Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Изучим сначала свойства поверхности Λ0 . Пусть a, b ∈ Λ0 , γ – произвольный путь по Λ0 из a в b. Заметим,что∫∫∫ bpdx =∇S0 (x)dx =dS0 = S0 (b) − S0 (a),aγ(a→b)γ(a→b)т.е. этот интеграл не зависит от выбора пути γ. Заметим, что это свойство эквивалентнотому, что для любого замкнутого пути γ ⊂ Λ0 верноHравенство pdx = 0.γОпределение. Гладкая поверхность Λ размерности n в фазовом пространстве R2nx,p называется лагранжевой поверхностью, если для любогозамкнутогопути γ по этой поверхности, стягиваемого в точку, верноHpdx = 0.γЕсли теперь рассмотреть поверхность Λt , то оказывается, что имеетместо следующее утверждение.Утверждение 2 Поверхность Λt – лагранжева при малых t.Доказательство.
В силу нехарактеристичности поверхности Γ = {t =0} и допустимости начальных условий уравнения x = X(x0 , t) локальноразрешимы относительно x0 по лемме о локальной обратимости, т.е. x0 =χ(x, t). Значит, Λt при фиксированном t является графиком зависящей отx функции P (χ(x, t), t). В силу теоремы 16, P (x, t) = ∇x S(x, t). Отсюда,как и для Λ0 , получаем лагранжевость поверхности Λt .Утверждение доказано.Рассмотрим теперь расширенное фазовое пространство R2n+2 с координатами (x, t, p, pn+1 ). Определим расширение“ поверхности Λt следу”ющим образом:00Λn+1[0,T ] = {(x, t, p, pn+1 ), x = X(x , t), p = P (x , t),pn+1 = −H(x, t, p), x0 ∈ Ω0 , t ∈ [0, T ]}.Утверждение 3 Поверхность Λn+1[0,T ] – лагранжева.56Доказательство. Пусть a, b – две точки на поверхности Λn+1[0,T ] , l(a → b)– произвольный путь из a в b по поверхности.
Тогда∫∫∫pdx + pn+1 dt = pdx − Hdt =< ∇S, dx > −Hdt =ll∫< ∇S, dx > +=∂Sdt =∂t∫llbdx,t S = S(b) − S(a),aоткуда следует доказываемое.Следствие 1 Пусть γ1 и γ2 – две кривые, охватывающие одну и туже трубку фазовых траекторий системы ОДУ Гамильтона. ТогдаIIpdx − Hdt = pdx − Hdt.γ1γ2Определение. Дифференциальная форма pdx − Hdt называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана.Заметим, что свойство лагранжевости поверхности Λ можно переформулировать так: пусть Λ = {(x(α), p(α)), α ∈ Ω ⊆ Rn }. Тогда Λ –лагранжева, если для любых i, j имеет место равенство<∂x ∂p∂x ∂p,>−<,>= 0.∂αj ∂αi∂αi ∂αj(4.54)Выражение в левой части (4.54) называется скобкой Лагранжа функцийx(α), p(α) по переменным αi , αj .Утверждение 4 Если все скобки Лагранжа равны нулю во всех точкахповерхности Λ, то поверхность Λ – лагранжева.Доказательство.
Пусть γ ⊂ Λ – замкнутый путь, стягиваемый в точку. Тогда по формуле Стокса имеем∫∫ ∑Inpdx =dp ∧ dx =dpk (α) ∧ dxk (α) = 0γIntγ k=1Intγв силу (4.54) и того, чтоdpk ∧ dxk =∑ ( ∂pk ∂xki,j∂pk ∂xk−∂αi ∂αj∂αj ∂αiУтверждение доказано.57)dαi dαj .3.4.6Геометрическая оптика.Цель этого пункта – построить аналогию между различными понятиямигеометрической оптики и гамильтоновой механики. Известно, что в геометрической оптике имеет место принцип Ферма: свет распространяетсяиз точки x0 в точку x1 за кратчайшее время.
Будем считать, что скорость света при этом зависит как от точки x0 (неоднородная среда), таки от направления луча (неизотропная среда). Пусть x0 – фиксированная точка, t > 0. Обозначим Φ(x0 , t) множество точек, до которых светиз точки x0 может дойти за время, не превосходящее t. Граница множества Φ(x0 , t) – множество ∂Φ(x0 , t) – называется волновым фронтом,соответствующим точке x0 и моменту времени t.Теорема 20 (Принцип Гюйгенса.) Пусть x ∈ ∂Φ(x0 , t). Построимволновой фронт ∂Φ(x, s) через время s > 0.
