Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если в(2.23) можно использовать одно и то же k для всех компактов K, тоговорят, что распределение u имеет порядок не выше k.Таким образом, распределение u ∈ D′ (Ω) – это отображение u : C0∞ (Ω) →R (вообще говоря, u : C0∞ (Ω) → C) такое, что для любых a, b ∈ R,ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) верно u(aϕ + bψ) = au(ϕ) + bu(ψ), а также выполненоусловие (2.23). Заметим, что равенство (2.22) определяет распределениепорядка не выше k, если fα = 0 при |α| > k.Пример: для любого x0 ∈ Ω и для любого мультииндекса α формулаu(ϕ) = ∂ α ϕ(x0 ) определяет распределение порядка ровно |α|. То, что порядок этого распределения не меньше |α|, следует из того, что если взять0), тоψ ∈ C0∞ (Ω) такую, что ψ(0) = 1, и положить ϕδ (x) = (x − x0 )α ψ( x−xδβ|α|−|β|u(ϕδ ) = α! и sup |∂ ϕδ | ≤ Cδ→ 0 при δ → 0, |β| < |α|.Определим сходимость в пространстве пробных функций следующимобразом.87Определение.
Будем говорить, что ϕj → ϕ в D(Ω), j → +∞, еслиϕj (x) ∈ C0∞ (Ω) ∀j, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω), существует компакт K ⊂ Ω такой, чтоsupp ϕj ⊆ K ∀j и sup |∂ α (ϕj − ϕ)| → 0 при j → +∞.x∈KОказывается, что эквивалентным условию (2.23) является условие секвенциальной непрерывности.Теорема 30 (Секвенциальная непрерывность.) Линейный функционал u является распределением на Ω тогда и только тогда, когдадля любой последовательности ϕj , сходящейся к нулю в D(Ω), верноu(ϕj ) → 0 при j → +∞.Доказательство. Необходимость очевидным образом следует из определения сходимости в D(Ω) и условия (2.23).
Докажем достаточность.Предположим противное. Пусть найдется компакт K ⊂ Ω такой, что(2.23) не выполнено ни при каких C, k. Возьмем C = k = j, тогда найдется ϕj ∈ C0∞ (K) такая, что|u(ϕj )| > j∑|∂ α ϕj |.|α|<jЗаметим, что это неравенство не нарушится при замене ϕj на λϕj . Такимобразом, можно считать, что u(ϕj ) = 1. Но тогда |∂ α ϕj | ≤ 1j при j ≥ |α|,откуда ϕj → 0 в D(Ω) при j → +∞. Но u(ϕj ) = 1 ̸→ 0 при j → +∞.Противоречие.Если Y ⊂ Ω, u ∈ D′ (Ω), то можно сузить (ограничить) обобщеннуюфункцию u до распределения на Y , положив u|Y (ϕ) = u(ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Y ).Теорема 31 Если u ∈ D′ (Ω), и для любой точки x0 ∈ Ω существуетокрестность U этой точки такая, что u|U = 0, то u = 0.Доказательство. Пусть ϕ ∈ C0∞ (Ω).
По лемме об открытом покрытии найдется конечное число открытых окрестностей Uj точек Ω, удовлетворяющих условиям теоремы и таких, что supp ϕ∑⊂ ∪j UJ . Отсюда∞по теореме 28 найдутся∑ ϕj ∈ C0 (Uj ) такие, что ϕ = j ϕj . Но так какu(ϕj ) = 0, то u(ϕ) = j u(ϕj ) = 0.Определение. Носитель supp u обобщенной функции u ∈ D′ (Ω) –это множество всех точек Ω таких, что у них нет ни одной открытойокрестности, ограничение на которую для распределения u равно нулю.88Заметим, что для любой функции ∫v ∈ C(Ω) ей можно сопоставитьраспределение u по правилу u(ϕ) = Ω v(x)ϕ(x)dx. В дальнейшем мыбудем отождествлять такие распределения с соответствующими непрерывными функциями.Определение. Носитель сингулярности распределения u – множество sing supp u – множество всех точек Ω, у которых нет ни одной открытой окрестности, ограничение на которую распределения u являетсябесконечно гладкой функцией.Заметим теперь, что D′ (Ω) – векторное пространство с естественноопределенными сложением и умножением на число.
