А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 39
Текст из файла (страница 39)
а, .~а) о (4.13) Нх = ~ — ) — К„„,(бу) "=(Г'''-- /„(Ьх)х"+г / Ь г" ~ у (хг + уг)и '1 2у) Р(д) о (4.14) Отсюда при и = О, д = — получаем з Уо(бх)хая е оо ( .г 4 уг)з1г о А при и = О, у = г из (4.14) находим х.Уо(бх) Нх е /хг1уг У о 4. Остановимся также на двух неопределенных интегралах, содержащих функции Бесселя, которые часто встречаются при решении различных задач. Интеграл ) х'+'/,(х) Нх вычисляется путем использования фор- мулы — (х о'„(х)) = х".7„г(х).
~Ь ззт Формула (4.13) является обобшением (4.1). Если в (4.9) перейти к пределу при а -+ 0 и учесть поведение функции К„(г) при г -+ О, то найдем Отсюда сразу получаем х"+',7„(х) с(х = х"+,7 41(х). / "'. Рассмотрим второй интеграл х + ,У,(х))1х. Для вычисления этого интеграла используем рекуррентную формулу У.(х) = У+1(х)+2Уч+ (х) Получим *"+'.Г(*) с* = У *"+' ( 2„, (*) 2 22„', (*) ) с* = = х'+3.7 +з(х) + 2х +~,7„+1(х) — 2(и + 3) ~ х'+~,7„+1(х)с(х = = х"+~,7 +з(х) + 2х"+~ч"„+1(х) — 2(и + 3)х~~~/ч+г(х) Если воспользоваться другой рекуррентной формулой 2ч Уч+1(х) = — Х (х) — У 1(х) и выРазить |„+з(х) и,У„+г(х) чеРез,А,+1(х) и У„(х), полУчим х +зУ (х)с(х 2х +г 7 (х)+х +зУ+1(х) 4(и+1)х"+17„+1(х). Аналогичным образом можно вычислять и другие интегралы вида ] х"+1" +1,У„(х) с(х при целом 72. 1 Ь.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1. Формулы векторного анализа 1. йч(иа) = ийч а+ айгас1 и. 2. 8гас((ии) = ийгас(и+ ийгас)и. 3. гоС(иа) = игоСа+ [йгас1и,а]. 4. йч[а,Ь] = ЬгоСа — агоСЪ. 5. гоС[а,Ь] = (Ь, 27)а — (а,))7)Ь+айчЬ вЂ” Ьсйча. 6. 8гас((а, Ь) = (Ь, "ч)а+ (а,'2г)Ь+ [Ь, гоСа]+ [а, гоСЪ]. 7. гоСгоСа = йгас)йча — 173а. 8. гоС йгас) и = О.
9. йчгоСа= О. 338 1 ( д д д 2. ь(1» а = ~ — (аьЬгьз) + — (агЬзЬь) + — (азЬььг) Ьььгьз 1, дхь дхг дхз 1 ( д д 3. гоФ а = — ь( — (азьз) — — (агьг) еь + Ьгьз ( дхг дхз ( д д + — Ф вЂ” (аьЬь) — — (азьз) ег+ Ьзьь (дхз дхь 1 ( д д -1. — ~ — (агЬг) — — (аьЬь) ез Ьььг ~ дхь дхг 1 ( д /Ьгьз ди 'Ф 4. ьзи = ь(1ч ига»(и = Ььь»Ьз (дхь ~, Ьь дхь,/ Ььеь д дхь Ььаь Ьгег Ьзез д д 1 5. гоФа = Ьььгьз дх2 дХЗ Ьгаг Ьзаз Частные случаи 1. Декартовы прямоугольные координаты (х, у, ») ь =ь =ь ди ди — е„+ — е„ ду" д»*' дай да, + —, ду д» ' ди йгаь(и = — е + дх да« Йча = — + дх е д дх О« ез е, д д ду д» аз а, тоФа = дги дги дги ьзи = — + — + —.
де' ду' д»' ' 2. Цилиндрические координаты (г, ьр, «): Ь2 — — Ьу-г, ЬЗ вЂ” ьь — 11 Ь =Ь„=1, 339 «ьифференциальнме операции в криволинейных орта»ональних координатах Пусть (хь, хг, хз) — ортогональные криволинейные координаты, еь, ег, ез — единичные векторы этой системы координат, Ьь, Ьг, Ьз— коэффициенты Ламе. 1 ди 1 ди 1 ди 1.
Хгас(и = — — еь+ — — ег+ — — ез. Ьь дхь Ьг дхг Ьз дхз Х = Г' С08 сР, Д = т 81П Са, « = «, ди 1 ди ди кгас( и = — е„+ — — е„+ — е„ дт" гдр" д« 1 д 1дсг да« Йга = — — (га,) + — — ~ + —, гдг ' тдр д«' те„е, д д др д« аз а, е, д дг а« го$а =— 1 г 1 д / ди1 1 дзи дзи сЛи = — — ~г — ) + — — + —. « дт ~, дг) гз дсрз д«з ' 3.
