Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отсюда для любойфункции ϕ ∈ C0∞ (ΠT ), ϕ(0, x) = 0 верно (1.13). Пусть теперь ϕ(0, x) ̸= 0,тогда в силу требования (1.12)∫ΠT∫+∞∫+∞(uϕt + F (u)ϕx )dxdt = −u(0, x)ϕ(0, x)dx = −g(x)ϕ(0, x)dx,−∞−∞откуда следует доказываемое.81Утверждение 9 Пусть u(t, x) ∈ KC 1 (ΠT ) – обобщенное энтропийноерешение по Кружкову. Тогда на любой линии разрыва выполнено условиедопустимости разрыва 2.Литература.Л.К.Эванс, Уравнения с частными производными“, §3.3.1”А.Ю.Горицкий, С.Н.Кружков, Г.А.Чечкин, Квазилинейные уравнения”с частными производными первого порядка: обобщенные решения, ударные волны, центрированные волны разряжения (краткое учебное пособие)“4.24.2.1Введение в теорию обобщенных функций.Пробные функции и их свойства.Пусть Ω ⊆ Rn – открытое множество.Определение.
Пусть u ∈ C(Ω). Носителем функции u(x) называетсямножество supp u – замыкание в Ω множества {x ∈ Ω| u(x) ̸= 0}.Введем также некоторые обозначения для функциональных пространств.Обозначение 1 Пусть C0k (Ω) – множество функций u(x) ∈ C k (Ω) таких, что supp u – компакт. Пусть также∞C (Ω) =+∞∩C k (Ω),k=0C0∞ (Ω) – множество функций u(x) ∈ C ∞ (Ω) таких, что supp u – компакт.Если продолжить функцию u(x) ∈ C0k (Ω) на Rn , положив u(x) = 0 приx ∈ Rn \Ω, то мы получим функцию из C0k (Rn ). Таким образом, пространство C0k (Ω) можно рассматривать как подпространство C0k (Rn ), расширяющееся вместе с Ω.Лемма 5 (Корректность определения C0∞ ) Существует функцияϕ0 (x) ∈ C0∞ (Rn ) такая, что ϕ0 (x) ≥ 0 и ϕ0 (0) > 0.82Доказательство.Положим{exp(1 − 1t ), t > 0f (t) =0, t < 0Нетрудно видеть, что f (x) ∈ C ∞ (Rn ). Выберем ϕ0 (x) = f (1 − |x|2 ). Тогдаϕ0 (x) – искомая.Определение.
Пространство C0∞ (Ω) обычно называют пространствомпробных функций на Ω, а функции из этого пространства – пробными.Теорема 24 Если f (x), g(x) ∈ C(Ω) и для любой функции ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω)имеет место равенство∫∫g(x)ϕ(x)dx,(2.14)f (x)ϕ(x)dx =ΩΩто f (x) = g(x).Рассмотрим h(x) = f (x) − g(x). Тогда∫∞∀ϕ(x) ∈ C0 (Ω) :h(x)ϕ(x)dx = 0.Доказательство.(2.15)ΩПусть h(x0 ) ̸= 0, x0 ∈ (Ω).
Без ограничения общности можно считать,что h(x0 ) > 0. Так как функция h(x) ∈ C(Ω), то найдется содержащаясяв Ω окрестность U точки x0 такая, что ∀x ∈ U : h(x) > 21 h(x0 ). Возь0), где функция ϕ0 (x) определена в леммемем функцию ϕ1 (x) = ϕ0 ( x−xM5, M > 0 выбрано так, что supp ϕ1 ⊂ U . Тогда функция h(x)ϕ1 (x) непрерывна, имеет постоянный знак и h(x0 )ϕ1 (x0 ) = h(x0 ). Значит, найдетсяокрестность U1 ⊂ U точки x0 такая, что h(x)ϕ1 (x) > 21 h(x0 ) ∀x ∈ U1 . Ноотсюда следует, что∫∫1h(x)ϕ1 (x)dx ≥h(x)ϕ1 (x)dx > h(x0 ) mes(U1 ) > 0,2ΩU1что противоречит (2.15).
