Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Следующее приближение приводит к линейному уравнению первого порядка для определения амплитудыколебаний – уравнению переноса.Одним из основных достижений математического анализа XIX векасостоит в том, что решение уравнения с частными производными (УрЧП) первого порядка можно свести к решению соответствующей этомууравнению характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. С физической точки зрения этотфакт есть проявление двойственности при описании волновых процессов: поведение физической системы можно описывать как при помощиволновых фронтов (решений УрЧП) так и при помощи описания траекторий частиц в конфигурационном пространстве системы (решенийхарактеристической системы ОДУ).
Траектории частиц могут с течением времени пересекаться, касаться друг друга, собираться в одну точку,образуя множества в конфигурационном пространстве, которые, следуятерминологии геометрической оптики, называют фокальными точкамиили каустиками (точками поворота в квантовой механике). Оказывается,что при возникновении такого рода особенностей решения соответствующих УрЧП теряют гладкость, у них появляются разрывы для самойфункции или ее производных.
Этот эффект принято называть катастро10фами для решений. Задачи, в которых происходят катастрофы решенийсоответствующих УрЧП, возникают при анализе распространения ударных волн в механике сплошной среды, в частности, в моделях газовойдинамики и магнитной гидродинамики; при описании распространения ифокусировки радиоимпульсов в диспергирующих средах; при описаниираспространения коротких радиоволн в ионосфере Земли; при изучениидифракции на проводящих телах; а также при анализе распространениялазерного электромагнитного излучения в лабораторной плазме.В связи со сказанным выше, естественным образом построен курспервого семестра.
Во второй главе вводится понятие первого интеграла и обсуждаются те разделы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений, которые будут активно использоваться в дальнейшем изложении.Темы, посвященные методам исследования обыкновенных дифференциальных уравнений ( решения дифференциальных уравнений, зависящих от параметра) отнесены в главу 10. В случае, если эти разделы ужехорошо знакомы, их можно опустить.Третья глава посвящена классическим решениям уравнений с частными производными первого порядка.
С точки зрения структуры третья глава разбита на пять разделов. Раздел 3.1 посвящен связи междулинейным (квазилинейным) УрЧП первого порядка и соответствующейему системой характеристических ОДУ.Основная задача раздела 3.2 — дать в виде алгоритмов методы решения задачи Коши для линейных и квазилинейных УрЧП. Кроме того,в конце этого раздела приводится два примера применения описанныхалгоритмов к задачам, имеющим физическую природу – интегрированиеуравнений неразрывности и переноса. Выбор именно этих уравнений вкачестве примеров не случаен и связан с необходимостью интегрироватьуравнение переноса при построении коротковолновой асимптотики дляуравнения Шредингера и волнового уравнения.Раздел 3.3 посвящен изучению метода характеристик для интегрирования задачи Коши, соответствующей нелинейному УрЧП первого порядка.
В последнем пункте третьей темы также приводится пример задачи Коши для нелинейного УрЧП первого порядка, где возникает катастрофа решения. Этот пример в дальнейшем используется в курсекак мотивационный пример для введения понятия обобщенного решения уравнения с частными производными первого порядка.Раздел 3.4 посвящен изучению классических решений задачи Ко11ши для уравнения Гамильтона-Якоби. Обсуждаются алгоритмы интегрирования задачи Коши для стационарного и нестационарного уравнений; связь системы ОДУ Гамильтона с вариационным исчислением; преобразование Лежандра; геометрическая интерпретация решения задачиКоши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. В последнемпункте на эвристическом уровне излагается связь между геометрическойоптикой и лагранжевой механикой, а также доказывается принцип Гюйгенса и устанавливается связь между траекториями частиц в фазовомпространстве системы и волновыми фронтами.Раздел 3.5 содержит описание и некоторые примеры применения метода коротковолновых асимптотик.
Оказывается, что при определенныхусловиях на параметры волнового процесса и параметры среды в первомприближении, которое называют коротковолновым, фаза асимптотикиволнового поля – функция S(t, x) – удовлетворяет уравнению ГамильтонаЯкоби для волновых фронтов, а следующее приближение приводит кУрЧП первого порядка для определения амплитуды колебаний ϕ(t, x).В качестве иллюстрации метода производится построение коротковолновых асимптотик для уравнения Шредингера и волнового уравнения.Предполагается, что после изучения этого раздела студенты получаютзадания для курсовой работы первого семестра.Четвертая глава посвящена понятию обобщенных решений УрЧПи связанному с ним понятию обобщенных функций. Основная цель этойглавы – дать описание математического аппарата обобщенных решений,обобщенных функций и пространств Соболева, который будет активноиспользоваться в дальнейшем курсе.
