Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, и в этой области c = c1 = c2 . Также доказывается, что c = c1 = c3 . Отсюда следует, что T ϕ(x) = c(x)ϕ(x). То, чтоc(x) не зависит от ϕ доказывается также.Теперь выберем ϕ ∈ P так, что ϕ(x) ̸= 0 для всех x. ПолучимϕjkDj (T ϕ) = T Dj ϕ = (Dj c)ϕ + c · Dj (ϕ).ОтсюдаT (Dj ϕ) − c(x)(Dj ϕ)(x),ϕ(x)и тем самым c(x) ∈ C 1 (Rn ). Аналогично получаем, что c(x) ∈ C ∞ (Rn ).Далее, 0 = Dj T ϕ − T Dj ϕ = (Dj c)ϕ, откуда следует, что все первые производные бесконечно гладкой функции c(x) тождественно равны нулю,а значит, c(x) = const . Лемма доказана.Dj c(x) =Теорема 36 (Формула обращения преобразования Фурье).
Преобразование Фурье F : ϕ → ϕb есть изоморфизм пространства P на себя,обратный к которому задается формулой обращения Фурье∫−nb(2.30)ei<x,ξ> ϕ(ξ)dξ.ϕ(x) = (2π)Rn94Доказательство.В силу леммы 6 имеем: F 2 : P → P. Кроме того,b = −xj F ϕb = −xj F 2 ϕ.F 2 (xj ϕ) = F(−Dj ϕ)Аналогично, F 2 Dj ϕ = −Dj F 2 ϕ. Пусть Rϕ(x) = ϕ(−x). Тогда для отображения T = RF 2 выполнены условия (2.29). Следовательно, по лемме 7,RF 2 ϕ = cϕ, где c = const не зависит от ϕ. Для того, чтобы найти c, возьмем ϕ(x) = exp(− 21 |x|2 ) ∈ P. Для нее (xj + iDj )ϕ = 0, и, сделав преобразование Фурье обоих частей этого равенства, получаем (−Dj + iξj )ϕb = 0,b = (2π) n2 .
Таким образом, для данной функцииоткуда ϕb = c1 ϕ, и c1 = ϕ(0)ϕ имеем RF 2 ϕ = c21 ϕ, а значит, c = c21 = (2π)n . Теорема доказана.Отметим также следующие важные свойства преобразования Фурьебыстро убывающих функций.Теорема 37 Для любых функций ϕ, ψ ∈ P имеют место равенства:∫∫bbϕ(x)ψ(x)dx =ϕ(x)ψ(x)dx,(2.31)RnRn∫−n∫ϕ(x)ψ(x)dx = (2π)b ψ(x)dx,bϕ(x)(2.32)RnRnbb ϕψc = (2π)−n ϕb ∗ ψ.ϕ[∗ ψ = ϕbψ,(2.33)Равенство (2.32) называется формулой Парсеваля.Доказательство.Свойства (2.31) и (2.33) проверяются прямым выbчислением. Для доказательства свойства (2.32) положим χ = (2π)−n ψ.Тогда∫−ni<x,ξ>bχb(ξ) = (2π)ψ(x)edx = ψ(x).RnОтсюда и из равенства (2.31) следует требуемое.
Для доказательствавторого равенства (2.33) заметим, чтоc = F 2 (ϕψ) = (2π)n ϕ(−x)ψ(−x),F(ϕψ)и в силу (2.33)b = F(ϕ)F(bb = (2π)n ϕ(−x)(2π)n ψ(−x).F(ϕb ∗ ψ)ψ)95Теорема доказана.Упражнения к пункту 1.1. Доказать замечание 9.2. Проверить прямым вычислением равенство (2.31).3. Проверить прямым вычислением равенство (2.33).Теперь перейдем к обобщенным функциям умеренного роста и ихпреобразованию Фурье. Заметим, что система полунормpα,β (ϕ) = sup |xβ ∂xα ϕ(x)|x∈Rnзадает в пространстве быстро убывающих функций P(Rn ) топологию,превращающую P в пространство Фреше. Определим обобщенные функции умеренного роста по аналогии со введенным в предыдущей главеобобщенными функциями, взяв в качестве пространства пробных функций пространство P.Определение.
