Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Если же условие|∇x S0 (x0 )| ̸= 0 не выполнено для некоторого x0 , то построение решенияв окрестности точки x0 методом характеристик достаточно нетривиально. Кроме того, если at = 0 ∀t, то система ОДУ Гамильтонасводится к{ẋ = 2a2 (x)p,ṗ = −2a(x) < p, p > ∇x a,t = −2p0n+1 s, и два решения S(x, t) задачи (5.60) будут удовлетворятьсоотношениюS+ (x, −t) = −S− (x, t).В качестве примера, построим коротковолновую асимптотику для задачи Коши для уравнения Шредингера:{ ∂ψ2ih ∂t = − h2 ∆ψ + (1 + x)ψ,(5.61)i2ψ|t=0 = tg xe h (x−1) .62Согласно пункту 3.5.2, задача Коши для фазы S(t, x) имеет вид:{ ∂S 1 ( ∂S )2+ 2 ∂x + (1 + x) = 0,∂t(5.62)S|t=0 = (x − 1)2 ,т.е. является задачей Коши для нестационарного уравнения ГамильтонаЯкоби, которые подробно изучались в пункте 3.4.1. Соответствующийгамильтониан равен1H(p, x) = p2 + x + 1,2и далее, переходя к системе характеристических ОДУ, получаем:{ẋ = p, x|t=0 = x0 ,ṗ = −1, p|t=0 = 2(x0 − 1).Интегрируя второе уравнение, получаемp = −t + 2(x0 − 1),откуда и из первого уравненияẋ = −t + 2(x0 − 1), x|t=0 = x0 ,а значит,1x = − t2 + 2(x0 − 1)t + x0 .2(5.63)Продолжая решать задачу (5.62) согласно схеме, изложенной в пункте3.4.1, имеем1H(t, x0 ) =< p, ∇p H > −p = p2 − x − 1 =2=t2 − 4t(x0 − 1) + 4(x0 − 1)2 1 2+ t − 2(x0 − 1)t − x0 − 1 =22= t2 − 4tx0 + 4t + 2x20 − 5x0 + 1,и далее∫tH(τ, x0 )dτ + S0 (x0 ) =z(t, x0 ) =0631= t3 − 2t2 x0 + 2t2 + 2x20 t − 5x0 t + t + (x0 − 1)2 .3Выражая x0 через t, x из (5.63), получаемx0 =x + 12 t2 + 2t.2t + 1(5.64)Подставляя это равенство в z(t, x0 ), получаем решение задачи Коши(5.62):x + 12 t2 + 2t 21 3S(t, x) = t − 2t + 2t2 + 232t + 1x + 21 t2 + 2t−5t+t+2t + 1((x + 12 t2 + 2t2t + 1)2t−)2x + 12 t2 + 2t−1 .2t + 1Далее, как было сказано в пункте 4.6.1, решение задачи Коши на амплитуду ϕ(t, x), определенное в окрестности нуля, имеет видϕ0 (ξ) ϕ(t, x) = √,Jx (t, ξ) ξ=K(t,x)где K(t, x) – выражение ξ через x и t из равенства x = X(t, ξ), X(t, ξ) –решение задачи Кошиẋ = ∇S, x|t=0 = ξ.Как было сказано в пункте 4.6.1, якобиан Jx (t, x0 ) =Jx (t, x0 ) =(5.65)∂x,∂x0откуда∂1(− t2 + 2(x0 − 1)t + x0 ) = 2t + 1.∂x0 2Далее, выписывая в явном виде правую часть уравнения в (5.65), получаем:∇S(t, x) = −4t( 12 t2 + 2t)2t24tx5t++−+222t + 1 (2t + 1)(2t + 1)2t + 12( 21 t2 − 1)2x++,(2t + 1)2(2t + 1)264и, решая явно задачу Коши (5.65), имеем2x2t3 + 3t2 + 5t + 2ẋ =−,2t + 1(2t + 1)2откуда, полагая x = (2t + 1)u, получаем2u + (2t + 1)u̇ = 2u −u̇ = −∫u=−t2 + t + 2dt = −(2t + 1)2∫2t3 + 3t2 + 5t + 2,(2t + 1)22t3 + 3t2 + 5t + 2,(2t + 1)3t2 + t + 2dt = −4t2 + 4t + 117u=− t++ C,48(2t + 1)∫17( +)dt,4 4(2t + 1)2и окончательно17x(t, ξ) = − t(2t + 1) + + (2t + 1)C,48откуда, подставляя равенство x|t=0 = ξ, имеем7C=ξ− ,8771x(t, ξ) = − t(2t + 1) + + (2t + 1)(ξ − ),488и выражая ξ через t и x, получаемξ=7x177(2t + 1) + 8x + 2t − 7x + 2t++ t−==.8 2t + 1 48(2t + 1)8(2t + 1)2t + 1Отсюда, используя формулу для ϕ(t, x), получаем окончательноtg( x+2t )ϕ(t, x) = √ 2t+1 .2t + 1Ответ: Коротковолновая асимптотика для задачи Коши (5.61) имеет видiψc (t, x) = ϕ(t, x)e h S(t,x) ,65гдеx + 12 t2 + 2t 21 3t + 2t2 + 2S(t, x) = t − 232t + 1x + 21 t2 + 2t−5t+t+2t + 1((x + 12 t2 + 2t2t + 1)2t−)2x + 12 t2 + 2t−1 ,2t + 1)tg( x+2tϕ(t, x) = √ 2t+1 .2t + 1Пример 2.