Зададим сходимостьв D′ (Ω) следующим образом:Определение. Будем говорить, что последовательность обобщенныхфункций uj ∈ D′ (Ω) сходится к u ∈ D′ (Ω) при j → +∞ (и обозначатьD′это uj ⇁ u, j → ∞), если для любой пробной функции ϕ ∈ C0∞ (Ω) верносоотношение lim uj (ϕ) = u(ϕ).j→∞Примеры.∫1D′1. un (ϕ) = nx ϕ(x)dx ⇁ 0, n → ∞.−1Действительно, зафиксируем ϕ ∈ C0∞ ((−1; 1)). Тогда1|un (ϕ)| = |n∫1xϕ(x)dx| =−1C→ 0, n → ∞.nТаким образом, lim un (ϕ) = u(ϕ) = 0, откуда u(ϕ) = 0.n→∞1n2. un (ϕ) =∫1−nD′nϕ(x)dx ⇁2δ0 (ϕ), n → ∞, где δ0 (ϕ) = ϕ(0).Упражнения к пункту 2.1. Проверить сходимость в примере 2.
Указание: воспользоваться интегральной теоремой о среднем.2. Сопоставим функции v(x) = |x| обобщенную функцию u ∈ D′ ((−1; 1)).Найти supp u и sing supp u.3. Найти предел последовательности функций un (x) в D′ (R), где −1, x < − n1 ,nx, x ∈ (− n1 ; n1 ),un =1, x > n1894.2.3Дифференцирование распределений и умножение на гладкую функцию.
Свертка с гладкойфункцией.Если u ∈ C 1 (Ω), то, как легко видеть из формулы интегрирования по частям, для любой пробной функции ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) имеет место равенство∫∫(∂xk u)(x)ϕ(x)dx = − u(x)(∂xk ϕ)(x)dx.ΩΩ∞Если же f ∈ C (Ω), то, очевидно, для любой пробной функции ϕ(x) ∈C0∞ (Ω) функция f (x)ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω), и верно равенство∫∫u(x)(f ϕ)(x)dx.(f u)(x)ϕ(x)dx =ΩΩПоэтому, а также в силу указанной в предыдущем пункте связи междунепрерывными функциями и распределениями, естественным являетсяследующее определение.Определение. Для любой обобщенной функции u ∈ D′ (Ω) положим(∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Ω).Если f ∈ C ∞ (Ω), то положим(f u)(ϕ) = u(f ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Ω).Пример.
Функция{θ(x) =0, x ≤ 01, x > 0называется функцией Хевисайда. Ее производная в смысле D′ (R) равна∫ +∞′′θ (ϕ) = −θ(ϕ ) = −ϕ′ (x)dx = ϕ(0) = δ0 (ϕ).0Теорема 32 (Дифференцирование кусочно-гладких функций).Пусть функция u(x) определена на открытом множестве Ω ⊂ R, x0 ∈Ω, функция u(x) дифференцируема при x ∈ (Ω \ {x0 }).
Если функцияv(x), равная u′ (x) при x ̸= x0 , непрерывна на Ω \ {x0 } и интегрируемав некоторой окрестности x0 , то пределы u(x0 ± 0) существуют, и всмысле обобщенных функций имеет место равенствоu′ (x) = v(x) + (u(x0 + 0) − u(x0 − 0))δx0 .90∫yДоказательство. Если x0 < y и [x0 , y] ⊂ Ω, то u(x) = u(y) − x v(t)dt,откуда следует существование предела u(x0 + 0). Аналогично доказывается существование u(x0 − 0).