Непрерывные линейные функционалы на P называются обобщенными функциями умеренного роста (распределениями умеренного роста). Множество всех обобщенных функций умеренного ростабудем обозначать P ′ .Из замечания 9 следует, что любому функционалу u ∈ P ′ можно поставить в соответствие функционал v ∈ D′ (Rn ) по следующему правилу:u(ϕ) = v(ϕ) ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ). Более того, имеет место следующее утверждение.Лемма 8 C0∞ (Rn ) плотно в P.Доказательство. Пусть ϕ(x) ∈ P – произвольная.
Выберем ψ(x) ∈C0∞ (Rn ) такую, что ψ(x) = 1 при |x| ≤ 1. Для любого ε > 0 положимϕε (x) = ϕ(x)ψ(εx). Тогда ϕε (x) ∈ C0∞ (Rn ), а так как ϕε (x) − ϕ(x) =ϕ(x)(ψ(εx) − 1) = 0 при |x| < 1ε , то ϕε → ϕ в P при ε → 0. Леммадоказана.Как следствие из этой леммы, получаем, что пространство P ′ можно отождествить с соответствующим подпространством в D′ (Rn ). Имеетместо также следующее утверждение, которое мы приведем без доказательства.Утверждение 11 Для любого p ≥ 1 если ϕ(x) ∈ Lp (Rn ), то ϕ ∈ P ′ .Определение.
Преобразованием Фурье обобщенной функции u ∈ P наbзывается обобщенная функция ub, определяемая формулой ub(ϕ) = u(ϕ).′′Заметим, что в силу леммы 6: F : P → P, а значит, F : P → P .96Теорема 38 Преобразование Фурье осуществляет изоморфизм пространства P ′ со слабой топологией на себя, и имеет место формула обращения Фурье (2.30) в следующем виде: F(bu)(ϕ) = (2π)n u(Rϕ).b =Доказательство. В силу теоремы 36 имеет место равенство F(ϕ)n(2π) Rϕ для любой функции ϕ ∈ P, откуда следует формула обращенияФурье.Теорема 39 Если u ∈ L2 (Rn ), то ub ∈ L2 (Rn ), и формула Парсеваля∫ϕ(x)ψ(x)dx = (2π)−n∫Rnb ψ(x)dxbϕ(x)(2.34)Rnимеет место для всех функций ϕ, ψ ∈ L2 (Rn ).Доказательство. Пусть u ∈ L2 (Rn ).
Так как C0∞ (Rn ) плотно в L2 (Rn ),то найдется последовательность uj ∈ C0∞ (Rn ) такая, что uj → u в L2 (Rn ).Тогда uj ∈ P, и в силу теоремы 37 получаем||buj − ubk ||2L2 = (2π)n ||uj − uk ||2L2 → 0при j, k → ∞. Отсюда, так как пространство L2 (Rn ) – полное, получаем,что найдется U ∈ L2 (Rn ) такая, что ubj → U в L2 . В силу непрерывностипреобразования Фурье отсюда следует, что F(u) = U . Далее, обе частиравенства (2.34) – непрерывные функции от ϕ, ψ в L2 -норме, а следовательно, равенство (2.34) имеет место для всех ϕ, ψ ∈ L2 (Rn ). Теоремадоказана.Упражнение к пункту 2. Проверить, что в обозначениях леммы 8 длялюбых мультииндексов α, β верно supx∈Rn |xβ ∂xα (ϕε (x) − ϕ(x))| → 0 приε → 0.4.2.5Пространства Соболева.Определение.
Пусть s ∈ (N ∪ {0}. Пространством Соболева H s (Rn ) называется пространство обобщенных функций u ∈ P ′ таких, что конечнанорма∫||u||2s = (2π)−nRn|bu(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )s dξ.97Заметим, что при s = 0 пространство H 0 (Rn ) совпадает с L2 (Rn ), и сростом s пространство H s (Rn ) сужается. Пусть s ∈ N. Разлагая многочлен (1 + |ξ|2 )s в сумму степеней ξj2 , получаем, в силу свойств преобразования Фурье, что∑||u||2s =Cα ||Dα u||2L2 .|α|≤sОтсюда естественным образом вытекает следующее определение.Определение. Пусть Ω – открытая область. Тогда пространствомСоболева H s (Ω) назовем пространство функций ϕ(x) ∈ L2 (Ω) таких, чтодля любого мультииндекса α такого, что |α| ≤ s обобщенная производная функции ϕ(x) порядка α – функция ∂xα ϕ принадлежит пространствуL2 (Ω).Замечание 10 Вообще говоря, если Ω1 ⊂ Ω2 , то не во всех случаяхфункцию u ∈ H s (Ω1 ) можно продолжить до функции v ∈ H s (Ω2 ).
