Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Таким образом, повторно применяя описанный выше метод, мы получаем возможность доопределитьфункцию Грина на всю вещественную прямую. При этом при каждомпереходе через фокальную точку функция Грина будет домножаться нанекоторый множитель, и ее общий вид()iπiπie− 4 e− 2 σ(t)x2 + y 2G(x, y, t) = √exp(cos t − xy) ,h sin t22πh| sin t|причем σ(t) = 0 при t ∈ (0, π) и σ(t) = 1 при t ∈ (π, 2π).
Функция σ(t)называется индексом Маслова.4.6.6Регуляризация функции Грина.Вернемся к рассмотрению точного решения задачи Коши для уравненияШредингера с гармоническим осциллятором1ψ(t, x) = √×cos t + b sin t(× expi 2x(k − by) + (b(x2 + y 2 ) − 2ky) cos t − (x2 + k 2 ) sin th2(cos t + b sin t)),(6.69)соответствующего квадратичной начальной фазе S0 (x) = k(x−y)+ 2b (x−y)2 и постоянной амплитуде ϕ0 = 1. Можно считать, что b – комплексныйпараметр. Если Im(b) > 0, то полагая b = b1 + ib2 , получим, что функцияψ(t, x) – равномерно ограниченная при√b2 > 0.√Положим J = cos t+b sin t.Заметим, что комплексная функция J = |J| exp( 2i arg(J)) – многозначная.
Выделим ее непрерывную ветвь равенством arg(J)|t=0 = 0. Тогда равенство (6.69) определяет точное решение для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором, определенное при всех t ≥ 0. Пусть116теперь k = 0, b = iβ, β > 0. Отнормируем функцию ψ(t, x): положим√()i −2iβxy + iβ(x2 + y 2 ) cos t − x2 sin tβψ(t, x) = √exp. (6.70)h2(cos t + iβ sin t)2Jhπ√2βЗаметим, что при такой нормировке ψ|t=0 = 2πhexp(− (x−y)β) – гаус2hсовские распределения, и при β → +∞ имеет место сходимостьDψ|t=0 ⇁ δ(x − y), β → +∞.DСледовательно, ψ(t, x) ⇁ G(t, x, y) при β → +∞. Сделаем замену ε =и положимexp(− iπ4 )√Gε (t, x, y) =×√2πh sin t − iε cos t()i (x2 + y 2 ) cos t − 2xy + iεx2 sin t× exp,h2(sin t − iε cos t)√где √ветвь многозначной функции sin t − ε cos t выбрана условиемarg J|t=0 = − π4 . Тогда нетрудно видеть, что√πarg J = − + arctg4(1β)[]1t1tg t + π+,επ 2где квадратными скобками обозначена целая часть числа.
При t ̸= πk,ε → 0 + 0 построенные функции Gε сходятся к полученной нами ранее функции Грина G(x, y, t) задачи Коши для уравнения Шредингера сгармоническим осциллятором. Если же t = πk, то()exp(− iπ2 k)(x − (−1)k y)2 DGε (πk, x, y) = √exp −⇁2hε2πhεexp(−iπk)δ(x − (−1)k y).2Таким образом, нам удалось построить регуляризации Gε (t, x, y) дляфункции Грина, которые позволяют найти нужный индекс в тех точках,где G(x, y, t) регулярная, и позволяют также доопределить G(t, x, y) какобобщенную функцию в фокальных точках t = πk.1174.6.7Поведение лагранжева многообразия Λt и егосвязь с индексом.Для лагранжева многообразия, связанного с уравнением Шредингера сгармоническим осциллятором, имеемΛt = {P = ξ cos t − y sin t, X = ξ sin t + y cos t},т.е.
Λt – семейство прямых, которые поворачиваются по часовой стрелкес единичной скоростью и становятся вертикальными при t = πk. Такимобразом, индекс σ(t), введенный нами ранее, показывает, сколько разпрямая Λt стала вертикальной с момента времени t = 0. Дадим другоеопределение индекса. Для этого свяжем с Λt целочисленную функциюσ(t), которую определим ниже и убедимся, что в случае задачи Коши(6.52) она совпадает с введенным нами ранее индексом Маслова. Положим∂X∂PC(t, ξ) =, B(t, ξ) =.∂ξ∂ξДля гармонического осциллятора C = sin t, B = cos t.