Далее,∫u′ (ϕ) = −u(ϕ′ ) = lim −u(x)ϕ′ (x)dx =ε→0+0|x−x0 |>ε= lim (u(x0 + ε)ϕ(x0 + ε) − u(x0 − ε)ϕ(x0 − ε)+ε→0+0∫+v(x)ϕ(x)dx).|x−x0 |>εОтсюда, так как lim ϕ(x0 + ε) = lim ϕ(x0 − ε) = ϕ(x0 ), получаемε→0+0ε→0+0доказываемое.Определение. Сверткой u ∗ ϕ распределения u ∈ D′ (Rn ) и пробнойфункции ϕ ∈ C0∞ (Rn ) называется функция (u ∗ ϕ)(x) = u(ϕ(x − ·)), гдеправая часть обозначает результат применения u к функции ϕ(x − y) какфункции от y.Если u ∈ C(Rn ), то это определение, очевидно, совпадает с (2.16).Оказывается, что все свойства свертки сохраняют силу и для сверткираспределения с пробной функцией. Более того, справедливы следующиетеоремы (доказательства их мы приводить не будем):Теорема 33 Если u ∈ D′ (Ω) и ϕ ∈ C0∞ (Rn ), то u∗ϕ ∈ C ∞ (Rn ), а также:1.
supp (u ∗ ϕ) ⊆ supp u + supp ϕ = {x + y| x ∈ supp u, y ∈ supp ϕ}.2. ∂ α (u ∗ ϕ) = (∂ α u) ∗ ϕ = u ∗ (∂ α ϕ).Теорема 34 Если u ∈ D′ (Rn ), ϕ, ψ ∈ C0∞ (Rn ), то (u ∗ ϕ) ∗ ψ = u ∗ (ϕ ∗ ψ).∫Теорема 35 Пусть ϕ ∈ C0∞ (Rn ), ϕ ≥ 0, Rn ϕ(x)dx = 1. Если u ∈D′D′ (Rn ), то uϕ = u ∗ ϕ ∈ C ∞ (Rn ) и uϕ ⇁ u при supp ϕ → {0}.Упражнения к пункту 3.1.
Найти xδ0 (x).d2. Найти dx(|x|) в D′ (R).3. Найти δ0 ∗ ϕ, где ϕ ∈ C0∞ (R).Литература.Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с част”ными производными. Т.1: Теория распределений и анализ Фурье.“, гл.1,а также пп. 2.1, 2.2, 3.1, 4.1.914.2.4Преобразование Фурье обобщенных функций.Начнем с пространства P(Rn ) быстро убывающих функций(функцийШварца): Определение. Пространство P(Rn ) быстро убывающих функций – это множество всех функций ϕ(x) ∈ C ∞ (Rn ) таких, что для любыхмультииндексов α, β имеет место соотношение:sup |xβ ∂xα ϕ(x)| < ∞.(2.24)x∈RnЗамечание 9 Заметим, что если ϕ(x) ∈ C0∞ (Rn ), то ϕ ∈ P(Rn ).
Кроме того, если ϕ ∈ P(Rn ), то ϕ ∈ L1 (Rn ).Далее для краткости будем писать P вместо P(Rn ).Определение. Для любой функции f ∈ L1 (Rn ) ее преобразованием Фурье называется ограниченная непрерывная функция fb: Rn → C,определенная формулой∫bf (ξ) =e−i<x,ξ> f (x)dx.(2.25)RnОбозначим Dj = −i ∂x∂ j , где i – мнимая единица.
