Лекционный курс по ММФ (1125179), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вопрос-каким в этом случаеможет быть распределение скоростей?Пусть гладкая функция v(x, t), x ∈ R1 , t ≥ 0, − распределение скоростей частиц в момент времени t. Тогда траектория частицы подчиняетсяуравнениюẋ(t; x0 ) = v(x(t; x0 ), t), t > 0,x|t=0 = x0 ∈ R1 ,(3.2)В силу уравнения Ньютонаẍ(t; x0 ) = ∂t v(x(t; x0 ), t) + ẋ(t; x0 ) ∂x v(x(t; x0 ), t) = 0, t > 0.Отсюда, из (3.2) получим уравнение с частными производными первогопорядка для скорости :∂t v(x, t) + v(x, t) ∂x v(x, t) = 0,2(x, t) ∈ R+= {(x, t), x ∈ R1 , t > 0},(3.3)с заданным начальным распределение скорости v0 (x):v(x, t)|t=0 = v(x0 , 0) = v0 (x)Теперь посмотрим, всегда ли эта задача имеет гладкое (классическое)2), непрерывное вплоть до значения t = 0.
По аналогиирешения v ∈ C 1 (R+с обыкновенными уравнениями такая задача называется задачей Кошидля уравнения (3.3) (уравнения Хопфа).Рассмотрим два начальных распределения v0 = arctg(x) и v0 = − arctg(x).Для построения решения применим так называемый метод характеристик. В чем он состоит?151. Из уравнения (3.3) следует, что скорость v(x, t) постоянна вдольтраектории (характеристики) частицы:v(x(t; x0 ), t) = v0 (x0 ) ⇔ x(t; x0 )|t=0 = x0 ,(3.4)(характеристики уравнения (3.3)).
Тогда из (3.2) следует чтоx(t; x0 ) = x0 + v0 (x0 ) t.(3.5)22. Теперь рассмотрим любую точку (x, t) ∈ R+. Если через эту точкупроходит какая то траектория, т.е. для некоторого x0 имеем x = x(t, x0 ),то в этой точке v(x, t) = v0 (x0 ). Таким образом, во всех достижимыхточках (x, t) мы однозначно определяем значение скорости v(x, t), еслив эту точку приходит только одна траектория, т.е. когда x0 = x0 (x, t)однозначно определяется по точке (x, t). Множество таких точек будемназывать областью определения гладкого решение Os (v0 ) с заданнымначальным условием v0 .
Очевидно, что в этой области уравнениеx − x0 + v0 (x0 ) t = 0(3.6)определяет диффеоморфизм x0 (x, t) : Os (v0 ) → R1 , если выполненоусловие()∂x= ∂x0 x0 + v0 (x0 ) t = 1 + t ∂x0 v0 (x0 ) > 0,(3.7)∂ x0()(поскольку ∂x0 x0 + v0 (x0 ) t |t=0 = 1 > 0), тогда по теореме о неявнойфункции однозначно определяется решение x0 (x, t) уравнения (3.6). Отсюда следует, что гладкое решениеv(x, t) = v0 (x0 (x, t)),(x, t) ∈ Os (v0 )Для первого начального распределения v0 = arctg(x) имеем ∂x v0 =1/(1 + x2 ) > 0, ∀x ∈ R1 , следовательно характеристики не пересекаются2, тогда решениево всей верхней полуплоскости R+2.v(x, t) = arctg(x0 (x, t)) ∀ (x, t) ∈ Os+ = R+Для второго начального распределения v0 = − arctg(x) все характеристики, стартующие из точек отрезка −1 ≤ x ≤ 1, пересекаются в16фокальной точке Φ = {x = 0, t = 1}.
Неравенство (3.7) справедливо еслиt < 1 + x2 , т.е. в этом случае Os− = {(x, t); t < 1 + x2 } и решениеv(x, t) = − arctg(x0 (x, t)) ∀ (x, t) ∈ Os− .Таким образом, задача Коши имеет единственное классическое решение в полосе R12 = {(x, t), x ∈ R1 , t ∈ (0, 1)}, до появления фокальнойточки.