Тогда ∂Φ(x0 , t + s) – огибающая семейства фронтов ∂Φ(x, s), соответствующих всем точкамx ∈ ∂Φ(x0 , t).Доказательство. Пусть xt+s ∈ ∂Φ(x0 , t + s). Тогда существует путьl(x0 → xt+s ), который свет проходит за время t + s, и нет более короткого пути. Рассмотрим точку xt ∈ l(x0 → xt+s ), до которой свет из x0доходит за время t.
Более короткого пути из x0 в xt нет, иначе путьl(x0 → xt+s ) – не кратчайший. Следовательно, xt ∈ ∂Φ(x0 , t). Аналогично, xt+s ∈ ∂Φ(xt , s). Покажем, что ∂Φ(x0 , t + s) и ∂Φ(xt , s) касаются вточке xt+s . Действительно, иначе нашлась бы точка y ∈ ∂Φ(x0 , t + s) такая, что она лежит строго внутри Φ(xt , s). Но тогда в точку y можнодобраться за время меньшее, чем t + s, т.е. y ∈/ ∂Φ(x0 , t + s). Противоречие.Теорема доказана.Из принципа Гюйгенса следует, что распространение света можноописывать, описывая лучи (и их направление – скорость ẋ), а можно– описывая волновые фронты.Определение.
Оптической длиной пути от точки x0 до x назовемS(x0 , x) – наименьшее время распространения света от точки x0 до точкиx. Тогда ∂Φ(x0 , t) = {x : S(x0 , x) = t}. Вектор нормали к фронту p =∇x S(x0 , x) назовем вектором нормальной медлительности фронта.Из вышесказанного следует аналогия между геометрической оптикойи гамильтоновой механикой:58принципуФерма в оптике соответствует вариационный принцип Гамиль∫тона Ldt → min в механике;лучам соответствуют траектории материальных точек x(t);свойства среды в механике описываются лагранжианом L;вектору нормальной медлительности фронта соответствует обобщенныйимпульс;выражение нормальной медлительности фронта через скорость луча воптике соответствует преобразованию Лежандра;интегральному инварианту < p, dx >= dS соответствует интегральныйинвариант Пуанкаре-Картана;оптической длине пути из x0 в x соответствует функция действия S(x, t);принципу Гюйгенса, описывающему волновые фронты, соответствует уравнение Гамильтона-Якоби на функцию действия.Литература.Л.К.Эванс, Уравнения с частными производными“, §3.3.1”Конспекты лекций по математическим методам физики, “под редак”цией В.В.
Белова и С.Ю. Доброхотова, Институт им. Курчатова(2007),§4-§6В.И. Арнольд, Математические методы классической механики“”3.53.5.1Коротковолновые асимптотики для УрЧП.Постановка задачи и общая идея метода.Рассмотрим уравнение математической физики2Φ(u, x, t, ∇x u, ut , Dx,tu, h) = 0,(5.55)описывающее какой-либо имеющий волновую природу процесс; h – малый параметр. Решить такое уравнение точно – даже при малых t –задача весьма непростая.
Идея метода коротковолновых асимптотик состоит в том, чтобы найти функцию û(x, t, h) – приближенное решение(5.55) при малых t такое, что2û, h) = O(h2 ), h → 0.Φ(û, x, t, ∇x û, ût , Dx,tПри этом используется следующее предположение: так как уравнение(5.55) описывает волновой процесс, то локально в каждой точке в фик59сированный момент времени t решение – синусоидальная волна, однако,амплитуда этой волны и ее направление фронта зависят и от точки, и отмомента времени. Тем самым, û(x, t, h) ищется в видеiû(x, t, h) = ϕ(x, t) exp( S(x, t)).h(5.56)При этом предполагается, что начальные данные для амплитуды ϕ(x, t) –функцию ϕ0 (x) и для фазы S(x, t) – функцию S0 (x) можно найти из физических соображений.