Как было показано в примере вконце раздела 3.3, для закона сохранения даже для сколь угодно гладких данных Коши может произойти катастрофа решения, т.е. решениепотеряет гладкость в некоторый момент времени. Отсюда естественнымобразом возникает понятие обобщенного решения. Далее в этой теме вводится понятие ударной волны и доказывается условие Рэнкина-Гюгонио;строятся примеры неединственности интегрального решения; обсуждаются дополнительные условия, которые следует наложить на решениедля того, чтобы оно стало единственным.В четвертой главе раздел 4.2 – одна из самых технически сложныхв курсе и одновременно с этим самая важная для последующих глав. Вэтой теме вводятся понятия пробной и обобщенной функций. Обсуждаются понятия носителя и носителя сингулярности обобщенной функции,сходимость и дифференцирование обобщенных функций, а также сверт12ка обобщенной и пробной функций.
Тут же разбирается преобразованиеФурье обобщенных функций умеренного роста и пространства Соболева. Стоит отметить особую важность этой темы для изучения материаласледующей главы. Разделы 4.3 и 4.4 содержат полезные неравенства итеоремы, на которые часто приходится ссылаться в доказательствах теорем типа "существования и единственности"для УрЧП.В разделе 4.6 описывается метод построения коротковолновой асимптотики функции Грина задачи Коши для одномерного уравнения Шредингера при наличии каустики. Задача этой главы Посмотреть, что бу”дет за фокальной точкой “? Вначале на модельном уравнении (уравнение Шредингера с гармоническим осциллятором) показывается, какимобразом можно построить коротковолновую асимптотику для функцииГрина, и каким образом можно осуществить переход через фокальнуюточку с помощью h−преобразования Фурье. Затем (в последнем параграфе этой главы) описывается метод канонического оператора Масловадля одномерного уравнения Шредингера с потенциалом U (x) из некоторого специального класса.В пятой главе приведены примеры курсовой работы первого семестра – построение коротковолновых асимптотик для уравнения Шредингера и волнового уравнения.1.2Обзор курса второго семестра.Уравнения математической физики позволяют строить адекватные модели для огромного количества разнообразных по своей природе физических и химических процессов, которые мы можем наблюдать непосредственно или с помощью приборов.
Среди таких процессов стоит упомянуть колебания струн и мембран, распространение звуковых и электромагнитных волн, электростатические и электродинамические явления,процессы диффузии и передачи тепла. В связи с таким разнообразиемописываемых уравнениями математической физики процессов нет никакой возможности изложить эту область математики во всей полнотев одной книге. Как следствие, при составлении курса второго семестрабыл выбран ставший уже традиционным подход – показать читателюнесколько типичных методов и задач математической физики.Шестая глава посвящена трем наиболее распространенным в приложениях линейным уравнениям с частными производными второго по13рядка – волновому уравнению (первая тема), уравнению Лапласа (вторая тема) и уравнению теплопроводности (третья тема).
Стоит отметить,что в первой из тем этой главы, в отличие от традиционного изложения,формула Кирхгофа для решения задачи Коши для волнового уравнения получается конструктивно – как следствие из уравнения ЭйлераПуассона-Дарбу. При изложении второго и третьего разделов этой главыактивно используется введенный в четвертой главе аппарат обобщенныхфункций и понятие фундаментального решения.Седьмая глава посвящена системе уравнений Максвелла. В явномвиде выводятся законы сохранения (уравнение неразрывности и законсохранения энергии); обсуждается калибровочная инвариантность системы уравнений Максвелла и вводится калибровка Лоренца.
В последнемпараграфе этой главы строится в явном виде фундаментальное решение для волнового уравнения в размерностях 1, 2 и 3, вводится понятиезапаздывающего потенциала и доказывается его единственность.Восьмая глава завершает курс лекций и посвящена введению в теорию полугрупп. В первых двух параграфах этой главы вводятся основные понятия теории полугрупп и доказываются утверждения о свойствахрезольвенты генератора сжимающей полугруппы. Третий параграф посвящен теореме Хилле-Иосиды.
В четвертом параграфе показывается,как с помощью теории полугрупп получить существование решения дляпараболического уравнения, и что можно сказать о гладкости этого решения. Это другой подход, отличный от классического 6 главы, для исследования эволюционных уравнений.В девятой главе приведены примеры курсовой работы второго семестра – построение решений задачи Коши для системы Максвелла.Глава 10–вспомогательная, в нее отнесены дополнительные главы- первые две темы второй главы, посвященные методам исследованияобыкновенных дифференциальных( решения дифференциальных уравнений, зависящих от параметра) и метод стационарной фазы.1.3Один пример.Как мы отмечали выше, одним из основных достижений математического анализа XIX века состоит в том, что решение уравнения с частными производными первого порядка можно свести к решению соответствующей этому уравнению характеристической системы обыкновенных14дифференциальных уравнений первого порядка.
Поэтому, естественнов начале курса первые темы посвятить разделам теории обыкновенныхдифференциальных уравнений, которые будут активно использоватьсяв дальнейшем изложении.Но начнем с простого примера: одномерных частиц, движущихся безстолкновений(сильно разряженный газ) по прямой R1 в отсутствии внешних сил. В силу уравнения Ньютона в отсутствии внешних сил ускорение(3.1)ẍ(t; x0 ) = 0,вдоль траектории отдельной частицы x(t; x0 ), стартующей в начальныймомент времени t = 0 из точки x = x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