Введем регуляризацию для якобиана согласно предыдущему пункту: положимJε = C − iεB.Тогда Jε ̸= 0 при ε > 0. Поэтому определена непрерывная функцияarg(Jε ), и для вычисления σ(t) положимσ(ξ, t) = σ(ξ0 , t0 ) +1lim arg(Jε )|ξ,tξ0 ,t0 .π ε→0+0Заметим, что∫targ(Jε )ξ,tξ0 ,t0=Im(LnJε )|ξ,tξ0 ,t0=ImdJε,Jεt0откуда окончательно получаем1limσ(t) = σ(t0 ) +π ε→0+0∫tImt0118dJε.Jε(6.71)В случае гармонического осциллятора формула (6.71) дает1limσ(t) = 0 +π ε→0+0∫tεdt,sin t + ε2 cos2 t20и явное исследование правой части показывает, что определенная формулой (6.71) функция σ(t) действительно является индексом Масловазадачи Коши для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором.
В связи с этим, в общем случае будем рассматривать формулу (6.71)как определение индекса Маслова.4.6.8Канонический оператор Маслова в одномерномслучае.Рассмотрим теперь случай почти“ произвольного уравнения Шредин”гера (6.44). На потенциал U (x) в этом уравнении мы далее наложим некоторые ограничения. Начнем с того, что сопоставим уравнению ГамильтонаЯкоби для фазы (6.45) лагранжево многообразие Λt и определим на этоммногообразии функции∫tH(ξ, τ )dτ, ϕ(ξ) = ϕ0 (ξ), C =z(t, ξ) = S0 (ξ) +∂X∂P, B=.∂ξ∂ξ0Заметим, что C – якобиан, и в тех точках, где он не равен нулю, лагранжево многообразие допускает проектирование на ось x, т.е. при C ̸= 0существует гладкая функция K(t, x) такая, что ξ = K(t, x) являетсярешением алгебраического уравнения X(t, ξ) = x.
Подставляя эту функцию вместо ξ в равенствоϕ(ξ)iψ(t, ξ) = √exp( z(t, ξ))hC(t, ξ)получаем коротковолновую асимптотику ψ(t, x). Заметим, что B и C необращаются в ноль одновременно. Далее, из метода стационарной фазыполучаемh(Fx→pψ)(t, p)1=√2πh∫+∞ipyϕ(ξ)ie− h √exp( z(t, ξ))|ξ=K(t,y) dy =hC(t, ξ−∞119πeiq 4 ϕ(ξ)= √expB()i(z(t, ξ) − pX(t, ξ))+ O(h) |ξ=ξ(t,p) ,hгде q = sign B, и после перехода через фокальную точку с помощьюCпреобразования Фурье окончательно получаемπϕ(ξ)iψ(t, x) = e−i 2 σ(t) √ exp( z(t, ξ))|ξ=K(t,x) + O(h),hCгде σ(t) – индекс Маслова, определенный формулой (6.71).
Заметим, чтосделав h-преобразование Фурье с уравнением Шредингера с гармоническим осциллятором, мы вновь получим это же уравнение. Этот замечательный факт и является причиной того, что для уравнения Шредингера с гармоническим осциллятором функцию Грина можно построитьточно.
В случае же, когда преобразование Фурье от потенциала U (x) будет дифференциальным оператором с главной частью второго порядка,метод канонического оператора, описанный в этом пункте, также применим, но позволяет построить только асимптотику для функции Гринас точностью до O(h).Упражнения.1.
Дать определение h-преобразования Фурье быстро убывающих функций. Проверить равенства (6.56), (6.57).2. Проверить, что коротковолновая асимптотика для задачи (6.65) дает(6.63), (6.64).3. Убедиться в том, что явное вычисление интеграла с квадратичной фазой в правой части (6.66) дает в результате формулу (6.67).4. Показать, что функция ψ(t, x), определенная равенством (6.69) равномерно ограничена по t, x при b ∈ C, Im(b) > 0.Литература:Конспекты лекций по математическим методам физики, под редакциейВ.
