Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Доказать, что если равенство (1.3) выполнено для всехпробных функций v(t, x), то функция u(t, x) – решение (1.1). Указание:выбрать сначала функции v(t, x) ∈ C0∞ ((0, +∞) × R).Попробуем теперь получить некоторую информацию об интегральном решении из (1.2). Пусть V – открытое множество в [0, +∞)×R, функция u(t, x) – интегральное решение (1.1), являющееся кусочно-гладкойфункцией в V , причем V содержит ровно одну кривую разрыва c ={(t, x(t))} функции u(t, x). Обозначим VL = {(t, x) ∈ V, x < x(t)}, VR ={(t, x) ∈ V, x > x(t)}. Тогда определены пределы слева и справа накривой разрыва c:uR (t0 , x0 ) =limVR ∋(t,x)→(t0 ,x0 )=limu(t, x), uL (t0 , x0 ) =VL ∋(t,x)→(t0 ,x0 )u(t, x).Оказывается, что имеет место следующее соотношение между пределамислева и справа на кривой разрыва.Теорема 21 (Условие Рэнкина-Гюгонио.) Пусть кривая разрыва cинтегрального решения u(t, x) – график функции x = x(t). Тогда указанное интегральное решение удовлетворяет на кривой c условию РэнкинаГюгонио:dxF (uR ) − F (uL )=.dtuR − uL(1.4)cos(ν,t)Доказательство.
Заметим сначала, что dx= − cos(ν,x), где ν – едиdtничная нормаль к c, направленная из VL в VR , cos(ν, t) и cos(ν, x) – еенаправляющие косинусы. Обозначим [u] = uR − uL – скачок функции uна кривой разрыва c, [F (u)] = F (uR ) − F (uL ). Заметим, что (1.4) эквивалентно равенству[u] cos(ν, t) + [F (u)] cos(ν, x) = 0.(1.5)Пусть v(t, x) – пробная функция с компактным носителем в VL , тогда всилу (1.2) и гладкости u(t, x) в VL имеем ut + (F (u))x = 0 в VL . Аналогичным образом такое равенство имеет место внутри VR . Пусть теперь73v(t, x) – произвольная пробная функция с компактным носителем в V .Тогда в силу (1.2) имеем∫∫∫∫0=(uvt + F (u)vx )dxdt +(uvt + F (u)vx )dxdt,VLVRоткуда в силу выбора v(t, x) имеем∫∫∫∫(uvt + F (u)vx )dxdt = −(ut + (F (u))x )vdxdt+VLVL∫∫(uL ν2 + F (uL )ν1 )vdl =+(uL ν2 + F (uL )ν1 )vdl,ccгде ν = (ν1 , ν2 ) = (cos(ν, x), cos(ν, t)) – нормаль к кривой c, описаннаявыше.
Аналогично∫∫∫(uvt + F (u)vx )dxdt = − (uR ν2 + F (uR )ν1 )vdl,cVRоткуда и из предыдущего равенства в силу произвольности функцииv(t, x) получаем (1.5).Теорема доказана.Определение. Кусочно-непрерывные решения задачи (1.1) в смыслеинтегрального тождества будем называть ударными волнами.Утверждение 6 (Сохранение среднего.) Пусть u(t, x) ∈ KC 1 , финитна по x, имеет одну кривую разрыва x = x(t) и является обобщенным решением (1.1) в смысле интегрального тождества. Обозначим+∞∫S(t) =u(t, x)dx – пространственное среднее. Тогда S(t) = const .−∞Доказательство.Действительно,∫x(t)∫+∞S(t) =u(t, x)dx +u(t, x)dx.−∞x(t)Далее,dS= u(t, x(t) − 0)ẋ(t)+dt74∫x(t)∫+∞+ut (t, x)dx − u(t, x(t) + 0)ẋ(t) +ut (t, x)dx =−∞x(t)∫x(t)∫+∞= (uL − uR )ẋ(t) − (F (u(t, x)))x dx − (F (u(t, x)))x dx =−∞x(t)= (uL − uR )ẋ(t) + F (u(t, −∞)) − F (u(t, x(t) − 0)) − F (u(t, +∞))+F (u(t, x(t) + 0)) = (uL − uR )ẋ(t) + F (0) − F (uL ) − F (0) + F (uR ) = 0в силу условия Рэнкина-Гюгонио (1.4).Утверждение доказано.4.1.2Пример неединственности интегрального решения.Пусть F (u) = u2 , g(x) = 0.