Этосвязано с тем, что функция u(x) может плохо“себя вести в окрест”ности границы области Ω1 .Весьма важную роль играет следующая теорема.Теорема 40 (теорема вложения) Пусть s >H s (Rn ), то u(x) ∈ C(Rn ).n.2Тогда если u(x) ∈Пусть x0 ∈ Rn – фиксированная точка. Тогда∫000−n|u(x) − u(x )| = |(2π)ei<x ,ξ> (ei<x−x ,ξ> − 1)bu(ξ)dξ| ≤Доказательство.Rn∫|ei<x−x ,ξ> − 1|≤ (2π)u(ξ)| ·dξ ≤(1 + |ξ| ) |bs(1 + |ξ|2 ) 2Rn) 12(∫0|ei<x−x ,ξ> − 1|2dξ.≤ const ||u||s ·(1 + |ξ|2 )sRn−nЗаметим, что при s >∫02n2s2интеграл|ei<x−x ,ξ> − 1|2dξ ≤ 4(1 + |ξ|2 )s0Rn98∫Rn1dξ < ∞,(1 + |ξ|2 )sт.е. этот интеграл сходится равномерно. Следовательно, можно совершить предельный переход по параметру x − x0 → 0, переходя к пределупод знаком интеграла.
Но при этом указанный интеграл стремится к нулю, а значит, |u(x) − u(x0 )| → 0 при x → x0 , т.е. u(x) непрерывна в точкеx0 . Теорема доказана.Пусть теперь Ω ⊂ Rn – ограниченная область. Заметим, что границаэтой области ∂Ω имеет нулевую n-мерную меру Лебега. В случае, когдафункция u(x) принадлежит пространству Соболева H 1 (Rn ), она, вообщеговоря, не является непрерывной и определена п.в., а потому выражениеограничение u(x) на ∂Ω“ не определено. Для того, чтобы определить”значения функции u(x) на ∂Ω используется следующая теорема.Теорема 41 (о следах) Пусть Ω ⊂ Rn – ограниченная область с границей ∂Ω класса C 1 .
Тогда существует ограниченный линейный оператор T : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω) такой, что:1. T u = u|∂Ω , если u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω).2. ||T u||L2 (∂Ω) ≤ C||u||H 1 (Ω), где константа C зависит только от геометрии области Ω.Определение. Функция T u называется следом функции u на ∂Ω.Рассмотрим теперь все такие функции из H s (Ω), след которых награнице области Ω равен нулю.Определение.
Пространство H0s (Ω) – это замыкание C0∞ (Ω) в нормеH s (Ω).Имеет место следующая теорема, которую мы приведем без доказательства.Теорема 42 (о функциях с нулевым следом) Пусть Ω ⊂ Rn – ограниченная область с границей ∂Ω класса C 1 . Пусть u(x) ∈ H 1 (Ω). Тогдаu ∈ H01 (Ω) тогда и только тогда, когда T u = 0 на ∂Ω.Упражнения к пункту 3.При каких значениях параметров a, b ∈ R принадлежат пространствуH 1 ((−1, 1)) следующие функции: a) u(x) = |x|a , b) u(x) = (ln(|x|))b , c) u(x) =b ∈ L1 (Rn ).|x|a (ln(|x|))b ; Доказать, что если s > n2 и u(x) ∈ H s (Rn ), то uЛитература.Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с част”ными производными“, Т.1, гл.7Л.К.Эванс, Уравнения с частными производными“, гл.5”994.3Неравенство Фридрихса.При изучении обобщенных решений краевых задач важную роль играютсвойства функций из пространств Соболева.
Одним из важнейших подобных свойств является возможность перейти к эквивалентной нормев некоторых случаях. В этом и следующих разделах знаком ||f || будемдля краткости обозначать норму функции f (x) в L2 (Ω).Теорема 43 (Неравенство Фридрихса.) Пусть Ω – ограниченная область в Rn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
