Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Заметим, что задача Неймана разрешима не для всех функций g(x) ∈ C(∂Ω). Действительно, еслиu(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) – решение задачи (2.46), то∫0=∫∆u(x)dx =Ω∂u(x)dSx =∂ν∫g(x)dSx ,∂Ω∂Ωт.е. для разрешимости задачи (2.46) необходимо, чтобы было выполненоусловие∫g(x)dSx = 0.(2.47)∂ΩПусть это условие выполнено. Оказывается, имеет место единственностьрешения задачи Неймана с точностью до аддитивной постоянной:Теорема 63 Если u1 (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) и u2 (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) – дварешения задачи (2.46), тогда найдется константа C ∈ R такая, чтоu1 (x) − u2 (x) = C, и наоборот.Доказательство.
Положим v(x) = u1 (x)−u2 (x). Тогда функция v(x) –решение задачи Неймана (2.46) для случая g(x) = 0. Положим ⃗a = v∇v,тогда из формулы Остроградского имеем∫∂v(x)v(x)dSx =∂ν∫(|∇v(x)|2 + v(x)∆v(x))dx,Ω∂Ωи в силу того, что функция v(x) – решение задачи (2.46) с g(x) = 0,получаем∫|∇v(x)|2 dx = 0,Ωоткуда ∇v(x) = 0 для всех x ∈ Ω, т.е. v(x) = const . Доказательство вобратную сторону получается непосредственной подстановкой. Теоремадоказана.1576.36.3.1Уравнение теплопроводности.Основные определения. Фундаментальное решение.Основной целью этого раздела является изучение уравнения теплопроводностиut − ∆u = 0, t > 0, x ∈ Ω,(3.48)где Ω ⊆ Rn – область, и неоднородного уравненияut − ∆u = f (t, x), t > 0, x ∈ Ω,(3.49)где функция f : [0, +∞) × Ω → R задана.
Начнем с того, что построимчастное решение uA (t, x) уравнения (3.48) специальной структуры:uA (t, x) =1 xv( ),tα tβ(3.50)где параметры α, β ∈ R и функцию v : Rn → R надо определить. Подставляя (3.50) в (3.48), получаем:−αtα+1v(xβ1) − α+β+1 < x, ∇v > − α+2β ∆v = 0.βtttПоложим y = t−β x, β = 12 . Тогда все степени t будут одинаковы, и темсамым имеем:1αv + < y, ∇v > +∆v = 0.2Допустим, что v(y) = w(|y|), тогда последнее равенство перепишется ввидеrn−1 ′αw + w′ + w′′ +w = 0.2rВыбрав α = n2 , получим отсюда1(rn−1 w′ )′ + (rn w)′ = 0,2и далее1rn−1 w′ + rn w = a,2158где a ∈ R.
Полагая lim w = lim w′ = 0, получаем, что a = 0, откудаr→∞r→∞w′ = − 21 rw, а значит,r2w(r) = be− 4 .Отсюда, учитывая выбор α, β, получаемuA (t, x) = b exp(−|x|2).4tОпределим обобщенную функцию{2n(4πt)− 2 exp(− |x|), x ∈ Rn , t > 0,4tΦ(t, x) =0, x ∈ Rn , t < 0.Выбор нормировочной константы b = (4πt)− 2 связан со следующим простым утверждением.nЛемма 10 Для любого t > 0 имеет место равенство∫Φ(t, x)dx = 1.RnЗаметим, что при (t, x) ̸= (0, 0) функция Φ(t, x) является решениемуравнения теплопроводности (3.48). Следовательно, для любого фиксированного y ∈ Rn при x ̸= y функция Φ(t, x − y) – также решение уравнения теплопроводности.Рассмотрим задачу Коши{ut − ∆u = 0, t > 0, x ∈ Rn ,(3.51)u|t=0 = g(x), x ∈ Rn .Имеет место следующая теорема.Теорема 64 Пусть g(x) ∈ C(Rn ) ∩ L∞ (Rn ).
Определим функцию u(t, x)равенством∫u(t, x) = Φ(t, x − y)g(y)dy.(3.52)RnТогда:1. u ∈ C ∞ ((0, +∞) × Rn ).2. ut − ∆u = 0, t > 0, x ∈ Rn .3.lim(t,x)→(0,x0 ), t>0= g(x0 ) ∀x0 ∈ Rn .159|x|2Доказательство. 1. Так как t− 2 e− 4t – бесконечно дифференцируемая функция при t > 0, x ∈ Rn , и интегралы от производных функцииu(t, x) равномерно сходятся на [δ, +∞) × V при любых δ > 0 и V b Rn ,то функция u(t, x) ∈ C ∞ ((0, +∞) × Rn ). Кроме того,∫ut − ∆u = (Φt − ∆x Φ)(t, x − y)g(y)dy = 0nRnв силу свойств функции Φ(t, x).2.