В полосе же RT2 = {(x, t), x ∈ R1 , t ∈ (0, T )}, T > 1, классическогорешения не существует.Теперь отметим, что слева и справа точки покое x = 0 скорость возрастает и убывает вверх и вниз по профилю скорости y = v(x, t) соответственно. Тем самым точки убыстряются в направлении точки покоясправа и слева от нее.
Со временем профиль скорости становится круче,стремясь к вертикали x = 0. Решение стремится к профилю разрывнойфункции y = −signx. Поэтому возникает естественный вопрос: что будетза фокальной точкой? Как в этом случае понимать решение?Какие выводы можно сделать из этого простейшего примера? Как мыуже упоминали выше: траектории частиц могут с течением времени пересекаться, собираться в одну точку, образуя множества в конфигурационном пространстве, в терминологии геометрической оптики–фокальныеточки или каустики. Приведенный пример иллюстрирует тот факт, чтопри возникновении такого рода особенностей решения соответствующихУрЧП теряют гладкость, у них появляются разрывы для самой функцииили ее производных, эффект катастрофы для решений.Мы выделили только часть из универсальных проблем теории уравненийс частными производными, предметом исследования которой, в общемслучае, являются физические модели описываемые системами нелинейных уравнений (одним нелинейным уравнением)≡Fj (∂xαLj (u1 , .
. . , uN ) ≡u1 , |α| ≤ m1 , . . . , ∂xα uN , |α| ≤ mN , x, t) = 0,(3.8)где j = 1, . . . , N, x ∈ Rn , ∂xα = ∂xα11 . . . ∂xαnn . Здесь mk называется порядкомсистемы относительно компоненты uk решения.Для однородных распределений u-однородных решений u = u(t), независящих от пространственных переменных x, система (3.8) становятся17системой обыкновенных уравнений(ОДУ)≡αFj ( dtd αLj (u1 , . . . , uN ) ≡u1 , |α| ≤ m1 , .
. . , ∂xα uN , |α| ≤ mN , x, t) = 0.На самом деле связь между уравнениями в частных производных физики (уравнениями с распределенными параметрами) и ОДУ не стольформальная, а намного более содержательная. Как мы покажем в дальнейшем, ОДУ описывают главную часть решений уравнений с распределенными параметрами. Впервые с этим утверждением мы столкнулись при исследовании гладких решений уравнения Хопфа, когда похарактеристикам-решениям ОДУ (3.4) мы восстанавливали решение уравнения (3.3) вплоть до появления фокальной точки. Поэтому для нас будет существенна теория ОДУ, дающая язык построения коротковолновых асимптотик для уравнений Шредингера, волнового уравнения и, вдальнейшем, для системы Максвелла.
В первых лекциях мы коснемсянекоторых тем теории обыкновенных дифференциальных уравнений Вслучае, если эти разделы хорошо знакомы, их можно опустить.18Глава 2Качественные свойства решенийОДУ.2.1Первые интегралы для ОДУ.Системой обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида называется системаdxi= fi (t, x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , n.(1.1)dtВ такой системе число уравнений равно числу искомых функций xi (t), i =1, . . . . В левой части каждого уравнения системы стоит производная первого первого порядка от искомых функций, в правых частях производных нет.
К таким системам сводятся дифференциальные уравнения n−порядкаy (n) = f (t, y, y ′ , . . . , y (n−1) ),многие более сложные системы и системы, возникающие в механике, физике и технике (см. А.Ф.Филиппов, Введение в теорию дифференциаль”ных уравнений“, §5, п. 3).Для исследования общих свойств такой системы удобно использоватьвекторные обозначенияx = (x1 , . . . , xn ), f = (f1 , . . . , fn ).Тогда система записывается в виде одного векторного уравненияdx= f (t, x).dt19Решение системы есть совокупность n функций x1 (t), . .
