Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следовательно, L – характеристика.Теорема доказана.Теорема 8 Если v(x, z) – первый интеграл (1.8) в D, в точке M вы(M ) ̸= 0, то равенство v(x, z) = cполнены равенства v(M ) = c, ∂v∂zопределяет в окрестности точки M неявную функцию z = f (x), удовлетворяющую уравнению (1.7).28Доказательство.Так как v – первый интеграл, то∂v ∑∂v∂v+aj (x, z)=0+ b(x, z)∂t j=1∂xj∂zn(1.10)Для неявной функции z(x) в окрестности точки M имеем∂v∂zi= − ∂x,∂v∂xi∂z, получаем, так какоткуда, разделив (1.10) на − ∂v∂zz(x) удовлетворяет уравнению (1.7).Теорема доказана.∂v∂t= 0, что функцияТеорема 9 Пусть v1 (x, z), . . . , vn (x, z) – функционально независимые первые интегралы системы (1.8).
Функция z(x) – решение уравнения (1.7)в окрестности точки M своего графика тогда и только тогда, когдаона удовлетворяет равенству(1.11)F (v1 (x, z), . . . , vn (x, z)) = 0для некоторой функции F ∈ C 1 такой, что F (M ) = 0,∂F(M )∂z̸= 0.Доказательство. Функция F (v1 , . . . , vn ) является первым интеграломсистемы (1.8). При ∂F(M ) ̸= 0 равенство (1.11) определяет вблизи точки∂zM неявную функцию z(x), удовлетворяющую (1.7) по теореме 8. Покажем, что для любой функции z(x) – решения (1.7) – найдется F ∈ C 1такая, что выполнено (1.11).
Без ограничения общности можно считать,что a1 (M ) ̸= 0, тогда вблизи точки M характеристики уравнения (1.7)удовлетворяют системеai (x, z) dzb(x, z)dxi==,.dx1a1 (x, z) dx1a1 (x, z)(1.12)Пусть z = f (x) ∈ C 1 – решение (1.7), проходящее через точку M =(x0 , z0 ). Тогда решение (1.12) с начальными условиями xi (x01 ) = ci , z(x01 ) =f (x01 , c) + q обозначимxi = ϕi (x1 , c, q), z = ϕn+1 (x1 , c, q).29(1.13)При x1 = x01 , ci = x0i , q = 0 получаем точку M . В этой точке якобиан(det∂ϕi∂(c, q))=1в силу начальных условий.
Значит, по теореме о неявной функции систему (1.13) можно разрешить относительно c, q: ci = wi (x, z), q = wn+1 (x, z).Аналогично доказательству теоремы 1 можно доказать, что wi (x, z) –первые интегралы системы (1.12). При этом поверхность z = f (x) совпадает с поверхностью wn+1 (x, z) = 0, так как обе они состоят из характеристик – решений системы (1.12) с начальными условиями c; q = 0.По теореме 3 найдется функция F ∈ C 1 такая, что wn+1 = F (v1 , . .
. , vn ),где vi – функционально независимые первые интегралы системы (1.12)(они совпадают с первымиинтегралами системы (1.8) согласно лемме 1).∂wn+1 Покажем, что ∂z ̸= 0. В этой точке, в силу начальных условий,(x,z)=M∂wn+1 00имеем wn+1 (x , z) = q = z − f (x ), откуда ∂z = 1 ̸= 0.(x,z)=MТеорема доказана.Замечание 2 Если z входит только в один из первых интегралов системы (1.8), то вместо (1.11) для нахождения z(x) можно использовать уравнениеvn (x, z) = H(v1 (x), . . . , vn−1 (x)),где h ∈ C 1 – произвольная функция.Упражнения. 1.
Провести подробное доказательство леммы 1.2. Доказать, что функции wi (x, z) из доказательства теоремы 9 – первыеинтегралы системы (1.12).Литература:А.Ф.Филиппов, Введение в теорию дифференциальных уравнений“, §26”Конспекты лекций по математическим методам физики, “под редакци”ей В.В. Белова и С.Ю. Доброхотова, Институт им. Курчатова(2007),§1303.23.2.1Задача Коши для квазилинейных УрЧП.Теорема существования и единственности решения.Для простоты формулировок будем рассматривать случай двух независимых переменных.Определение. Задачей Коши называется задача о нахождении поверхности z = f (x, y), удовлетворяющей уравнениюa1 (x, y, z)∂z∂z+ a2 (x, y, z)= b(x, y, z)∂x∂y(2.14)и проходящей через линию L, заданную параметрически:x = ϕ1 (s), y = ϕ2 (s), z = ϕ3 (s).(2.15)При этом предполагается, что aj ∈ C 1 , b ∈ C 1 , ϕj ∈ C 1 , для функций ajвыполнено условие (1.2).Идея построения решения задачи Коши (2.14)-(2.15) заключается втом, чтобы провести характеристику через каждую из точек кривой L.Если из этих характеристик удастся составить поверхность z = f (x, y) ∈C 1 , то согласно теореме 7 эта поверхность – искомая.Теорема 10 Пусть на дуге L1 линии L, заданной двойным неравенством s1 ≤ s ≤ s2 , выполнено условие нехарактеристичности()a1 (ϕ1 (s), ϕ2 (s), ϕ3 (s)) ϕ′1 (s)det̸= 0.(2.16)a2 (ϕ1 (s), ϕ2 (s), ϕ3 (s)) ϕ′2 (s)Тогда в некоторой окрестности любой точки дуги L1 существует единственное решение задачи Коши (2.14)-(2.15).Доказательство.
