Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Получим на кривой x(s):n∑∂ 2u∂F(p(s), z(s), x(s))+∂p∂x∂xjijj=141+откуда∂F∂F(p(s), z(s), x(s))pi (s) +(p(s), z(s), x(s)) = 0,∂z∂xi(∂Fṗi (s) = −(p(s), z(s), x(s))pi (s)+∂z)∂F+(p(s), z(s), x(s)) .∂xi(3.33)Далее, продифференцировав по s равенство z(s) = u(x(s)), имеемn∑∂uż(s) =(x(s))ẋj (s),∂xjj=1ż(s) =n∑j=1pj (s) ·∂F(p(s), z(s), x(s)).∂pjПереписывая (3.32)-(3.34) в векторной форме, получаем ṗ(s) = −∇x F (p, z, x) − ∂z F (p, z, x)p(s)ż(s) =< ∇p F (p, z, x), p >.ẋ(s) = ∇p F (p, z, x)(3.34)(3.35)Эта система называется системой характеристических уравнений дляуравнения (3.27), а кривая (x(s), z(s), p(s)) – характеристикой.
Такимобразом, доказана следующая теоремаТеорема 15 Пусть функция u(x) ∈ C 2 (U ) – решение уравнения (3.27)в области U , x(s) – решение уравнения ẋ(s) = ∇p F (p, z, x), где z(s) =u(x(s)), p(s) = ∇x u(x(s)). Тогда p(s) и z(s) – решения соответствующихуравнений системы (3.35) для s таких, что x(s) ∈ U .3.3.4Вспомогательные утверждения.Для простоты будем считать, что Γ ⊆ {xn = 0}. Выясним, какой виддолжны иметь начальные данные p(0) = p0 , z(0) = z 0 , x(0) = x0 длясистемы (3.35). Очевидно, что x0 ∈ Γ, z 0 = g(x0 ).
Для p0 в силу (3.29)имеем p0i = gxi (x0 ), i = 1, . . . , n − 1; F (p0 , z 0 , x0 ) = 0.42Определение. Набор (p0 , z 0 , x0 ) – допустимый, если выполнены условия согласованияz 0 = g(x0 ), p0i = gxi (x0 ), i = 1, . . . , n − 1,F (p0 , z 0 , x0 ) = 0.(3.36)Попытаемся найти функцию q(y) такую, что для всех точек y ∈ Γ,близких к x0 , тройка (q(y), g(y), y) допустима.Лемма 3 (Нехарактеристические граничные условия.) Пусть тройка (p0 , z 0 , x0 ) допустима и выполнено условие нехарактеристичности∂F 0 0 0(p , z , x ) ̸= 0.∂pn(3.37)Тогда существует единственное решение q(y) задачи qi (y) = gxi (y),F (q(y), g(y), y) = 0 для всех y ∈ Γ, достаточно близких к x0 .Доказательство.уравненийПрименим теорему о неявной функции к системеpi − gxi (y) = 0, i = 1, . .
. , n − 1; F (p, g(y), y) = 0.Эта система выполнена при pi = p0i , y = x0 . Кроме того, ее якобиан по pравен 10...00 01 ...00 ... ... ... .... . . = Fpn (p0 , z 0 , x0 ) ̸= 0. 00 ...10 Fp Fp . . . FpFpn 12n−1Значит, эта система однозначно разрешима относительно p = q(y) в некоторой окрестности точки x0 .Лемма доказана.Замечание 6 Если Γ не плоская вблизи x0 , то условие (3.37) принимает вид< ∇p F (p0 , z 0 , x0 ), ν(x0 ) ≯= 0,где ν(x0 ) – внешняя единичная нормаль к Γ в точке x0 .43Обозначим x(y, s) решение последнего из уравнений системы (3.35) сначальными условиями x|s=0 = y, z|s=0 = g(y), p|s=0 = q(y).Лемма 4 (Локальная обратимость.) Пусть выполнены все условиялеммы 3. Тогда найдутся такие содержащий ноль промежуток I ⊂ R,окрестность W точки x0 в Γ и окрестность V точки x0 в Rn , что∀x ∈ V существуют единственные s ∈ I, y ∈ W такие, что x = x(y, s).Доказательство.
Имеем x(x0 , 0) = x0 . По теореме о неявной функциидостаточно проверить, что det(Dy,s x)|y=x0 ,s=0 ̸= 0. Из равенства x(y, 0) =y, т.к. y ∈ Γ, имеем при i ≤ n − 1∂xj 0(x , 0) = δij .∂yiКроме того, из (3.35) следует, что ∂s xj (x0 , 0) = Fpj (p0 , z 0 , x0 ). Отсюдаdet(Dy,s x)|y=x0 ,s=0 = Fpn (p0 , z 0 , x0 ) ̸= 0в силу условия (3.37).Лемма доказана.3.3.5Локальная теорема существования.Теорема 16 Пусть тройка (p0 , z 0 , x0 ) допустима и выполнено условиенехарактеристичности (3.37). Положим x(y, s), z(y, s), p(y, s) – решение задачи (3.35) с начальными условиями x|s=0 = y, z|s=0 = g(y),p|s=0 = q(y).