. , xn (t) определяемых на некотором интервале(или отрезке) и удовлетворяющих системе.График каждого решения есть линия в (n + 1)- мерном пространствес координатами t, x1 , . . . , xn . В каждой ее точке угловые коэффициентыкасательной к этой линии равны f1 (t, x1 , . . . , xn ), . . . , fn (t, x1 , . . . , xn ). Таким образом, система (1.1) определяет поле направлений(направленийс этими угловыми коэффициентами) в конфигурационном пространстве(t, x) или в той области этого пространства, где определены функцииf1 , . . . , fn , а решение системы изображается фазовой кривой векторного поля, которая в каждой точке касается направления, заданного вэтой точке.
Система имеет много решений. Поэтому для выделения единственного решения надо задавать помимо системы также начальные данные x(t0 ) = x0 . Задача отыскания решения данного уравнения или системы с такими начальными условиями называется начальной задачейили задачей Коши. Перейдем к исследованию свойств решений задачиКоши для таких систем и уравнений.2.1.1Первые интегралы и интегральные кривые.Рассмотрим систему ОДУẋ = f (t, x),(1.2)x : R → Rn , f : R × Rn → Rn , f ∈ C 1 .
Определение. Интегральнойкривой системы (1.2) называется график (t, x(t)) функции x(t) – решения (1.2).Определение. Первым интегралом системы (1.2) в области D называется функция v(t, x) ∈ C 1 , сохраняющая постоянное значение вдолькаждой проходящей в D интегральной кривой системы (1.2), то есть длялюбой кривой {(t, x(t))} ⊂ D найдется C такое, что v(t, x(t)) = C.Геометрический смысл первого интеграла описывается следующимутверждением.Утверждение 1 Пусть v(t, x) – первый интеграл системы (1.2), ∃i∂vтакое, что ∂x̸= 0, c – любое из значений, принимаемых в D функциейiv.
Тогда равенство v(t, x) = c определяет n-мерную поверхность в Rn+1 ,целиком состоящую из интегральных кривых системы (1.2).20Доказательство. Пусть P – точка на поверхности v(t, x) = c. Тогдаv(P ) = c. Проведем через P интегральную кривую {(t, x(t))}. По определению первого интеграла v(t, x(t)) = v(P ) = c, т.е. вся эта кривая лежитна той же поверхности. Утверждение доказано.Требование v(t, x(t)) = c можно переписать в виде уравнения в част= 0, откуданых производных: dv(t,x(t))dt∂v ∑ ∂v dxj+= 0,∂t j=1 ∂xj dtnи, использовав уравнение (1.2), получаем∂v ∑∂v+fj (t, x)= 0.∂t j=1∂xjn(1.3)∂v̸=Заметим также, что знание первого интеграла v(t, x), у которого ∂xi0, позволяет свести систему (1.2) к системе с меньшим числом неизвестных функций: для этого нужно разрешить равенство v(t, x) = 0 относительно xi и подставить полученное xi (t, x1 , .
. . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) в (1.2).2.1.2Множество первых интегралов и его свойства.Пусть v1 , . . . , vk – первые интегралы системы (1.2). Возьмем произвольную функцию ϕ : Rk → R, ϕ ∈ C 1 (Rk ). Нетрудно видеть, что функция ϕ(v1 (t, x), . . . , vk (t, x)) также является первым интегралом системы(1.2). Таким образом, множество первых интегралов бесконечно. Опишемструктуру этого множества.Определение. Первые интегралы v1 , . . . , vk называются функцио∂viнально независимыми в D, если в каждой точке D ранг матрицы ( ∂x)jравен k.Замечание 1 Из линейной зависимости следует функциональная, однако, обратное неверно: функции v1 = t − x и v2 = (t − x)2 линейнонезависимы, но функционально зависимы.Теорема 1 В окрестности любой точки M = (t0 , x01 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