Таким образом, h(x) = 0.Пусть теперь u(x), v(x) ∈ C(Rn ), хотя бы одна из функций u(x), v(x)имеет компактный носитель.Определение. Сверткой функций u(x) и v(x) называется функция∫(u ∗ v)(x) =u(x − y)v(y)dy.(2.16)Rn83Нетрудно видеть, что функция u∗v непрерывна. Кроме того, выбираяx − y в качестве новой переменной, получим(u ∗ v)(x) = (v ∗ u)(x).Утверждение 10 Равенство (2.16) эквивалентно равенству∫∫∫u(x)v(y)ϕ(x + y)dxdy ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).(u ∗ v)(x)ϕ(x)dx =Rn(2.17)(2.18)nRny ×RxДоказательство.
Действительно, с помощью замены переменной нетрудно видеть, что из (2.16) следует (2.18). Обратное верно по теореме 24.Следствие 2 Равенство (2.17) следует из коммутативности сложения в Rn .Следствие 3 Из ассоциативности сложения следует, что(u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w).(2.19)Если, помимо наложенного выше требования на компактность носителя, верно u(x) ∈ C 1 , v(x) ∈ C 0 , то, дифференцируя равенство (2.16) попараметру, получаем∂∂(u ∗ v) = (u) ∗ v.∂xi∂xiОтсюда и из (2.17) следует, что если u ∈ C j , v ∈ C k , то u ∗ v ∈ C j+k , и∂xα+β (u ∗ v) = (∂xα u) ∗ (∂xβ v), |α| ≤ j, |β| ≤ k.(2.20)Можно доказать, что u ∗ v ∈ C 0 , если u ∈ C00 , v ∈ L1,loc . Более того,оказывается, что имеет место следующая теорема.Теорема 25 Если u ∈ C0j (Rn ), то u ∗ v ∈ C j (Rn ) при v ∈ L1,loc и u ∗ v ∈C j+k (Rn ) при v ∈ C k (Rn ).Пусть ϕ ∈ C0∞ (Rn ), ϕ(x) ≥ 0,∫Теорема 26 (О регуляризации.)jϕ(x)dx = 1. Если u ∈ C0 (Rn ), то функция uϕ = u ∗ ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
ПриRnэтом при supp ϕ → {0} верно∀α ∈ (N ∪ {0})n , |α| ≤ j : sup |∂xα u − ∂xα uϕ | → 0.Если v ∈ Lp (Rn ), то vϕ ∈ C ∞ (Rn ) и vϕ → v в Lp при 1 ≤ p < ∞.84(2.21)Доказательство. В силу (2.20) и теоремы 25 достаточно доказать(2.21) при α = 0. Пусть supp ϕ лежит в шаре |y| < δ. Тогда∫|u(x) − uϕ (x)| = | (u(x) − u(x − y))ϕ(y)dy| ≤ sup |u(x) − u(x − y)|,|y|<δRnи правая часть стремится к нулю вместе с δ равномерно по x, так какфункция u(x) равномерно непрерывна как непрерывная на компактноммножестве.
Отсюда следует (2.21). Так как ||vϕ ||Lp ≤ ||v||Lp и C00 плотнов Lp , отсюда сразу следует второе утверждение теоремы.Следствие 4 Если f, g ∈ L1,loc (Ω) и для всех пробных функций ϕ ∈C0∞ (Ω) выполнено (2.14), то f (x) = g(x) п.в..Теорема 27 (Построение срезающей функции.) Для любого открытого множества Ω ⊂ Rn и для любого компактного подмножестваK ⊂ Ω найдется функция ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) такая, что 0 ≤ ϕ ≤ 1 и ϕ = 1в некоторой окрестности K.Доказательство. Т.к.
K – компакт, Ω – открытое множество, то найдется достаточно малое ε > 0 такое, что ∀x ∈ K, ∀y ∈ (Rn \ Ω) верно неравенство |x − y| ≥ 4ε. Пусть v(x) – характеристическая функциямножества K2ε = {y| ∃x ∈ K : |x − y| < 2ε}. По лемме 5 найдетсянеотрицательнаяфункция χ ∈ C0∞ (B), где B – единичный шар, такая,∫что Rn χ(x)dx = ∫1. Тогда функция χε (x) = ε−n χ( xε ) имеет носитель вшаре {|x| < ε} и Rn χε (x)dx = 1. Положим ϕ(x) = (v ∗ χε )(x). В силутеоремы о регуляризации ϕ(x) ∈ C ∞ (Rn ).