Приведем теперь пример построения коротковолновой асимптотики для волнового уравнения:9 utt − (t+2)6 uxx = 0,(5.66)ϕ (x) = 3, 03S0 (x) = 8 + x.Согласно пункту 3.5.3, стационарное уравнение Гамильтона-Якоби дляфазы, соответствующее (5.66), имеет вид( )2( )2∂S∂S9−= 0.(5.67)6∂t(t + 2)∂xПоложим x1 = x, x2 = t. Тогда гамильтониан, соответствующий уравнению (5.67), имеет видH(p, x) = p2 −9p21 ,6(x2 + 2)и, обозначая τ параметр на характеристике, получаем систему характеристик1ẋ1 = − (x18p6,2 +2)ẋ2 = 2p2 ,(5.68)ṗ1 = 0,ṗ2 = −54(x2 + 2)−7 p21 .Начальные условия для этой системы:x1 |τ =0 = x0 , x2 |τ =0 = 0, p1 |τ =0 =66dS0 (x0 ) = 1.dx1(5.69)Начальные условия для импульса p2 получим из условия согласования:H(p, x)|τ =0 = 0,откуда3p2 |τ =0 = ± .8(5.70)Из третьего уравнения системы (5.68) и начальных данных получаем,что p1 (τ ) = 1.

Использовав это равенство и поделив второе из уравненийсистемы на четвертое, имеемdx2p2 (x2 + 2)7=−,dp227откуда91− (x2 + 2)−6 = − p22 + C1 .22Подставляя в обе части этого равенства τ = 0, получаем, что C1 = 0,откуда9p22 =,(x2 + 2)6и из условия (5.70) сразу получаем, чтоp2 = ±3.(x2 + 2)3Далее разберем отдельно случаи разных знаков.В случае, если3p2 =,(x2 + 2)3из системы (5.68) имеем{ẋ1 = − (x218,+2)66ẋ2 = (x2 +2)3 ,откуда, поделив первое уравнение на второе, получаем3dx1=−,dx2(x2 + 2)367откудаx1 =3+ C2 ,2(x2 + 2)2и, подставляя в последнее равенство τ = 0, из начальных условий (5.69)получаем3C2 = x0 − ,8откуда окончательноx=33+ x0 − .22(t + 2)8(5.71)Далее, в силу сказанного в пункте 3.4.2, получаем, что решение задачиКоши (5.68)-(5.70) имеет видS(t, x) = S0 (x0 (t, x)) =333+ x0 = + x −.842(t + 2)2Далее, так как уравнение на амплитуду ϕ(t, x) имеет вид2ϕt St − 2a2 (t, x) < ∇ϕ, ∇S > +ϕa S = 0,вычислим∂S,∂t∇S, a S:∂S39=,∇S=1,S=−.a∂t(t + 2)3(t + 2)4Отсюда явный вид уравнения на ϕ:6∂ϕ18 ∂ϕ9−−ϕ = 0.36(t + 2) ∂t(t + 2) ∂x (t + 2)4Домножая обе части уравнения на 13 (t + 2)6 , получаем:2(t + 2)3∂ϕ∂ϕ−6− 3(t + 2)2 ϕ = 0.∂t∂xСистема характеристик для этого уравнения имеет вид: ṫ = 2(t + 2)3 ,ẋ = 6,ϕ̇ = 3(t + 2)2 ϕ.68Отсюда, разделив третье уравнение системы характеристик на первое,получаемdϕ3 ϕ=,dt2t+2откуда3ϕ = C(t + 2) 2 .Отсюда, воспользовавшись тем, что ϕ0 = 3, получаем33ϕ(t, x) = √ (t + 2) 2 .2 2Пусть теперьp2 = −3,(x2 + 2)3тогда из системы (5.68) получаем{ẋ1 = − (x218,+2)66ẋ2 = − (x2 +2)3 ,откуда, поделив первое уравнение на второе, получаемdx13=,dx2(x2 + 2)3откудаx1 = −3+ C3 ,2(x2 + 2)2и, подставляя в последнее равенство τ = 0, из начальных условий (5.69)получаем3C3 = x0 + ,8откуда окончательноx=33+ x0 + .22(t + 2)8(5.72)Далее, в силу сказанного в пункте 3.4.2, получаем, что решение задачиКоши (5.68)-(5.70) имеет видS(t, x) = S0 (x0 (t, x)) =33+ x0 (t, x) = x +.82(t + 2)269Аналогично случаю знака плюс вычисляя∂S,∂t∇S, a S, получаем:∂S39=−, ∇S = 1, a S =.3∂t(t + 2)(t + 2)4Отсюда явный вид уравнения на амплитуду ϕ:−6∂ϕ18 ∂ϕ9−+ϕ = 0.36(t + 2) ∂t(t + 2) ∂x (t + 2)4Домножая обе части уравнения на − 13 (t + 2)6 , получаем:2(t + 2)3∂ϕ∂ϕ+6− 3(t + 2)2 ϕ = 0.∂t∂xСистема характеристик для этого уравнения имеет вид: ṫ = 2(t + 2)3 ,ẋ = −6,ϕ̇ = 3(t + 2)2 ϕ.Отсюда, разделив третье уравнение системы характеристик на первое,получаем то же уравнение, что и в случае знака плюс:dϕ3 ϕ=,dt2t+2откуда в силу совпадения начальных условий для этих уравнений делаемвывод, что33ϕ(t, x) = √ (t + 2) 2 .2 2Ответ: Коротковолновая асимптотика для задачи Коши (5.66) имеет видS+ (t, x) =33332;√(t+2),ϕ(t,x)=+x−+42(t + 2)22 2S− (t, x) = x +3332.√,ϕ(t,x)=(t+2)−2(t + 2)22 2Литература.В.И.

