Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , x0n ) области Dсуществует n функционально независимых первых интегралов системы (1.2).21Доказательство. Для любой точки (t0 , c1 , . . . , cn ) существует единственное решение системы (1.2), проходящее через эту точку: x = ϕ(t, c),причем ϕ ∈ C 1 по c в силу теоремы 14.1.3(см. Добавленные главы,i) единичная.§14.1.2). Так как ϕi (t0 , c) = ci , то при t = t0 матрица ( ∂ϕ∂cjЗначит, якобиан системы xi = ϕi (t, c) при t = t0 отличен от нуля. Отсюда по теореме о неявных функциях эту систему можно разрешитьотносительно c в некоторой окрестности M : c = v(t, x).
Покажем, чтоvi (t, x) – функционально независимые первые интегралы системы (1.2).Действительно, для каждой интегральной кривой {(t, x(t))} во всех точках этой кривой числа c1 , . . . , cn постоянны. Значит, vi постоянны вдольинтегральных интегральных кривых и являются первыми интегралами.Далее, при фиксированном t близком к t0 системы функций ϕ(t, c) иv(t, x) взаимно обратны. Значит, произведение их якобианов равно еди∂vi∂viнице, откуда следует, что det( ∂x) ̸= 0. Значит, ранг матрицы ( ∂x) равенjjn, что и означает, что функции vi (t, x) функционально независимы.Теорема доказана.Теорема 2 Пусть v1 , . .
. , vn – независимые первые интегралы системы(1.2) в области D, точка M = (t0 , x0 ) ∈ D, ci = vi (M ). Тогда решениесистемы (1.2) с начальными условиями x(t0 ) = x0 определяется какнеявная функция системой уравненийvi (t, x) = ci .(1.4)Доказательство. Система (1.4) для xi (t0 ) = x0i верна в точке M , и в∂vi) ̸= 0, т.к. vi – функционально независимы. По теоремеэтой точке det( ∂xjо неявных функциях систему (1.4) можно разрешить относительно x:xi = ϕi (t, c)(1.5)Функции ϕi удовлетворяют системе (1.4). С другой стороны, решение(1.2) удовлетворяет (1.4) при t = t0 в силу выбора постоянных c1 , .
. . , cn .Оно удовлетворяет (1.4) и при других t, так как первые интегралы постоянны вдоль решения. В силу единственности неявной функции эторешение имеет координаты xi , совпадающие с (1.5).Теорема доказана.22Теорема 3 Пусть v1 , . . . , vn – функционально независимые первые интегралы системы (1.2) в окрестности U точки M ∗ = (t0 , x∗ ). Тогда любой первый интеграл w системы (1.2) в некоторой окрестности точки M ∗ является функцией от vj , т.е. найдется F ∈ C 1 такая, чтоw = F (v).Доказательство. Пусть M = (t0 , x0 ) ∈ U , ci = vi (M ).
Тогда, как ив предыдущей теореме, система (1.4) определяет решение (1.5) системы(1.2). Такие решения заполняют окрестность U1 ⊆ U точки M ∗ . Вдолькаждого из них w = const , то есть w(t, ϕ(t, c)) = w(t0 , ϕ(t0 , c)). ОбозначимF (c) = w(t0 , ϕ(t0 , c)). Тогда F ∈ C 1 . Переходя от c к x в силу (1.5), а затемот x к v в силу (1.4), получаем w(t, x) = F (v(t, x)).Теорема доказана.2.2Первые интегралы автономной системы.Системаẋ = f (x),(2.6)где f ∈ C 1 , удовлетворяет условиям теоремы 1 и потому в окрестностилюбой точки имеет n функционально независимых первых интеграловвида v(t, x). Оказывается, что в силу специального вида системы имеетместо следующая теорема.Теорема 4 В окрестности любой неособой точки система (2.6) имеетn − 1 функционально независимый первый интеграл вида v(x), т.е.
независящий от t.Доказательство. Пусть B = x0 – неособая точка. Тогда найдется iтакое, что fi (B) ̸= 0. Без ограничения общности можно считать fn (B) ̸=0. Тогда в силу непрерывности f существует окрестность U точки Bтакая, что fn (x) ̸= 0 в U . Поделив все уравнения системы (2.6) на n-ное,в области U имеем:dxifi (x)=.dxnfn (x)(2.7)По теореме 1 эта система в некоторой окрестности точки B имеет n − 1функционально независимых первых интегралов vi (x1 , .
. . , xn ), i = 1, . . . , n−231. Эти первые интегралы постоянны вдоль решений системы (2.7), т.е.вдоль траекторий системы (2.6). Значит, они являются первыми интегралами системы (2.6). Независимость vi для системы (2.7) означает, что∂vi)i,j=1,...,n−1 равен n−1. Отсюда следует, что vi (x) функранг матрицы ( ∂xjционально независимы и для системы (2.6).Теорема доказана.Упражнения. 1. Доказать, что если функции v1 , . . . , vn линейно зависимы, то они функционально зависимы.2. Найти не зависящий от t первый интеграл системы, эквивалентнойуравнению ẍ + x = 0. Каков его физический смысл?Литература:А.Ф.Филиппов, Введение в теорию дифференциальных уравнений“, §25”24Глава 3УрЧП первого порядка и ихклассические решения.3.13.1.1Линейные и квазилинейные уравнения вчастных производных первого порядка.Линейные уравнения в частных производныхпервого порядка.Определение.