Заметим, что supp (u ∗ v) ⊆{x + y| x ∈ supp u, y ∈ supp v}. Отсюда ϕ(x) ∈ C0∞ (K3ε ) и функция1 − ϕ(x) = (1 − v) ∗ χε совпадает с нулем на Kε . Кроме того,∫|ϕ(x)| = |(v ∗ χε )(x)| = |v(y)χε (x − y)dy| ≤Rn∫≤Rn∫|v(y)|χε (x − y)dy ≤Rnχε (x − y)dy = 1.Отсюда и из неотрицательности функций v(x), χε (x) следует, что 0 ≤ϕ(x) ≤ 1.85∫∫Замечание 8 Заметим, что |∂ α ϕ| ≤ Rn |∂ α χε |dx = ε−|α| Rn |∂ α χ|dx,т.е. |∂ α ϕ| ≤ Cα ε−|α| , где Cα – константа, зависящая только от α и nи не зависящая от выбора множества Ω и компакта K.Теорема 28 (Разбиение в сумму.) Пусть Ω1 , . . .
, Ωk – открытые множества в Rn , ϕ(x) ∈ C0∞ (∪kj=1 Ωj ). Тогда найдутся функции ϕj (x) ∈∑C0∞ (Ωj ), j = 1, . . . , k такие, что ϕ = kj=1 ϕj . При этом если ϕ ≥ 0, томожно выбрать все ϕj ≥ 0.Доказательство. Т.к. носитель функции ϕ(x) – компакт, содержащийся в ∪kj=1 Ωj , то найдутся компактные множества K1 , . . . , Kk такие,что Kj ⊂ Ωj и supp ϕ ⊆ ∪kj=1 Kj . Далее, по теореме 27 найдутся функцииψj ∈ C0∞ (Ωj ) такие, что 0 ≤ ψj ≤ 1 и ψj = 1 на Kj .
Тогда функцииϕ1 = ϕψ1 , ϕ2 = ϕ(1 − ψ1 )ψ2 , . . . , ϕk = ϕ(Πk−1j=1 (1 − ψj ))ψk обладают требуемым свойством, т.к. в любой точке множества K = ∪kj=1 Kj либо ϕ(x) = 0,либо найдется j = 1, . . . , k такое, что 1−ψj = 0, а кроме того, supp ϕ ⊆ K.Из теорем 27 и 28 вытекает следующее полезное утверждение.Теорема 29 (Разбиение единицы.) Пусть Ω1 , . . . , Ωk – открытые множества в Rn , K – компактное подмножество ∪kj=1 Ωj .
Тогда найдутся∑функции ϕj (x) ∈ C0∞ (Ωj ) такие, что ϕj (x) ≥ 0 и kj=1 ϕj (x) ≤ 1, причем∑в некоторой окрестности K верно kj=1 ϕj (x) = 1.Про функции ϕj (x) в таком случае говорят, что они образуют разбиение единицы на K, подчиненное покрытию компакта K множествамиΩj .Упражнения к пункту 1.1. Доказать, что если u ∈ C00 (Rn ), v ∈ C(Rn ), то u ∗ v ∈ C(Rn ).2. Доказать равенство (2.19).3. Доказать следствие 4.4. Вывести теорему 29 как следствие из теорем 27 и 28.864.2.2Определение и основные свойства обобщенныхфункций.Пусть Ω – открытое подмножество Rn . Рассмотрим функционал на C0∞ (Ω)следующего вида:∑∫fα (x)∂ α ϕ(x)dx,(2.22)L(ϕ) =Ωαгде ϕ ∈ C0∞ (Ω), функции fα (x) ∈ C(Ω) заданы, и число слагаемых всумме конечно.
Как мы уже видели раньше, выражения вида (2.22) возникают при записи уравнений с частными производными в форме интегральных тождеств. Заметим, что если L(ϕ) удовлетворяет (2.22), то∫∑α|L(ϕ)| ≤sup |∂ ϕ(x)| |fα (x)|dx.αx∈ΩΩОпределение. Обобщенная функция (распределение) u на Ω – этолинейный функционал на C0∞ (Ω) такой, что для любого компактногоподмножества K ⊂ Ω найдутся константы C, k такие, что∑sup |∂ α (ϕ)|, ϕ ∈ C0∞ (K).(2.23)|u(ϕ)| ≤ C|α|≤kx∈ΩМножество всех распределений на Ω будем обозначать D′ (Ω).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
