А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При а = О, СЗ = 1 получается задача Дирихле, при а = 1, Су = 0 — задача Неймана, при а ~ О, СЗ ф 0 — третья краевая задача. Классическим решением начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний на полуограниченной прямой называется функция и(х, С), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой области Йв — — Й+ х [О, оо), имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области П~, удовлетворяющая в Пв уравнению колебаний, начальным и граничному условиям.
Классическое решение начально-краевой задачи может существовать лишь при выполнении условий согласования начальных и граничных условий а~р'(0) + СУр(0) = р(0), атУ(0) + Слг(0) = и'(0). В силу линейности начально-краевой задачи можно провести ее редукцию и представить решение и(х, С) в виде суммы и = и~ + ию где и~ (х, С) — решение задачи с однородными граничными условиями и и~(х, С) — решение задачи для однородного уравнения с однородными начальными и неоднородными граничными условиями. Редукцию можно продолжить и представить функцию и~(х, С) в виде суммы двух функций — решений начально-краевых задач для однородного и неоднородного уравнений.
1. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничными условиями. При решении начально-краевых задач на полупрямой для уравнения колебаний с однородными граничными условиями используются различные методы: метод интегрального преобразования Фурье, 255 метод распространяющихся волн, метод продолжения и др. В следующем пункте, посвященном решению начально-краевых задач с неоднородными граничными условиями, рассматривается применение метода интегрального преобразования Фурье и метода распространяющихся волн. В настоящем пункте излагаются основные положения метода продолжения, весьма удобного и эффективного в случае однородных граничных условий. Для изложения основных положений метода продолжения нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Пусть функции )е(х), с)с(х) н 1(х, С) определены прн -со < < х< со, С > О, имеют ограниченные производные по х до ))с-го порядка а линейные комбинации Ф(х) = ~~',акср~ )(х) ср(х) = ~~с акс))1 )(х), о к=о г'(х,С) = с ак дку(х,С) к=о где ак = сопок, lс = 0,1,...,Ж,нечетные относительно точки х = О.
Тогда функция О(х, С) = )а(х + аС) + ср(х — аС) 2 + акаС С а+а(с-.) О а-а)с-с) а-«С удовлетворяет условию дки(х,С) дх к=о (4.2) да и(х, С) 1 с)к ,Ск дхк 2 ССхк = — 7 ак — )а(х + ас) + — У ак — )а(х — аС) + 2 а ССхк к=о к=о к с «Сс- ) ССкс)с(х+ О 1 Г /' ч дкУ(х+ (,т) дх" о -«Сс-т) (4.3) ас + —,' ~ -ас 266 Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию из производ- ных функции О(х, С), сделав в интегралах формулы (4.1) замену б на г, + х: Учтем,что С"с(с(х+ 6) с("Ф(х+ () д»Г(х+ (, г) д»Г(х+(, г) ссхк = ссб» дхк — д»» подставим эти выражения в последнюю формулу и заменим в инте- гралах с на б — х; д»и(х, С) 1 )ч ак ' = — ) ак — Ф(х+ аС) + — ~ ໠— с)с(х — ОС) + дхк 2 с(х» 2 с(х» К=О »=О »=О х+аС ~, С х+а(С-х) ) К=О К=О х-аС О х-а(С-с) Положив х = О, получим д»и(х, С) Ф(аС) + Ф( — аС) к-о =О С а(С-с) аС + — ! Ф(4) с(4 + — / с(г ~ Р((,г) с(4 О, (4.4) 1 Г 1 2а! 2а с -аС О -а(С-с) поскольку функции Ф(х), Ф(х) и г(х,С) по аргументу х являются нечетными.
° исс — — а~и + Г(х,С), 0<х< со, и(х, 0) = (О(х), ис(х, 0) = Ф(х), да и ас,— = О. дхк »=О х=е С>0, (4.5) Продолжим функции у(х), с(с(х) и Г(х, С) на отрицательную полуось х < 0 так, чтобы функции Ф(х) = ~~с а»Ф(»)(х), Ф(х) = ~ ~а»с(с(~)(х), К=О К=О г"(х,С) = ~~с ас, д~Дх, С) К=О (4.6) 257 Приведенная лемма позволяет сформулировать следующий метод решения начально-краевых задач для уравнения колебаний на полу- прямой в случае однородных граничных условий. Пусть необходимо решить следующую начально-краевую задачу: где ср(х), 1(с(х), 7(х, С) — продолжения соответственно функций 1р(х), с)с(х), 7'(х, С) на всю прямую х, были нечетными.