Далее приближенное решение вида (5.56) необходимо формально подставить в (5.55) и приравнять к нулю коэффициенты при двух наиболее медленно стремящихся к нулю степенях h(обычно h0 и h1 ). Полученные уравнения на амплитуду ϕ и фазу S будутУрЧП первого порядка, которые можно решить с помощью рассмотренных в предыдущих параграфах методов.
Строгого обоснования методакоротковолновых асимптотик мы приводить не будем, но рассмотримподробно несколько примеров. Метод позволяет стрить решения при малых t < T0 . При исследовании моментов времени t > T0 даже при скольугодно гладких ϕ0 (x) и S0 (x) у построенных решений û могут возникатьразрывы, т.е. построенная в предыдущих параграфах классическая теория становится неприменима.3.5.2Коротковолновая асимптотика для уравненияШредингера.Рассмотрим уравнение Шредингера с потенциалом U (x):∂ψh2ih= − ∆ψ + U (x)ψ.∂t2(5.57)Для подстановки û(x, t, h) вида (5.56) в (5.57) сделаем сначала вспомогательное вычисление:()i∂2∂ϕ i S i ∂S∂Seh +· ϕe hû =,∂x2k∂xk ∂xkh ∂xk∂ 2 ϕ i S 2i ∂ϕ ∂S i S∂2eh +û=eh +∂x2k∂x2kh ∂xk ∂xk60(5.58)ii ∂2S1+· ϕe h S − 22h ∂xkh(∂S∂xk)2iϕe h S .Подставляя û вида (5.56) в (5.57) и используя (5.58), получаем:при h0 :∂S 1+ < ∇x S, ∇x S > +U (x) = 0, S|t=0 = S0 (x).∂t2(5.59)Задача (5.59) – задача Коши для нестационарного уравнения ГамильтонаЯкоби с гамильтонианом H(p, x) = 21 < p, p > +U (x).
Задачи такого типамы подробно исследовали в разделе 3.4.1.При h1 :∂ϕ1+ < ∇x ϕ, ∇x S > + ∆S · ϕ = 0, ϕ|t=0 = ϕ0 (x).∂t2Это задача Коши для уравнения переноса, которая была подробно разобрана в качестве примера в разделе 3.2.3. Вспоминая, как именно в явномвиде интегрируется уравнение переноса, имеемϕ0 (x0 ) ϕ(x, t) = √,Jx (X 0 , t) 0 0x =x (x,t)iгде Jx (x0 , t) = det( ∂X)| 0 , x = X(ξ, t) – решение ẋ = v, x(0) = ξ, и∂ξj (x ,t)функция v(x, t) = ∇x S(x, t). Таким образом, проинтегрировав уравнение(5.59), по указанным формулам получаем коротковолновую асимптотикуû(x, t, h).3.5.3Коротковолновая асимптотика для волнового уравнения.Рассмотрим волновое уравнениеutt = a2 (x, t)∆u, a(x, t) ̸= 0.Подставляя û(x, t, h) вида (5.56) и используя (5.58), получаем:при h−2 :)n (∑∂S 2∂S 22−() , S|t=0 = S0 (x).−( ) = a (x, t)∂t∂xkk=161(5.60)Задача (5.60) – задача Коши для стационарного уравнения ГамильтонаЯкоби с гамильтонианом H(p, pn+1 , x, t) = a2 (x, t) < p, p > −p2n+1 .
Задачитакого типа подробно изучались в разделе 3.4.2.При h−1 :)n (∑∂2S∂ϕ ∂S∂2S∂ϕ ∂S2+ ϕ 2 , ϕ|t=0 = ϕ0 (x).2+ ϕ 2 = a (x, t)2∂t ∂t∂t∂x∂xkk ∂xkk=1Это задача Коши для линейного УрЧП первого порядка, которую можнопроинтегрировать с помощью обобщенного алгоритма А2, приведенногов разделе 3.2.3.Замечание 7 Система ОДУ Гамильтона для (5.60) имеет видẋ = 2a2 (x, t)p,ṫ = −2pn+1 ,ṗ = −2a(x, t) < p, p > ∇x a,ṗn+1 = −2a(x, t) < p, p > at .При этом нетрудно видеть, что поверхности {t = 0} соответствует две допустимых тройки, удовлетворяющие условию нехарактеристичности, если |∇x S0 (x0 )| ̸= 0. Этим двум допустимым тройкамсоответствуют два решения S± (x, t) задачи (5.60).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