Так как ai ∈ C 1 , b ∈ C 1 , a21 + a22 ̸= 0, то через любуюточку (ϕ1 (s), ϕ2 (s), ϕ3 (s)) дуги L1 проходит единственная характеристика, задаваемая уравнениямиx = ψ1 (t, s), y = ψ2 (t, s), z = ψ3 (t, s).(2.17)Функции (2.17) удовлетворяют системе (1.8) с начальными условиямиψj (0, s) = ϕj (s). Тем самым, формулы (2.17) задают искомую поверхность z = f (x, y) параметрически. Далее, функции ψj ∈ C 1 по теореме31о дифференцируемости решения по параметру (теорема 83).
Кроме того, уравнения (2.17) имеют место в каждой из точек дуги L1 , причем∂ψ∂x= a1 , ∂y= a2 , и из начальных условий ∂sj = ϕ′j (s). Поэтому якобиан∂t∂t( ∂ψ1 ∂ψ1 )()a1 ϕ′1 ∂t∂sdet ∂ψ2 ∂ψ2 = det̸= 0a2 ϕ′2 L1∂t∂sL1в силу (2.16). Значит, в окрестности любой точки дуги L1 первые двауравнения системы (2.17) можно разрешить относительно t, s и получить t = t(x, y), s = s(x, y) ∈ C 1 .
Подставляя эти выражения в третьеуравнение (2.17), получаем z = ψ3 (t(x, y), s(x, y)) ∈ C 1 . Существованиедоказано.Единственность следует из того, что по теореме 7 любое решение – поверхность, составленная из характеристик, т.е. в параметрическом видеудовлетворяет системе (2.17); вблизи дуги L1 функции t(x, y) и s(x, y)определяются из этой системы единственным образом, а значит, z(x, y)– тоже.Теорема доказана.3.2.2Алгоритмы интегрирования задачи Коши длялинейного и квазилинейного УрЧП.Важным является тот факт, что доказательство теоремы 10 являетсяконструктивным, т.е.
позволяет построить решение задачи Коши (2.14)(2.15). Тем самым, мы получили следующий алгоритм.Алгоритм интегрирования задачи Коши для квазилинейногоУрЧП с двумя переменными (А1):1. Выписать систему характеристик и начальные данные для нее: ẋ = a1 (x, y, u), x|t=0 = ϕ1 (s),ẏ = a2 (x, y, u), y|t=0 = ϕ2 (s), s ∈ [s1 , s2 ](2.18)u̇ = b(x, y, u), u|t=0 = ϕ3 (s),При этом параметры s1 и s2 пока произвольны.2. Решить систему (2.18), т.е. найтиx = ψ1 (t, s), y = ψ2 (t, s), u = ψ3 (t, s).3. Проверить условие разрешимости (2.16), получив тем самым областьразрешимости [s1 , s2 ].324. Выразить (t, s) через (x, y):t = T (x, y), s = S(x, y).5. Подставить u(x, y) = ψ3 (T (x, y), S(x, y)).Рассмотрим теперь линейное УрЧП с двумя переменными:a1 (x, y)ux + a2 (x, y)uy + b(x, y)u = f (x, y).(2.19)Это уравнение является частным случаем квазилинейного УрЧП (2.14),и, модифицируя алгоритм А1 для того, чтобы решить задачу Коши(2.19),(2.15), получаем следующий алгоритм.Алгоритм интегрирования задачи Коши для линейного УрЧП с двумя переменными (А2):1.
Выписать систему характеристик и начальные данные для нее:{ẋ = a1 (x, y), x|t=0 = ϕ1 (s),s ∈ [s1 , s2 ]ẏ = a2 (x, y), y|t=0 = ϕ2 (s),Эта система является автономной системой первого порядка из двухуравнений, она допускает понижение порядка (переход к y(x)). Найтирешение этой системы x = ψ1 (t, s), y = ψ2 (t, s). При этом параметры s1и s2 пока не определены.2.
Записать уравнение характеристик для u:u̇ = f (ψ1 (t, s), ψ2 (t, s)) − b(ψ1 (t, s), ψ2 (t, s))u, u|t=0 = ϕ3 (s),и решить его, получив u = ψ3 (t, s).3. Проверить условие разрешимости (2.16), получив тем самым областьразрешимости [s1 , s2 ].4. Выразить (t, s) через (x, y):t = T (x, y), s = S(x, y).5. Подставить u(x, y) = ψ3 (T (x, y), S(x, y)).3.2.3Обобщение алгоритма А2 на случай произвольной размерности. Интегрирование уравненийнеразрывности и переноса.Теорема 11 Пусть γ – гладкая гиперповерхность в Rn , u0 (x) – гладкая функция на γ, aj (x), b(x), f (x) ∈ C 1 (D), γ ∈ D ⊆ Rn , векторное поле33a(x) ̸= 0 во всех точках x ∈ D.
Пусть также γ задана параметрическив виде γ = {X 0 (ξ), ξ ∈ Rn−1 }, и выполнено условие нехарактеристичности()∂X 00det; a(X (ξ)) ̸= 0.∂ξ jТогда решение задачи< a(x), ∇x u > +b(x)u = f (x), u|γ = u0 (x)существует, единственно в некоторой окрестности гиперповерхностиγ и находится по алгоритму А2, в котором первый шаг надо заменитьна:1. Выписать ẋ = a(x), x(0) = X 0 (ξ) и решить эту систему, получивX = ψ(t, ξ).Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 10.Применим обобщенный алгоритм А2 к задаче Коши для уравнениянеразрывности. Уравнение неразрывности – уравнение на плотностьϱ(x, t) идеальной сжимаемой жидкости, текущей с заданным полем скоростей v(x, t) ∈ C 1 (R4 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