В силу леммы о локальной обратимости положим ∀x ∈ V :s = s(x), y = y(x), u(x) = z(y(x), s(x)), p(x) = p(y(x), s(x)). Тогдаu(x) ∈ C 2 и является решением задачи Коши (3.29).Доказательство. 1. Решение системы (3.35) с указанными в условииначальными данными локально существует и единственно. В силу леммы3 это решение – гладкая функция от y, s; в силу леммы 4 функции s(x)и y(x) – гладкие. Значит, p(x) ∈ C 1 .2. Покажем, что f (y, s) = F (p(y, s), z(y, s), x(y, s)) = 0. Действительно,f (y, 0) = F (q(y), g(y), y) = 0 в силу условий согласования (3.36) и леммы3. Далее,nn∑∑∂F∂f∂F∂F=ṗj +ż +ẋj =∂s∂p∂z∂xjjj=1j=144( n)()nn∑∑∂F∂F∂F∂F ∑ ∂F∂F ∂F=−−pj +pj +=0∂pj∂xj∂z∂z j=1 ∂pj∂xj ∂pjj=1j=1в силу (3.35). Отсюда и из f (y, 0) = 0 следует f (y, s) = 0 ∀s ∈ I.3.
В силу леммы 4 и равенства f (y, s) = 0 имеем F (p(x), u(x), x) = 0.Осталось показать, что p(x) = ∇x u(x).4. Покажем сначала, что для любых s ∈ I, y ∈ W :∂z ∑∂xj=pj (y, s),∂s∂sj=1(3.38)∑∂z∂xj=pj (y, s).∂yi∂yij=1(3.39)nnРавенство (3.38) следует напрямую из второго и третьего уравнений системы (3.35).
Для доказательства равенства (3.39) положим∂z ∑∂xjri (s) =−pj (y, s), i = 1, . . . , n − 1.∂yi j=1∂yinЗаметим, что ri (0) = gxi (y) − qi (y) = 0 в силу условий согласования.Кроме того,)n (∑∂pj ∂xj∂ 2 xj∂ 2z−+ pj.ṙi (s) =∂yi ∂s j=1 ∂s ∂yi∂yi ∂sПродифференцировав (3.38) по yi , имеем)n (∑∂2z∂pj ∂xj∂ 2 xj=+ pj.∂yi ∂s∂yi ∂s∂yi ∂sj=1Из двух последних равенств следует, что)n (∑∂pj ∂xj∂pj ∂xjṙi =−=∂yi ∂s∂s ∂yij=1())n (∑∂pj ∂F∂F∂F∂xj=− −−pj.∂y∂p∂x∂z∂yijjij=145Далее, продифференцировав равенство F (p, z, x) = 0 по yi , имеемnn∑∂F ∂pj ∂F ∂z ∑ ∂F ∂xj++= 0.∂p∂y∂z∂y∂x∂yjiijij=1j=1Отсюда∂Fṙi =∂z( n∑∂xj∂zpj−∂yi∂yij=1)=−∂Fri (s).∂zПоэтому ri (s) – решение линейного однородного ОДУ с начальным условием ri (0) = 0. Значит, ri (s) = 0 и равенство (3.39) доказано.5.
Для j = 1, . . . , n с помощью (3.38) и (3.39) имеем( n)n−1∑∑ ∂xk ∂s∂u∂z ∂s∂z ∂yi=+=pk+∂xj∂s ∂xj∂yi ∂xj∂s∂xji=1k=1( nn−1∑∑)(n∑∂xk ∂yi∂xk ∂spkpk+=+∂yi ∂xj∂s ∂xji=1k=1k=1)n−1nn∑∑∂xk ∂yi∂xk ∑pkpk δjk = pj ,+==∂yi ∂xj∂xjj=1k=1k=1откуда p(x) = ∇x u(x).Теорема доказана.3.3.6Характеристики для законов сохранения. Пересекающиеся характеристики.Рассмотрим задачу Коши для скалярного закона сохраненияut + divx (Φ(u)) = 0, u|t=0 = g(x)(3.40)в U = Rn ×(0, +∞).
Положим y = (x, t), t = xn+1закон сохранения∑n, тогда′принимает вид (3.27), где F (p, z, x) = pn+1 + j=1 Φj (z)pj . Тогда∇x F = 0, ∂z F =n∑Fj′′ pj , ∇p F = (Φ′ (z), 1).j=146Очевидно, что условие нехарактеристичности выполнено для всех точекy 0 ∈ Γ, Γ = Rn × {t = 0}. Кроме того, из системы характеристик (3.35)имеемẋi (s) = Φ′i (z(s)), ṫ = 1,и можно считать, что t = s.