Покажем, что функция и(х, С) = асс(х+ аС) + ср(х — аС) 2 + х+ас с х+а(с-с) + — ' )" сссссс~ — '1'с. 1' ссс, ссс (4.7) е х-а(с-т) при х > 0 является решением задачи (4.5). В самом деле, функция и(х, С) удовлетворяет неоднородному уравнению колебаний на бесконечной прямой -со < х < со (см. з' 3) и, следовательно, на полупрямой х > О, поскольку С (х, С) = С (х, С) при х > О. Функция и(х,С) удовлетворяет начальным условиям задачи (4.5), поскольку 1а(х) = са(х), с))(х) = с)с(х) при х > О. И наконец, функция и(х, С) удовлетворяет граничному условию задачи (4.5) в силу леммы. Таким образом, и(х, С)— : 0(х, С), х > О.
Приведем примеры использования метода продолжения для решения начально-краевых задач. 1. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничным условием Дирихле исс — ази, х>0, С>0, и(х, 0) = 1р(х), ис(х, 0) = с))(х), и(0, С) = О. (4.8) у(х), х>0, ~ с((х), х>0, 1а( ) = С(х) = (4.0) -ссс(-х), х < О, ( -с)с(-х), х < О. ж Перепишем формулу (4.1) при 7(х, С) = 0: х+аС сса(х+ аС) + ф(х — аС) 1 2а (4.10) х-аС 2в8 Воспользуемся леммой.
Поскольку для граничного условия Дирихле коэффициенты в формуле (4.2) имеют вид ае = 1, аь = О, lс = 1,2,..., сСС, будем иметь Ф(х) = ссс(х), сх(х) = с)с(х), и, для того чтобы решение задачи (4.8) можно было бы представить в виде (4.1), функции ус(х) и ссс(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом: выразив функции Ф и ф через функции ~р и са соответственно по формулам (4.9). Если выполнены условия х + аС > х — аС > О, то Ф(х ж аС) = 1а(х х аС), ф(х ш аС) = Ф(х ж аС).
Если х — аС < О, то ф(х — аС) = — у(аС вЂ” х) и ф(х — аС) = — Ф(аС вЂ” х). Поэтому формула для решения задачи принимает вид х+аС ср(х+ аС) + 1а(х — аС) 1 / 2 2а / х-аС при 0 < С < —, х > О, — а' а+ ха ~р(х + аС) — 1р(аС вЂ” х) 1 + — ~ Ф(с)Сс 2 2а,/ и(х, С) = (4.11) аС-х х при — <С,х>0. Последнюю формулу можно переписать в более компактном виде: х+аС у(х+ аС) + ~р()аС вЂ” х)) вкп(х — аС) 1 с и(х, С)— + — ~' ФЫ)К, 2 2а,/ )х-ай С>О, х>О, где вйп(х) — сигнум-функция Кронекера, определяемая следующим образом: вйп(х) = 1, еслих>0, О, если х = О, — 1, солих<0.
2. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными граничным условием Неймана им = а~и„, х > О, С > О, (4.12) и(х, 0) = вх(х), ис(х, 0) = Ф(х), и (О, С) = О. 259 Снова воспользуемся леммой. Для граничного условия Неймана коэффициенты в формуле (4.2) равны ае = О, а1 — — 1, ав = О, й = 2, 3,...,сх'.
Поэтому согласно формуле (4.6) Ф(х) = ф'(х), Ф(х) = 4'(х), и, для того чтобы решение задачи (4.12) можно было бы представить в виде формулы Даламбера (4.10), функции р'(х) и Ф'(х) нужно продолжить на отрицательную полуось х < 0 нечетным образом. По- скольку производная четной функции есть функция нечетная, функ- ции у(х) и О'(х) следует продолжить на отрицательную полуось чет- ным образом: ) оо(х), х>0, ) ~(х), х>0, ~ 1о( — х), х < О, ~~ (~( — х), х < О.