Тогда задача Коши (1.1) имеет вид{Положимut + 2uux = 0, t > 0, x ∈ R,u|t=0 = 0, x ∈ R.(1.6)0, x < δt,−δ, −δt < x < 0,uδ (t, x) =δ, 0 < x < δt,0, x > δt,где δ > 0. Заметим, что в каждой из областей, где uδ (t, x) – гладкая,она является решением (1.6). Проверим условие Рэнкина-Гюгонио накаждой из кривых разрыва. При x = 0 получаем: uL = −δ, uR = δ,F (uR ) = F (uL ) = δ 2 , [F (u)] = 0, [u] = 2δ, ẋ(t) = 0 и условие РэнкинаГюгонио выполнено: 0 = 2δ0 – верное равенство. Аналогичным образомможно показать, что условие Рэнкина-Гюгонио выполнено и на другихкривых разрыва.
Тем самым, оказывается, что функция uδ (t, x) – интегральное решение задачи (1.6) при любом положительном δ. Заметим,что кусочно-постоянное решение задачи (1.6) с двумя линиями разрывапостроить нельзя, т.к. у него должны быть скачки от 0 к некоторому δ75и от δ к нулю, а эти разрывы по условию Рэнкина-Гюгонио могут бытьтолько на прямойF (δ) − F (0)x=t = δt,δ−0и линия разрыва одна, а не две, как предполагалось.Упражнение.
Построить обобщенное решение, отличное от тождественного нуля на множестве положительной меры, дляut + 3u2 ux = 0, u|t=0 = 0.4.1.3Энергетические оценки.Как было показано в предыдущем пункте, интегральное решение задачи Коши (1.1) вообще говоря, не единственно. Однако, нетрудно видеть,что гладкое (классическое) решение задачи (1.1) единственно при техt ∈ [0, T ), при которых оно существует.
Попробуем понять, какое же изинтегральных решений является наследником“ классического решения,”т.е. выделить некое свойство классического решения, которое сохраняется уже не для всех интегральных решений той же задачи Коши, а толькодля одного из них. Дадим наглядную интерпретацию условия необратимости. Для этого введем полную кинетическую энергию системы1E(t) =2∫+∞u2 (t, x)dx.−∞Пусть g(x) ∈ C 2 (R) – финитная функция. Тогда на [0, T ), T > 0, существует классическое и финитное по x при фиксированном t решениеu(t, x) задачи (1.1). Далее будем считать, что u(t, x) – финитна по x привсех t ≥ 0, откуда следует, что E(t) < +∞.Утверждение 7 (Сохранение энергии.) Пусть t < T , тогда E(t) =E(0) = const .Доказательство.Действительно,dE=dt∫+∞∫+∞uut dx = −u(F (u))x dx =−∞−∞76∫+∞= −uF (u)|x=+∞F (u)ux dx =x=−∞ +−∞u(t,+∞)∫∫0F (u)du =F (u)du = 0,0u(t,−∞)откуда следует требуемое.Утверждение 8 (Падение кинетической энергии на сильном разрыве).