Далее,n∑ż(s) =Φ′j (z(s))pj + pn+1 = 0j=1в силу (3.40). Таким образом, z(s) = z 0 = g(x0 ), откуда xi (s) = Φ′i (g(x0 ))s+x0 . Значит, спроектированная характеристика y(s) = (x(s), s) – прямая,вдоль которой функция u(x) постоянна. Пусть теперь h0 ∈ Γ – другаяточка, причем g(h0 ) ̸= g(x0 ). Тогда характеристики, выходящие из точек h0 и x0 , могут пересечься в некоторый момент времени t0 > 0.
Нотогда в точке пересечения мы придем к противоречию, т.к. u(x) должнабыть постоянной и различной вдоль этих характеристик. Значит, задача(3.40) в общем случае не имеет гладкого решения, существующего привсех t > 0.Литература:Л.К.Эванс, Уравнения с частными производными“, §3.1-3.2.4.”3.43.4.1Уравнение Гамильтона-Якоби и его классическое решение.Нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби.Определение. Нелинейное УрЧП первого порядка видаut + H(∇x u, x) = 0(4.41)называется нестационарным уравнением Гамильтона-Якоби, а функция H(p, x) ∈ C 1 – Гамильтонианом.
В этом случае в классическоймеханике принято обозначать неизвестную функцию u(t, x) через S(t, x)и называть функцией действия.Данные Коши для уравнения (4.41) имеют вид u|t=0 = S0 (x), x ∈Ω0 ⊆ Rn . Проинтегрируем задачу Коши{ut + H(∇x u, x) = 0,(4.42)u|t=0 = S0 (x)47с помощью метода характеристик, рассмотренного в предыдущей теме.Используя принятые ранее обозначения, имеем F (p, z, x) = pn+1 +H(p, x),откуда, так как ∇p F = ∇p H и ∇x F = ∇x H, следует, что система характеристик имеет видẋ = ∇p H,ṫ = 1,(4.43)ṗ = −∇x H,ż =< p, ∇p H > +pn+1 ,и начальные условия для нееt(0) = 0, x(0) = x0 ∈ Ω0 , p(0) = ∇x S0 (x0 ), z(0) = S0 (x0 )(4.44)Нетрудно видеть, что такие начальные условия – допустимые, а поверхность Γ = Ω0 × {t = 0} удовлетворяет условию нехарактеристичности.Кроме того, можно отождествить время t и параметр характеристики s.Отсюда следует, что уравнения на x и p системы (4.43) с начальнымиусловиями из (4.44) можно переписать в виде{ẋ = ∇p H, x(0) = x0 ,(4.45)ṗ = −∇x H, p(0) = ∇x S0 (x0 ),Эта система называется системой ОДУ Гамильтона.
Пусть x = X(x0 , t),p = P (x0 , t) – ее решение. В силу леммы о локальной обратимости, прималых t существуют функции x0 (x, t) обратные к x = X(x0 , t). Далее,в силу равенства pn+1 + H(p, x) = 0 последнее из уравнений системыхарактеристик (4.43) можно переписать в виде ż =< p, ∇p H > −H(p, x),откуда∫ t (∑n0z(x , t) =Pj (x0 , τ )Hpj (P (x0 , τ ), X(x0 , τ ))−0j=1)−H(P (x0 , τ ), X(x0 , τ )) dτ + S0 (x0 ),(4.46)и, подставляя в (2.35) равенство x0 = x0 (x, t), получаем решение задачиКоши (4.42): u(t, x) = z(x0 (x, t), t).Пример. (Движение частицы равномерно и прямолинейно).Рассмотрим задачу Коши{1 2ut + 2mux = 0,2u|t=0 = αx2 .48В этом случае система ОДУ Гамильтона (4.45) имеет вид{ẋ = mp , x(0) = x0 ,ṗ = 0, p(0) = αx0 ,0и ее решение P (x0 , t) = αx0 , X(x0 , t) = αxt + x0 , откудаm)∫ t(0α(x0 )2α2 (x0 )2αα20 αx0αx ·dτ +z(x , t) =−=( +t)(x0 )2 .m2m222m0Далее, выражая x0 через x и t, имеемx0 =xmx,αt =m + αt1+ mоткуда получаем ответ:()m2 x2ααtαmx2u(t, x) = · 1 +=.2m (m + αt)22(m + αt)Физический смысл: система ОДУ Гамильтона эквивалентна уравнениюp2mẍ = 0 (нет внешних сил), функция Гамильтона равна H(p) = 2m–pкинетическая энергия в силу ẋ = m .Упражнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