Линейным однородным уравнением в частных производных (УрЧП) первого порядка называетсяn∑j=1aj (x)∂z= 0,∂xj(1.1)где z = z(x) – искомая функция, aj (x) ∈ C 1 (D) – известные функции,для которых выполнено условиеn∑a2j (x) ̸= 0 ∀x ∈ D.(1.2)j=1Теорема 5 Функция z(x) ∈ C 1 (D) является решением (1.1) тогда итолько тогда, когда z(x) – не содержащий t первый интеграл системыОДУdxi= ai (x).dt25(1.3)Доказательство.
Пусть z(x) – первый интеграл (1.3), тогда для любого решения x(t) системы (1.3) найдется константа c такая, что z(x(t)) = c.Переписывая это равенство в виде dz(x(t))= 0, получаем, что для z(x) выdtполнено равенство∂z ∑ dxj ∂z= 0,+∂t j=1 dt ∂xjn(1.4)откуда и из того, что ∂z= 0, x(t) – решение (1.3) получаем, что для z(x)∂tимеет место (1.1).Обратно, пусть z(x) – решение (1.1), x(t) – решение (1.3). Тогда в силу (1.1) для функции z(x(t)) выполнено (1.4). Отсюда dz(x(t))= 0, т.е.dtнайдется константа c такая, что z(x(t)) = c.
Значит, функция z(x) – независящий от t первый интеграл (1.3).Теорема доказана.Лемма 1 Пусть a1 (x) ̸= 0, первые интегралы v1 (x), . . . , vn−1 (x) системы (1.3) функционально независимы в области D. Тогда система (1.3)сводится кdxiai (x)=, i = 2, . . . , ndx1a1 (x)(1.5)с теми же первыми интегралами.Доказательство.ремы 4.В точности совпадает с частью доказательства тео-Теорема 6 Если v1 (x), . . . , vn−1 (x) – независимые первые интегралы системы (1.3) в области D, то для любого решения z(x) задачи (1.1) вокрестности любой точки M ∈ D найдется функция F ∈ C 1 такая,чтоz(x) = F (v1 (x), .
. . , vn−1 (x))(1.6)и наоборот: для любой функции F ∈ C 1 формула (1.6) задает решениезадачи (1.1).26Доказательство. Если F ∈ C 1 , то функция z(x), заданная формулой(1.6) – первый интеграл системы (1.3), не зависящий от t. Следовательно, по теореме 5 функция z(x) – решение (1.1).Обратно, если z(x) – решение (1.1), то при a1 (M ) ̸= 0 по теореме 5 и лемме 1 функция z(x) – первый интеграл системы (1.5).
Значит, по теореме3 в некоторой окрестности M найдется F ∈ C 1 такая, что имеет месторавенство (1.6). Если же a1 (M ) = 0, то в силу (1.2) найдется k такое, чтоak (M ) ̸= 0, и перенумеровав переменные, можно свести задачу к ситуации a1 (M ) ̸= 0.Теорема доказана.3.1.2Квазилинейные УрЧП первого порядка.Определение. Квазилинейным называется уравнение видаn∑j=1aj (x, z)∂z= b(x, z),∂xj(1.7)где aj (x, z) ∈ C 1 (D), b(x, z) ∈ C 1 (D) – известные функции, и имеет местоn∑аналог соотношения (1.2) – соотношениеa2j (x, z) ̸= 0 ∀(x, z) ∈ D.j=1Определение.
Системой характеристик для уравнения (1.7) называется система ОДУdxidz= ai (x, z),= b(x, z).dtdt(1.8)Траектории системы (1.8) в пространстве x1 , . . . , xn , z называются характеристиками уравнения (1.7).Очевидно, что линейное однородное УрЧП первого порядка являетсячастным случаем квазилинейного УрЧП. Таким образом, систему (1.3)можно назвать системой характеристик для линейного однородного УрЧП (1.1).
Кроме того, теоремы 5 и 6 описывают связь между решениемУрЧП (1.1) и соответствующей системой характеристик. Получим аналогичную связь для квазилинейного УрЧП (1.7).Теорема 7 Поверхность z = f (x1 , . . . , xn ) – решение (1.7) тогда и только тогда, когда эта поверхность состоит из характеристик уравнения(1.7).27Доказательство. Пусть характеристика {(x(t), z(t))} лежит на поверхности z = f (x). Так как характеристика – траектория (1.8), то координаты касательного вектора к ней имеют вид (a1 (x, z), .
. . , an (x, z), b(x, z)).Так как эта характеристика лежит на поверхности, то вектор нормали∂f∂fк поверхности ( ∂x, . . . , ∂x, −1) ортогонален касательному вектору к хаn1рактеристике, то есть, имеет место равенствоn∑j=1aj (x, f (x))∂f(x) − b(x, f (x)) = 0.∂xjЕсли через каждую точку поверхности проходит характеристика, то этоуравнение выполнено на всей поверхности, а значит, z = f (x) удовлетворяет (1.7).Обратно, пусть поверхность P = {(x, z) : z = f (x)} удовлетворяет (1.7),точка M ∈ P .
Покажем, что через M проходит характеристика, лежащая на P . В области G – проекции P на x1 , . . . , xn – рассмотрим системуОДУẋi = ai (x, f (x)).(1.9)Через точку x0 – проекцию M на G – проходит единственное решениеэтой системы x(t). Линия L = {(x(t), f (x(t)))} лежит на поверхности Pи проходит через M . Покажем, что L – характеристика. Первым уравнениям системы (1.8) она удовлетворяет в силу (1.9) и равенства z = f (x)на P . Далее,dz ∑ ∂f dxj ∑∂f==aj (x, f (x))= b(x, f (x))dt∂xdt∂xjjj=1j=1nnв силу того, что z = f (x) – решение (1.7). Значит, L удовлетворяет ипоследнему уравнению (1.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