Арнольд, Математические методы классической механики“”70Глава 4Обобщенные решения.4.1Обобщенные решения задачи Коши длязакона сохранения.4.1.1Интегральное решение. Условие Рэнкина-Гюгонио.Будем рассматривать следующую задачу Коши для скалярного законасохранения с одной пространственной переменной:{ut + (F (u))x = 0, t > 0, x ∈ R,(1.1)u|t=0 = g(x), x ∈ R.Как было показано в пункте 6.6, задача (1.1) не имеет в общем случаерешения, принадлежащего классу C 1 и существующего при всех t > 0,даже если функция g(x) ∈ C ∞ . Попробуем обобщить понятие решениязадачи (1.1) на более широкий класс функций. Для этого введем сначалакласс пробных функций.Определение. Множеством пробных функций C0∞ (R+ × R) назовеммножество функций v(t, x) ∈ C ∞ (R+ × R) таких, что для функции v(t, x)существует компакт K ∈ (R+ ×R) такой, что ∀(t, x) ∈/ K верно v(t, x) = 0.Домножим теперь уравнение из (1.1) на пробную функцию v(t, x) ипроинтегрируем по [0, +∞) × R.

Заметим, что без ограничения общностиможно считать, что F (0) = 0. Далее, интегрируя по частям, получаем:∫+∞ ∫+∞∫+∞ ∫+∞0=(ut + (F (u))x )v(t, x)dxdt = −u(t, x)vt (t, x)dxdt−0 −∞0 −∞71∫+∞∫+∞ ∫+∞−uvdx|t=0 −F (u)vx dxdt.−∞0 −∞Отсюда, учитывая, что u|t=0 = g(x), получаем∫+∞ ∫+∞(u(t, x)vt (t, x) + F (u(t, x))vx (t, x))dxdt+(1.2)0 −∞∫+∞+g(x)v(0, x)dx = 0.−∞Заметим, что равенство (1.2) имеет смысл для функций u(t, x) из болееширокого класса, чем C 1 – для всех ограниченных функций.Определение. Равенство (1.2) будем называть интегральным тождеством, соответствующим задаче (1.1). Функцию u(t, x) ∈ L∞ ([0, +∞)×R) будем называть интегральным решением задачи (1.1) (в другой терминологии – обобщенным решением в смысле интегрального тождества),если для всех пробных функций v(t, x) имеет место интегральное тождество (1.2).Утверждение 5 Пусть u(t, x) – интегральное решение задачи (1.1) иu(t, x) ∈ C 1 ([0, +∞) × R).

Тогда u(t, x) – классическое решение задачи(1.1), т.е. удовлетворяет уравнению (1.1) и начальным условиям.Доказательство. В силу того, что u ∈ C 1 , равенство (1.2) можно проинтегрировать по частям. Отсюда в силу определения интегрального решения имеем, что ∀v(t, x) ∈ C0+∞ ([0, +∞) × R) верно равенство∫+∞(g(x) − u(0, x))v(0, x)dx−−∞∫+∞ ∫+∞−(ut (t, x) + (F (u(t, x)))x )v(t, x)dxdt = 0.0 −∞72(1.3)Отсюда в силу произвольности выбора функции v(t, x) следует требуемое.Упражнение.

Характеристики

Список файлов лекций