Записывая решение задачи (4.12) в виде (4.10) и переходя от функций 1о и а(~ к функциям 1о и ~Р аналогично тому, как это было сделано в случае граничных условий Дирихле, получим ответ: «+«Ф ~р(х+ аС) + ~р(х — аС) 1 )о 2 2а,/ «-аФ при 0 < С < —, х > О, х — а' «+а1 аа-« 2 2а и(х,С) = о при — <С<со,х>0, х ив (4.13) который можно записать более компактно: и(х, С) = ~р(х + аС) + р((аС вЂ” х)) 2 + «+«Ф («-ай 1 ( +-( (а(еа~- к*-.о С' аюа), 2а (,/ о с>0, х>0. 3. Рассмотрим на полупрямой начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородным граничным условием третьего рода: им — а и > х>0, С>0, и(х, 0) = 1о(х), и1(х, 0) = 4'(х), и,(0, С) — аи(0, С) = О, а = сопоС. (4.14) гоо Применим доказанную лемму. Для задачя (4.14) получаем ао = -Са, а1 = 1, аа = О, /а = 2,3,...,Ф.
Следовательно, согласно формуле (4.6) Ф(х) = ф' — Ьср, Ф(х) = ссч — Иссс, где ф(х), с1с(х) — продолжение на отрицательную полуось функций сса(х) и ссс(х) соответственно. Согласно лемме функции са(х) и сИ(х) нужно продолжить так, чтобы функции Ф(х) и Ф(х) были нечетными. Тогда решение задачи (4.14) можно записать в виде формулы Даламбера (4.10): а+ а С сСс(х+ ас) + ус(х — а1) 1 / 2 2о,с а-аС Построим функции Ф(х) и с(с(х).
Очевидно, ф(х) = 1е(х), с(с(х) = сЬ(х) при х > О. Для определения функции ср(х) при х < 0 получим задачу Коши с5'(х) — Ьф(х) = У(х), х < О, сса(0) = 1е(0), (4.15) где правая часть уравнения имеет вид у(х) = -1а'(-х) + Иус(-х) Ф(х) = 1е( — х) + 2Ь ~ е"1' '11с( — х) с(х, х < О, е Таким образом, функция ср(х) имеет вид 1С'(х), х>0, ус( — х) + 2Ь / е~(~ '1~р(-х) Нх, х < О.
о ф(х) = Для определения функции Ф(х) на отрицательной полуоси получаем задачу Коши, аналогичную задаче (4.15): ссс'(х) — ьсЬ(х) = у(х), х < О, ССс(0) = сСс(0), где у(х) = — с(с'(-х) + иск(-х) (штрик обозначает производную по пол- ному аргументу). 261 (штрих есть производная по полному аргументу). Решение задачи (4.15) выписывается с помощью импульсной функции следующим образом: Следовательно, функция с(с(х) имеет вид Ф( '), с(с( — х) + 2Й е (' '1 Ц-х) ссх, о х>0, 6(х) хх х < О. с+аС ас-х о С + — ~ ( с)(з)Ив+ ~ с(с(з)Нз~+ — С е 'с(з ( е 'с(с( — х)с(х.
1 ( 2а( / ,/ ~ а,/ о о х-аС (4.16) Проинтегрируем последний интеграл в правой части формулы (4.16) по частям: о х а ас С еьа с(з е «'с)с(-х) Нх = — — е»' ссв е «'ссс( — х) ссх а,/ а,/ х-аС о о о х-аС с — е 'с)с( — х) с(х с(е ' = о о х-ас х-аС Ь х-ас -Лс 1 с" = — -е (х "1 / е 'ц — х)Их+ — ! с(с(-в)с(в= а а о о х-аС аС-х Ь х-ас / -Ьс = — -е (х а с е 'с(с( — х) с1х — — с)с(в) ссв. а СС У о о (4.17) х Подставляя (4.17) в (4.16), получим при х > О, — < С < оо следующее выражение для решения; а+ а с ьс(х+ а1) + ср(х — а1) 1 / и(х,х) = 2 + — а ~ ссс(з) Ив+ Ф( )1 ас-х х-аС х-ас + )се~1х- с) ~ е-ь ус( — х) с1х — — еь1х-ас1 / е-Ь с(с( 1 а Подставим выражения для со(х) и сссс(х) в формулу (4.10).
В результате будем иметь при х > О, — < с < оо: а х-ас и(х с) = + ссе (~ '1 е *ссс( — х) ах+ 2 о Таким образом, решение задачи (4.14) имеет следующий вид: х+аС (сс(х+ а() + (о(х — аС) 1 / 2 2а ! х при 0 < С < —, х > О, а+аС )о(х+ С)+(о( С вЂ” х) 1 Г 2 2а и(х, С) = аС-х х-ас х-ас -';"*" "' ) 'т(-Ос* — -*"' '" ) "С(-*)с. 1 а О приС> —,х>0. (4.18) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