В. Белова и С. Ю. Доброхотова, Институт им. Курчатова(2007)Авторы благодарны С. Ю. Доброхотову за предоставленную рукопись.120Глава 5Курсовые работы первогосеместра (список задач попостроению коротковолновыхасимптотик).Уравнение Шредингера. Построить коротковолновую асимптотику иуказать интервал времени, на котором она определена, для следующейзадачи:√2i∂ψh21. ih= − ∆ψ + 2x2 ψ, ψ|t=0 = 1 − x4 e h x .∂t2√−i∂ψh22. ih= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = 4 − x2 e h x .∂t23.
ih4. ihi∂ψh2= − ∆ψ + 3x2 ψ, ψ|t=0 = sin(x)e 2h x .∂t23i∂ψh21= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = sin(4 − x)e h x .∂t225. ih6. ihi∂ψh2= − ∆ψ − x2 ψ, ψ|t=0 = (x − 2)e h x .∂t2i 2h2∂ψ= − ∆ψ + (x − 4)ψ, ψ|t=0 = (2x − 8)2 e h x .∂t27. ihi 2∂ψh22= − ∆ψ + (2x − 1)ψ, ψ|t=0 = e−x e 2h x .∂t2121x2 2i 2∂ψh2= − ∆ψ + (3 − x)ψ, ψ|t=0 = e− 2 e h x .∂t22√−i 2∂ψh= − ∆ψ + (5 + 2x)ψ, ψ|t=0 = 3 + x2 e h x .9. ih∂t2i∂ψh2210. ih= − ∆ψ + (1 + x)ψ, ψ|t=0 = tg(x)e h (x−1) .∂t2√i∂ψh211.
ih= − ∆ψ + 3x2 ψ, ψ|t=0 = 1 − 4x2 e 3h x .∂t2√−2ih21∂ψ= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = 1 − x2 e h x .12. ih∂t222i∂ψh13. ih= − ∆ψ + (x + 1)2 ψ, ψ|t=0 = cos(x)e h x .∂t2i∂ψh2214. ih= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = cos(2x)e h x .∂t2322i∂ψh15. ih= − ∆ψ + 4x2 ψ, ψ|t=0 = (x − 2)2 e h x .∂t2√ih2∂ψ= − ∆ψ + (x2 + 2x + 1)ψ, ψ|t=0 = 9 − 4x2 e h x .16. ih∂t22√−2i∂ψh17. ih= − ∆ψ + (4x2 − 4x + 1)ψ, ψ|t=0 = 4 − x4 e h x .∂t2√i∂ψh218. ih= − ∆ψ + (2x2 + 8x + 8)ψ, ψ|t=0 = 1 + x2 e h x .∂t2ih2∂ψ= − ∆ψ + (x2 − 6x + 9)ψ, ψ|t=0 = tg(1 − x)e 2h x .19.
ih∂t2−i∂ψh220. ih= − ∆ψ − (x2 + 8x + 16)ψ, ψ|t=0 = sin(2x)e 3h x .∂t2i 2∂ψh221. ih= − ∆ψ + (3x − 7)ψ, ψ|t=0 = cos(x)e h x .∂t2∂ψh22 3i 222. ih= − ∆ψ + (2x + 9)ψ, ψ|t=0 = e−2x e h x .∂t2x2 −i 2∂ψh223. ih= − ∆ψ + (1 − 4x)ψ, ψ|t=0 = e− 2 e h x .∂t2ih2∂ψ= − ∆ψ + (5 + x)ψ, ψ|t=0 = (x − 2)3 e h .24. ih∂t28. ih122−i∂ψh22= − ∆ψ + (x2 + 1)ψ, ψ|t=0 = (2 − x3 )e h (x−1) .∂t22i∂ψh226.
ih= − ∆ψ + 4x2 ψ, ψ|t=0 = (1 − x2 )e h x .∂t22√−i∂ψh27. ih= − ∆ψ + 9x2 ψ, ψ|t=0 = 1 − 9x2 e h x .∂t22i∂ψh228. ih= − ∆ψ + 2x2 ψ, ψ|t=0 = cos(2x)e h x .∂t22−i∂ψh129. ih= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = (4 − x)2 e h x .∂t242i∂ψh230. ih= − ∆ψ + x2 ψ, ψ|t=0 = cos(x − 2)e h x .∂t2Волновое уравнение.
