической проницаемостью и относительной магнитной проницаемостью соответственно. Тогда{D = ε0 µE,(1.5)B = µ0 µHВ предположении, что токи и заряды в точке x в момент времениt зависят только от величины поля в данной точке (отсутствует пространственная дисперсия) и только в этот момент времени (отсутствуетвременная дисперсия), уравнения (1.1) - (1.5) можно переписать в видесистемы уравнений Максвелла для однородной и изотропной среды бездисперсии, которую мы и будем далее исследовать:divE = εε10 ϱ,divB = 0,(1.6),rotE = − ∂B∂t∂ErotB = µµ0 j + εµ.c2 ∂t178Здесь c = √ε10 µ0 – скорость света.Начнем с того, что выпишем законы сохранения для системы (1.6).Взяв дивергенцию от четвертого уравнения системы (1.6), получаем:εµ ∂(divE),c2 ∂tоткуда и из первого уравнения следует0 = µµ0 divj +µ ∂ϱ= 0,0 ∂tи после деления обеих частей на µµ0 получаем уравнение неразрывностиµµ0 divj +c2 ε∂ϱ+ div(ϱv) = 0.(1.7)∂tКроме уравнения неразрывности, для системы уравнений Максвелла имеет место закон сохранения энергии.Теорема 73 (Закон сохранения энергии.) Пусть S = E × H – вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга), wE = εε20 |E|2 – объемная плотность энергии электрического поля,1wH = 2µµ|B|2 – объемная плотность энергии магнитного поля.
Тогда0∂(wE + wH ) = − < E, j > .(1.8)∂tДоказательство. Скалярно умножая третье уравнение системы (1.6)на B, четвертое на E, получаем:1< B, rotE >= − ∂t |B|2 ,2εµ< E, rotB >= µµ0 < j, E > + 2 ∂t |E|2 .2cДалее, так как H = µµ1 0 B, тоdivS +S=1E × B,µµ011(< B, rotE > − < E, rotB >) = −(∂t |B|2 +µµ02µµ0εε0+ < j, E > +∂t |E|2 ),2откуда следует (1.8). Теорема доказана.divS =1797.2Потенциалы.
Калибровка Лоренца.Введем скалярный потенциал ϕ(t, x) и векторный потенциал A(t, x) так,чтоE = −∇ϕ − ∂t A, B = rotA.(2.9)Тогда второе уравнение системы Максвелла (1.6), очевидно, выполнено.Кроме того,rotE = rot(−∇ϕ − ∂t A) = −rot(∇ϕ) − ∂t B,и так как rot(∇ϕ) = 0, то третье уравнение системы Максвелла такжевыполнено.Заметим, что потенциалы A, ϕ определены с точностью до калибровочного преобразования: если ψ(t, x) ∈ C 2 – произвольная функция, тофункции A′ = A+∇ψ, ϕ′ = ϕ−∂t ψ также будут потенциалами для тех жеE, B. Калибровочное преобразование можно применять для полученияболее простых уравнений на потенциалы.
В частности, можно подобратьψ таким образом, чтобы получить любое значение дивергенции векторного потенциала A. Действительно,divA′ = divA + ∆ψ,и, выбирая функцию ψ как решение уравнения Пуассона∆ψ = α(t, x)мы можем получить любое значение дивергенции A′ .Подставляя равенства (2.9) в первое и четвертое уравнение системыМаксвелла (1.6), получаем:div(−∇ϕ − ∂t A) =1ϱ,εε0εµ(−∇ϕ − ∂t A).c2Используя равенство rot(rotA) = −∆A + ∇(divA), где оператор Лапласав правой части применяется покомпонентно, получаем:{−∆ϕ − ∂t (divA) = εε10 ϱ,(2.10)∂2−∆A + ∇(divA) + εµdiv(∂t ϕ) + εµA = µµ0 j.c2c2 ∂ 2 trot(rotA) = µµ0 j +180Используем калибровочное преобразование: перейдем к A′ = A + ∇ψ,ϕ′ = ϕ − ∂t ψ.
Так как система уравнений (2.10) выполнена для A, ϕ, тоона выполнена и для A′ , ϕ′ . Выберем теперь ψ так, чтоdivA′ +εµ ′∂t ϕ = 0,c2(2.11)т.е. функция ψ удовлетворяет уравнениюεµεµψ−∆ψ=∂t ϕ + divA.ttc2c2(2.12)это условие называют условием калибровки Лоренца.
Тогда система (2.10)на потенциалы A′ , ϕ′ примет вид{−∆ϕ′ + εµϕ′ = εε10 ϱ,c2 tt(2.13)−∆A′ + εµA′ = µµ0 j,c2 ttт.е. систему Максвелла (1.6) можно переписать в виде системы неоднородных волновых уравнений (2.13).Пусть теперь Φ(t, x) – фундаментальное решение оператора Даламбера √cεµ , т.е.εµ−∆Φ + 2 Φtt = δ(t, x).cПоложим1ϕ′ =Φ ∗ ϱ,εε0A′ = µµ0 Φ ∗ j.Тогда функции ϕ′ , A′ удовлетворяют системе (2.13). Подставляя выражения для ϕ′ , A′ в условие (2.11), получаем:div(µµ0 Φ ∗ j) +εµ1∂t (Φ ∗ ϱ) = 0,2cεε0откуда в силу свойств сверткиΦ ∗ (div(µµ0 j) +µc2 ε∂t ϱ) = 0,0т.е. для плотности тока j и плотности распределения зарядов ϱ имеетместо уравнение неразрывности (1.7).1817.3Фундаментальное решение волнового уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