Пусть u(t, x) – обобщенное решение задачи Коши (1.1) в смыслеинтегрального тождества, удовлетворяющее условию энтропии 2, содной линией сильного разрыва x = x(t). Тогда скорость убывания кинетической энергии E(t) на этом решении в каждый момент времениt = t0 равна площади S(t0 ), ограниченной графиком функции F (u) на отрезке [uL , uR ] (или [uR , uL ]) и хордой, соединяющей точки (uL , F (uL ))) и(uR , F (uR )) на этом графике:dE(t0 ) = −S(t0 ).dtДоказательство. Пусть для определенности uL < uR , тогда в силуусловия энтропии имеем∫uRF (u)du −S(t0 ) =F (uR ) + F (uL )(uR − uL ).2uLС другой стороны,ddE(t0 ) =dtdt=d dt∫x(t)−∞1= u2L ẋ(t0 ) +2∫+∞−∞1 2u (t, x)dx =21 2u (t, x)dx +2∫+∞1 2u (t, x)dx =2x(t)x(t∫ 0)−∞u2 − u2Rẋ(t0 ) −= L2∫+∞1uut dx − u2R ẋ(t0 ) +2uut dx =x(t0 )x(t∫ 0)∫+∞u(F (u))x dx −−∞u(F (u))x dx =x(t0 )77u2 − u2Rx=x(t )= Lẋ(t0 ) − uF (u)|x=−∞0 +2x(t∫ 0)F (u)ux dx−−∞∫+∞−uF (u)|x=+∞x=x(t0 )+F (u)ux dx.x(t0 )В силу условия Рэнкина-Гюгонио (1.4) и с учетом u(t, ±∞) = 0 имеемdEu2L − u2R F (uR ) − F (uL )=− uL F (uL )+dt2uR − uL∫uL+∫uLF (u)du = −S(t0 ),F (u)du + uR F (uR ) +0uRчто и требовалось доказать.Таким образом, E(t) = E(0) до возникновения ударной волны, а затемdE< 0, еслиdtS(t) > 0(1.7)Предположим, что F ′′ (u) ≥ 0, F ∈ C 3 , g ∈ C 2 .
Для выпуклой функцииF ”(u) > 0 отсюда следует условие допустимости разрыва:uL > uR .(1.8)Если же теперь F ′′ (u) ≤ 0, то аналогичным рассуждением получаем, чтоuR ≥ uL . Отсюда вытекает следующее определение.Определение. Пусть F ∈ C 3 , g ∈ C 2 , F ′′ (u) ̸= 0, u(t, x) – обобщенноерешение (1.1), x(t) – кривая разрыва. Тогда разрыв является допустимым, если выполнено следующее неравенство:F ′′ (u)(uR − uL ) ≤ 0.4.1.4(1.9)Допустимые разрывы и условие энтропии.На случай невыпуклой функции F условие допустимости разрыва можнообобщить следующим образом78Условие 2 (Условие энтропии.) Если uL < uR , то график функцииF (u) на отрезке [uL , uR ] не ниже хорды, соединяющей точки (uL , F (uL ))и (uR , F (uR )).
Если uL > uR , то график функции F (u) на отрезке [uR , uL ]не выше хорды, соединяющей точки (uL , F (uL )) и (uR , F (uR )).Итак, кинетическая энергия рассеивается (частично она переходит в тепловую). Следовательно, эволюция обобщенных решений с ударными волнами связана с убыванием кинетической энергии, что влечет за собойнеобратимость физических процессов, моделируемых уравнением (1.1).Условие 2 названо условием энтропии в связи с тем, что оно характеризует необратимость природных процессов, описываемых задачей Коши(1.1).Физическое“ обоснование уловия допустимости разрыва (1.9) следу”ющее: из этого неравенства следует, что в случае F ≫0 в любой точкеx0 = x(t0 ) линии разрыва имеет место неравенствоF ′ (uR ) <F (uR ) − F (uL )< F ′ (uL ),uR − uLи, в силу условия Рэнкина-Гюгонио (1.4) получаем, чтоF ′ (uR ) < ẋ(t) < F ′ (uL ),т.е.
с ростом t характеристики подходят к линии разрыва, а не отходят от нее. Тем самым, если условие (1.9) выполнено, то линия разрывавозникает естественно, а не является навязанной“.”4.1.5Обобщенное решение по Кружкову.Предположим, что F ′′ (u) ≥ 0, F ∈ C 3 , g ∈ C 2 .