Сферические координаты (т, В, ср): Лг — — Лг = 1, Лз = Лг = г, Лз = Лт = тип В, х = те(п В сов ср, у = тз!и Ваш р, « = т сов В, ди 1ди 1 ди кгас! и = — е, + — — ее + —,— е„„ дг ' г дВ гв!ПВдсг 1 д з 1 д 1 дат Йг а = — — (г а,) ++ —,— (ав 81П В) + т' дг ' тз(ПВдВ тзшВ д!р ' е, гев тз!ПВег д д д дг дВ др а, тае г вш Ват 1 го1 а— г 8(ПВ сЛи = — — (г — ) + — савв„,и, 1 д гди 1 тз дт дг тз 1 д / . ди 1 1 дзи Ьв„,и = —,— ~81П — ) + вшВдВ ~, дВ) егпзВдсрз' 11. Спепиалъные функпии 1.
Гамма-функция Эйлера: а) Г(«) = е '1* 'аз, Ке«> О; о б) Г(«+ 1) = «Г(«), Г(1) = 1, Г(п+ 1) = и., Г(з) = ~/х, Г п+-(=~/х = — (2П вЂ” 1)!1, Г(«)Г(1 — «) = —, 11 (2П)! с/х 2) 28" и! 2" згп х« в) асимптотическое представление при х -+ со: Г(х + 1) = ~/2хх — 1+ — + 0 —, * > О / Л" и! ж /2хп ( — ), и » 1 (формула Стирлинга). 1,8/ у(х) = Сг,7и(х) + СзФ„(х) у(х) = СгНи01(х) + СзНи1~1(х).
или Определитель Вронского ] Уг(х) Уг(х) «' И' [уи(х), Фи(в)] =— ,[НОВ( ) 1з1( )] 4г' И [ ~ю (х)~ у-и(х)]— у 1т (2) Г(гп+ 1)Г(гп+ и+ 1) Поведение при х -+ 0 (х > 0): ,У„(х) м ( — ), и> О, 2 х — 1и— 2' Н„(х) вв и=О, -')(~) и=О, и>0; в) соотношения между различными цилиндрическими функциями: ,у„(г) совки — у „(х) и (х)— вш ли 00(,) У-и( ) — '"У.( ) 1в(п ли 2. Цилиндрические функции: а) уравнение Бесселя 2 'з у + — у'+ ~1 — — ) у = О.
и 1 и ~ *)- Любая пара из следующих функций: (.1„(х), Ми(х), Н~1 1(х), Н~1 1(х) ) образует фундаментальную систему решений уравнения Бесселя при любых и. Наиболее удобно общее решение уравнения Бесселя записывать в виде (г1 е у (х) у- (х) г а)п яи Н('1(х) = 3„(х) + 1М,(г), Н„ (е) = Уи(х) — ~Ар(х), Н( )(г) — еВ™Н( )(х) Н(')(з) = е " Н1т)(х), У „(Ф) = ( — 1)"УО(е); г) рекуррентные соотношения я формулы дифференцирования: Я„(г) + Я ~~(х) = — Я (с), 2я г Е„~(г) — Я,.ь~(х) = 2Я,'(г), — '[ -"г„(х)] = -.— г„+,( ), Нх ~» -' — ") [ "г,( )] = "-"г.
„(.), г Нт с Ха --' — '~ [.-"г„(.)] = .-1"-")г„+„( ), х пх где я„(х) — любая из функций у„(з), Ф„(г), Н1 ' 1(г); д) интегральное представление: е-~зная+о т 1 г 2я,/ О Н(ц»(,~ Г,-м и"+ш.и~ \ к „1 Сь, (Сш См Ст --. см. рис. 1 на с. 324) У„(х) = — г ехр(1хв)п1е — 1пу)Н1г = — / соа(гвш 1о — пу)пу; 1 У 1 2з,/ — к о е) асимптотическое представление при х -+ со: ~2 / ям у„(г) = ]1 — сов [с — — — — + 0(» ~), Чте [, 2 4) 342 12, / яи я1 а Х,(х) = )1 — е1п~х — — — — )+0(х т), Чях ~, 2 4) Н( 1(х) = ~Г е '1' ~ ° 1+0(х ~), Ч ях ж) хЯ (х)Ых = — Е„(х)+ 1 — — Я„(х) где Я„(х) — произвольная цилиндрическая функция; 12 Г2 з) Уцз(х) = \„~ — 81пх, Мг(х) = — ~/ — соех, 12 У цт(х) = ~ — соек, Ф (х) = ~( — е)их, ях и ях Н( ' 1(ю) = ~ — е~д' т)> 1п -1/2 (х) — ~( ~ .,1./ ~~'.-цг(х) = ~/ — х" ~-- — ) з1п., -Ч- ~ .и.~ 1ьг) Г2 „/ 1 Н~" ам Н ()=Ч вЂ” "' — -'- -Цг ~/ .