В силу замечания 9,преобразование Фурье определено для всех быстро убывающих функций.Простейшие свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций позволяет установить следующая лемма.Лемма 6 Преобразование Фурье F : ϕ → ϕb непрерывно отображает Pв P. При этом имеют место равенства:dbDj ϕ = ξj ϕ,(2.26)bdxj ϕ = −Dj ϕ.(2.27)Доказательство. Заметим, что если ϕ ∈ P, то интеграл в (2.25) сходится равномерно по параметру ξ. Далее,∫αbD ϕ=e−i<x,ξ> (−x)α ϕ(x)dx,Rn92при этом правая часть этого равенства определена и сходится равномерb ∈ C ∞ (Rn ) и имеет место равенство (2.27).но по ξ. Таким образом, ϕ(ξ)Кроме того,∫β αbξ D ϕ=ξ β e−i<x,ξ> (−x)α ϕ(x)dx =∫=RnRn()(−i)β ∂xβ e−i<x,ξ> (−1)|β| (−x)α ϕ(x)dx.Проинтегрировав по частям полученное выражение, имеем:∫β αbξ D ϕ=e−i<x,ξ> Dβ ((−x)α ϕ(x)) dx.(2.28)RnИнтегрирование по частям не приводит к появлению внеинтегральныхслагаемых, так как из (2.24) следует, что функция ϕ(x) и все ее производные при |x| → ∞ стремятся к нулю быстрее, чем x в любой степени.Далее из (2.28) получаем:∫β αbsup |ξ D ϕ| = sup |e−i<x,ξ> Dβ ((−x)α ϕ(x)) dx| ≤ξ∈Rnξ∈RnRn∫≤∫≤RnRn|Dβ ((−x)α ϕ(x)) |dx ≤(1 + |x|)−n−1 dx · sup (1 + |x|)n+1 |Dβ ((−x)α ϕ(x)) | < ∞.x∈RnТаким образом, преобразование Фурье непрерывно отображает P в P.Осталось заметить, что равенство (2.28) при α = 0 дает (2.26).
Леммадоказана.Для доказательства формулы обращения Фурье нам потребуется также следующая техническая лемма.Лемма 7 Если линейное отображение T : P → P удовлетворяет условиямT Dj ϕ = Dj T ϕ, T (xj ϕ(x)) = xj T ϕ(x),(2.29)то найдется константа c такая, что для любой функции ϕ ∈ P имеетместо равенство T ϕ = cϕ.93Доказательство. Для любой ϕ(x) ∈ S рассмотри разложение ϕ =ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 , ϕj = αj ϕ, где αj − разбиение единицы, α1 + α2 + α3 =1, α1,2 ∈ C0∞ , α3 ∈ S. Тогда существуют точки yj такие что ϕj (yj ) = 0.Функции ϕj (x) представимы в виде∫ 1n∑ϕj (x) =(xk − yk )∂xk ϕj (y1j + (x1 − y1j )t, .
. . , y3j + (x3 − y3j )t)dtk=10=n∑(xk − yk )ϕjk (x),k=1∑где∈ S. Отсюда, T ϕj (x) = nk=1 (xk − yk )T ϕjk (x), а значит, (T ϕj )(yj ) =0. Значит, найдется непрерывная функция cj (x), такая, что T ϕj (x) =cj (x)ϕj (x). Докажем, что cj не зависят от j и, даже более, не зависят отϕj . Рассмотрим сумму ϕ1 +ϕ2 . Тогда, также как выше получим непрерывную функцию c(x), такую, что T (ϕ1 +ϕ2 ) = c(x)(ϕ1 +ϕ2 ). Но в тоже времяимеем T (ϕ1 +ϕ2 ) = c1 ϕ1 +c2 ϕ2 . Отсюда (c(x)−c1 (x))ϕ1 = −(c(x)−c2 (x))ϕ2и в областях supp ϕ1 \ (supp ϕ1 ∩ supp ϕ2 ) и supp ϕ2 \ (supp ϕ1 ∩ supp ϕ2 )соответственно получим c(x) = c1 (x) и c(x) = c2 (x). Ниже мы покажем,что c, c1 , c2 в области supp ϕ1 ∩supp ϕ2 есть решения дифференциальногоуравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