Пусть гладкое решениезадачи (1.1) существует в полосе ΠT = [0, T ) × R. Продифференцируем(1.1) по x и положим p = ux (t, x). Тогда0 = pt + F ′ (u)px + F ′′ (u)p2x ≥ pt + F ′ (u)px .Вдоль любой характеристике x(t), удовлетворяющей уравнениюẋ = F ′ (u(t, x(t))), из этого неравенства получаем0 ≥ pt + ẋpx =79dp,dtт.е. функция p(t, x) не возрастает вдоль характеристик. Следовательно,для любой точки (t, x) ∈ ΠT верно неравенство p(t, x) ≤ sup g ′ (x) = K0 .RПереписывая это неравенство с помощью теоремы о среднем, для любыхt ∈ [0, T ), x1 , x2 ∈ R получаемu(t, x2 ) − u(t, x1 )≤ K0 .x2 − x1(1.10)Условие Рэнкина-Гюгонио и условие энтропии имеют смысл только длякусочно-гладких функций u(t, x) – иначе неясно, что такое односторонние пределы и линия разрыва.
Однако, неравенство (1.10) имеет смысли при t ≥ T , т.е. для разрывных функций. Перепишем (1.10) в видеu(t, x2 ) ≤ K0 (x2 − x1 ) + u(t, x1 ). Пусть x(t) – кривая разрыва, x0 = x(t0 ),x2 → x0 + 0, x1 → x0 − 0. Тогда, согласно введенным ранее обозначениям,u(t0 , x2 ) → uR , u(t0 , x1 ) → uL , и при uR ̸= uL получаемuL > uRРавенство (1.2) имеет смысл для гораздо более широкого класса функций. Обобщение понятия энтропийного решения (т.е. интегрального решения, удовлетворяющего условию энтропии 2) введено Кружковым:Определение. Ограниченная измеримая в полосе ΠT = [0, T ) × Rфункция u(t, x) называется обобщенным энтропийным решением по Кружкову задачи (1.1), если:1. Для любого вещественного k и для любой пробной функции ϕ(t, x) ∈C0∞ (ΠT ) такой, что ϕ(t, x) ≥ 0 верно∫(|u(t, x) − k|ϕt + sign(u(t, x) − k)(F (u(t, x)) − F (k))ϕx ) dxdt ≥ 0ΠT(1.11)2.
Для любых a, b ∈ R таких, что a < b верно∫b|u(t, x) − g(x)|dx = 0.limt→0+0(1.12)aТеорема 22 Обобщенное энтропийное решение по Кружкову задачи (1.1)существует и единственно для всех начальных функций g(x) ∈ L∞ (R).80Теорема 23 Обобщенное энтропийное решение по Кружкову задачи (1.1)является интегральным решением задачи (1.1).Доказательство.Пусть сначала k > sup u(t, x). Т.к. kt + (F (k))x = 0,ΠTто для любой пробной функции ϕ(t, x) ∈ C0∞ (ΠT ), ϕ(t, x) ≥ 0, ϕ(0, x) = 0верно∫(kϕt + F (k)ϕx )dxdt = 0.ΠTОтсюда и из (1.11) имеем∫((k − u)ϕt + (F (k) − F (u))ϕx )dxdt ≥ 0,ΠTоткуда∫(uϕt + F (u)ϕx )dxdt ≤ 0.ΠTАналогично, выбирая k < inf u(t, x), получаем∫ΠT(uϕt + F (u)ϕx )dxdt ≥ 0.ΠTОтсюда для всех пробных функций ϕ(t, x) ∈ C0∞ (ΠT ), ϕ(t, x) ≥ 0, ϕ(0, x) =0 имеем∫(uϕt + F (u)ϕx )dxdt = 0.(1.13)ΠTЗаметим, что для любой функции ϕ ∈ C0∞ (ΠT ) найдутся функции ϕ1 , ϕ2 ∈C0∞ (ΠT ) такие, что ϕj ≥ 0 и ϕ(t, x) = ϕ1 (t, x)−ϕ2 (t, x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