Пусть x0 ∈ Rn , ε > 0. Выберем δ > 0 так, что |g(y) − g(x0 )| < ε, если|y − x0 | < δ, y ∈ Rn . Если |x − x0 | < 2δ , то согласно лемме 10 имеем∫00|u(t, x) − g(x )| = Φ(t, x − y)(g(y) − g(x ))dy ≤nR∫≤∫Φ(t, x − y)|g(y) − g(x0 )|dy+B(x0 ,δ)Φ(t, x − y)|g(y) − g(x0 )|dy = I + J.+Rn \B(x0 ,δ)Далее,∫I≤ε∫Φ(t, x − y)dy ≤ εΦ(t, x − y)dy = ε.RnB(x0 ,δ)Кроме того, если |x − x0 | ≤ 2δ и |y − x0 | ≥ δ, то |y − x0 | ≤ |y − x| +|y − x| + 12 |y − x0 |, откуда |y − x| ≥ 12 |y − x0 |.
Отсюда∫J ≤ 2||g||L∞Φ(t, x − y)dy ≤Rn \B(x0 ,δ)const≤nt2const≤nt2∫|x − y|2exp(−)dy ≤4tRn \B(x0 ,δ)∫exp(−Rn \B(x0 ,δ)160|y − x0 |2)dy =16tδ2≤const=nt2∫+∞r2 n−1)r dr → 0exp(−16tδпри t → 0 + 0. Таким образом, если |x − x0 | <то |u(t, x) − g(x0 )| < 2ε. Теорема доказана.δ2и t > 0 достаточно мало,Замечание 17 Если функция g(x) ≥ 0, g(x0 ) ̸= 0 для некоторого x0 ∈Rn , и удовлетворяет условиям теоремы 64, то функция u(t, x), определенная формулой (3.52), будет положительной во всех точках полупространства t > 0, x ∈ Rn . Это утверждение можно интерпретировать так, что уравнение теплопроводности инициирует бесконечнуюскорость распространения возмущений.Упражнение к пункту 1: Доказать лемму 10 (прямым вычислением).6.3.2Неоднородная задача.Рассмотрим теперь неоднородную задачу Коши{ut − ∆u = f (t, x), t > 0, x ∈ Rn ,u|t=0 = 0.(3.53)Заметим, что для любого фиксированного s ∈ (0, t) функция∫u(t, x, s) = Φ(t − s, x − y)f (s, y)dyRnявляется в силу теоремы 64 решением задачи{ut − ∆u = 0, t > s, x ∈ Rnu|t=s = f (s, x).(3.54)Принцип Дюамеля утверждает, что можно построить решение задачи(3.53) из решений задачи (3.54) интегрированием по s.
Положим∫t ∫Φ(t − s, x − y)f (s, y)dyds.u(t, x) =0 Rn161(3.55)Теорема 65 (Принцип Дюамеля.) Пусть f (t, x) ∈ C01,2 ([0, +∞)×Rn ).Тогда функция u(t, x), определенная формулой (3.55), обладает следующими свойствами:1) u ∈ C 1,2 ((0, +∞) × Rn ).2) ut − ∆u = f (t, x).3)u(t, x) = 0 ∀x0 ∈ Rn .lim0(t, x) → (0, x )t > 0, x ∈ RnДоказательство. Будем действовать аналогично доказательству теоремы 64. Сделаем замену переменных в (3.55):∫t ∫u(t, x) =0 Rn=∫t ∫0 RnΦ(t − s, x − y)f (s, y)dyds =(3.56)Φ(s, y)f (t − s, x − y)dyds.Так как функция f (t, x) финитна и дважды непрерывно дифференцируема по xj , однократно непрерывно дифференцируема по t, а функцияΦ(s, y) гладкая в окрестности s = t > 0, то, дифференцируя интеграл(3.56) по параметрам t, xj , получаем:∫t ∫∫Φ(s, y)ft (t − s, x − y)dyds +ut =0 RnΦ(t, y)f (0, x − y)dy,Rn∂ 2u=∂xi ∂xj∫t ∫Φ(s, y)0 Rn∂ 2f(t − s, x − y)dyds.∂xi ∂xjТаким образом, u(t, x) ∈ C 1,2 ((0, +∞) × Rn ).