Построить коротковолновую асимптотику дляследующей задачи:25. ih1. utt − (x − 3)4 uxx = 0, ϕ0 (x) = 2, S0 (x) =1.3−x√41u=0,ϕ(x)=3x + 1, S0 (x) = (x + 1)2 .xx02(x + 1)4√111 23. utt −u=0,ϕ(x)=−x−,S(x)=(x−).xx00(2x − 1)2222. utt −14uxx = 0, ϕ0 (x) = x, S0 (x) = x3 ,4x6415. utt − 9x6 uxx = 0, ϕ0 (x) = √ , S0 (x) = − 2 .6xx34. utt −6. utt − (t + 3)4 uxx = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) = 9 − x,7. utt − 4(t + 1)2 uxx = 0, ϕ0 (x) = −1, S0 (x) = 1 + x.118. utt − (t + 2)2 uxx = 0, ϕ0 (x) = , S0 (x) = 1 − x,42419. utt −uxx = 0, ϕ0 (x) = − , S0 (x) = 2 + x.4(t + 1)310. utt −93uxx = 0, ϕ0 (x) = 3, S0 (x) = + x,6(t + 2)81231.x+5√4112. utt −u=0,ϕ(x)=−2x + 1, S0 (x) = (x + 1)2 .xx02(x + 1)4√113.
utt −u=0,ϕ(x)=−1,S(x)=1 + x2 .xx00(1 + x2 )211. utt − (x + 5)4 uxx = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) = −14uxx = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) = x,41+x62115. utt − 9x4 uxx = 0, ϕ0 (x) = √ , S0 (x) = − .4xx21116. utt − (x + 5)6 uxx = 0, ϕ0 (x) = √, S0 (x) = − 2.2x + 20x + 50(x + 5)314. utt −11uxx = 0, ϕ0 (x) = 2x − 2, S0 (x) = (x − 1)3 .4(x − 1)3√431318. utt −uxx = 0, ϕ0 (x) = 2 x + , S0 (x) = (x + )2 .2(2x + 3)222√9119. utt − 6 uxx = 0, ϕ0 (x) = 3 x3 , S0 (x) = x4 ,x124120. utt − 4x4 uxx = 0, ϕ0 (x) = , S0 (x) = − .x2x121. utt − (t + 1)6 uxx = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) = − + x,41622. utt − 4(t + 2)4 uxx = 0, ϕ0 (x) = −1, S0 (x) =− x.3118123. utt − (t + 3)6 uxx = 0, ϕ0 (x) = , S0 (x) =− x,42814uxx = 0, ϕ0 (x) = − , S0 (x) = −1 + x.24. utt −4(t + 2)317.
utt −25. utt −9uxx = 0, ϕ0 (x) = 3, S0 (x) = 3 + x,(t + 1)426. utt − (x + 1)6 uxx = 0, ϕ0 (x) = 1, S0 (x) =1241.(x + 1)241 2u=0,ϕ(x)=3,S(x)=(x + 1).xx00(x2 + 1)24√128. utt −u=0,ϕ(x)=−x,S(x)=(x − 1)2 + 1.xx00(x − 1)2 + 127. utt −91uxx = 0, ϕ0 (x) = x2 , S0 (x) = x4 ,6x614, S0 (x) = − .30.
utt − (9x2 + 1)uxx = 0, ϕ0 (x) = 2x +1229. utt −125126Глава 6Качественные свойства решенийуравнений математическойфизики.6.1Волновое уравнение.Пусть Ω ⊆ Rn – открытое множество, t > 0, a > 0. Цель этого раздела –изучить свойства волнового уравненияutt − a2 ∆u = 0(1.1)и неоднородного волнового уравненияutt − a2 ∆u = f (t, x)(1.2)с начальными и граничными условиями. Иногда оператор Даламбера∂t2 − a2 ∆ обозначают a . Начнем с того, что сделаем в (1.2) замену независимой переменной t: положим τ = at. Тогда∂u∂u ∂τ∂u==a ,∂t∂τ ∂t∂τ2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂τ 2и, полагая v(τ, x) = u(t, x), g(τ, x) = a12 f (t, x) получаем, что (1.2) эквивалентно уравнению 1 v = g(τ, x). Таким образом, начиная с пункта 2 идалее мы без ограничения общности будем считать, что a = 1.1276.1.1Модельная задача, приводящая к волновому уравнению (n = 1).В качестве модельной задачи, приводящей к волновому уравнению, рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях струны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