Подставляя вычисленныеявно производные в левую часть уравнения в (3.53), получаем:∫t ∫ut − ∆u =Φ(s, y) ((∂t − ∆x )f (t − s, x − y)) dyds+0 Rn∫+Φ(t, y)f (0, x − y)dy =Rn162∫t ∫Φ(s, y) ((∂t − ∆x )f (t − s, x − y)) dyds+=εRn∫ε ∫Φ(s, y) ((∂t − ∆x )f (t − s, x − y)) dyds++0 Rn∫Φ(t, y)f (0, x − y)dy = Iε + Jε + K.+RnДалее,∫ε ∫|Jε | ≤ (||ft ||L∞ +||Dx2 f ||L∞ )Φ(s, y)dyds ≤ Cε,0 Rnинтегрируя Iε по частям и учитывая, что внеинтегральные члены пропадут в силу финитности f (t, x), получаем∫t ∫Φ(s, y) ((∂t − ∆x )f (t − s, x − y)) dyds =Iε =ε Rn∫t ∫((∂s − ∆y )Φ(s, y)) f (t − s, x − y)dyds+=∫+ε Rn∫Φ(ε, y)f (t − ε, x − y)dy −RnΦ(t, y)f (0, x − y)dy =Rn∫Φ(ε, y)f (t − ε, x − y)dy − K=Rnв силу того, что (∂s − ∆y )Φ(s, y) = 0 при s > 0. Отсюда∫ut − ∆u = lim Φ(ε, y)f (t − ε, x − y)dy = f (t, x),ε→0Rnпредел вычисляется аналогично подобному пределу в доказательстветеоремы 64.163Кроме того,||u(t, ·)||L∞ ≤ ||f ||L∞ t → 0, t → 0.Поэтому, свойство 3 для функции u(t, x), определенной формулой (3.55),также выполнено.
Теорема доказана.Упражнение к пункту 2: Провести подробное доказательство того, чтов условиях теоремы 65 верно∫lim Φ(ε, y)f (t − ε, x − y)dy = f (t, x).ε→0Rn6.3.3Теоремы о стабилизации.Пусть теперь n = 1, u(t, x) – определенное формулой (3.52) решениезадачи Коши{ut − uxx = 0, t > 0, x ∈ R,(3.57)u|t=0 = g(x).Оказывается, что для некоторых классов функций g(x) существует конечный предел lim u(t, x). Теоремы, утверждающие этот факт, носятt→+∞название теорем о стабилизации решения задачи Коши для уравнениятеплопроводности.Теорема 66 Пусть g(x) ∈ C(R) ∩ L∞ (R) – периодическая функция. Тогдаlim u(t, x) = g0 ,t→+∞где g0 – нулевой коэффициент разложения функции g(x) в ряд Фурье(пространственное среднее функции g(x)).Доказательство.
Пусть 2l – период функции g(x). Тогда, разлагаяg(x) в ряд Фурье, получаемg(x) =+∞∑gk exp(k=−∞kπix).lЭтот ряд сходится равномерно в силу непрерывности g(x), что позволяетпереставлять суммирование и интегрирование после подстановки ряда в164формулу (3.52). Подставляя явно, получаем:)(∫1(y − x)2u(t, x) = √dy =g(x) exp −4t2 πtRg0= √2 πt−1∑1√+2 πtk=−∞++∞∑k=11√2 πt∫∫R)((y − x)2dy+exp −4t(gk expR(∫gk expR)()(y − x)2exp −dy+4t)()(y − x)2exp −dy.4tkπixlkπixlПервый из интегралов равен g0 .
Покажем, что остальные слагаемые стремятся к нулю при t → +∞. Для этого выделим полный квадрат подзнаком экспоненты:()()∫1kπix(y − x)2√expexp −dy =l4t2 πtR()4kπit 4kπ 2 t21= √ exp−·ll22 πt)(∫2))(y − (x + 2kπitldy =· exp −4tR()4kπit 4kπ 2 t2= exp−→ 0, t → +∞.ll2Следовательно, все слагаемые в представлении u(t, x) в виде суммы, кроме первого, стремятся к нулю при t → +∞. Отсюда следует требуемое.Теорема доказана.Теорема 67 Пусть g(x) ∈ C(R)∩L∞ (R), и существуют пределы lim g(x) =x→+∞A, lim g(x) = B. Тогдаx→−∞lim u(t, x) =t→+∞165A+B.2Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