~ х)( я=0,1.. и) теоремы сложения: Н"1 ((р) е=е /Р Я=~~ — 2 Р 1, "<Р, »=0 ййгвмд '~ ~ ~1 ~1 ) иц3 и( «=0 3. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента: а) дифференциальное уравнение хер" + *„' — (хз + ~) З4З НеО ~(ЙВ) = яе(Мг)Не» яр) + 2 ~~~ ' у„яг)Н~ 1яр) сое пА е=1 г(р, обшее решение: у(х) = С~1„(х) + СгКе(х), 1 определитель Вронского: И'[1„(х), К,(х)] = — —; х б) 1„(х) = ю' "У„(ы), К„(х) = — е ' 11(ц(т); 2 в) 1 (х) = 7 ~""' г (от+ г)Г(гн+ и+ поведение при х -е 0 (х > 0): /„(х) в (-), и> О, х — )п-, 2' г =О, К,(х) ж (-), и> О, интегральное представление: Ке(х) = — / е ~«ье-~«~~и, Кех > О; — е еье-3 и 2 / г) рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования: 2и 1~,.(-1(х) 1м-1(Ф) — 1 (х)~ 1 .+~(х) + 1 -г(х) = 21 (х) 1о(х) 1~(х) К„~.~(х) — К„~(х) = — К„(х), 2и К„+~(х) + К„,(х) = -2К„'(х), Ке(х) = — К~(х), 1 „()=1„(), К-~ (х) — Ки(х)~ д) 1~/г(х) = 1-~/г(х) = Кг!г(х) = 1„цз( ) = Ке -1/2 (х)— 344 6.
Сферические функции; а) дифференциальное уравнение )1)вее+п(п+1)о=О, 0<В<в, 0<у<2л; б) У1 1(В,у) = Р) 1(совВ)Г, т < п; 1 в)пту ) ()1( )(в~)))'О о ( )(в,(о)'.;,вгвА~ =, 2 (п+ т)! 2п+ 1 (и — т)П о о (2, т=О, где е„, = ~ ).1, т>0; 111, ( совУ, г) у( 1(В, (р) = в)п В1 В)П У, 11) ( сову, У1 1(В,(р) = Зв)п усов В~( В)П У, Уг (В, у) = 3 в)п В ~ г, г (сов2у, ( в1п2у. 7.
Полиномы Лагерра: а) дифференциальное уравнение (х > 0): +1 . 1у . а+1 — (х + е * — )+х е '(Л вЂ” )у = 0 или а+ 1() ху" + (а+ 1 — х)у'+ ~Л вЂ” / у = 0; 2,/ б) формула Родрига 4, 1(х) = — х е* — (х"+ е *), а > -1; 1, (В' и! Йх" в) 01,1~1(х)))~ = / Ь~~) (х)е ~х"йх = я „Г(ц+ а+ 1) о г) Ьо1 1(х) = 1, Ь1(х) = 1 — х, хг 1.г(х) = 1 — 2х+ —, 2' Литература 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А.
Уравнения математической физики. Мл Наука, 1966. 2. Будок Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 1956. 3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Мс Физматгиз, 1962. 4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Мс Наука, 1984. 5. Владимиров В.С., Михайлов В.П,, Вашарин А,А,, Каримово Х,Х,, Сидоров Ю.В., Шабунин М.И, Сборник задач по уравнениям математической физики.
Мл Наука, 1974. 6. Бицадзе А.В., Калиниченко Д, Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. Мс Наука, 1985. 7. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Мл Изд-во МГУ, 1993. 8. Лебедев Н.Н.
Специальные функции и их приложение. Гос. издательство физ-мат. лит-ры, 1963. 9. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1 — 3. Мс Наука, 1965 — 1967. Учебное издание Боголюбов Александр Николаевич, Кравцов Владимир Владимирович ЗА,ПАЧИ ПО МАТЕМАТИз5ЕСКОй ФИЗИКЕ Редактор ВА.
Пуканья» Художественный редактор Ю.М. Добря»окая Технический редактор ГД. Каяасааеа Корректоры И.А. Мушноквеа, Т.С. Милянова Изд. лип. № 040414 от 18.04.97 г. Подписало в печать 10.08.98. Формат ббх90 1/16. Бумага офсетваа № 1 Офсетлая печать. Усл. печ, л. 22,0. Уч.-изд.
л. 17,69. Тираж 3000 зкз. Заказ 169 Изд. № 5628. Орвгииал-макет подготовлен К. Б.Па»кратьввым с использовавием издательской системы ТЕХ в ЛВМ мекаивко-математического факультета МГУ. Ордева "Знак Почета" издательство Московского университета, 103009,Москва, ул. Б. Нвкитская, 5/7. Отпечатано в Производствеиво-издательском комбинате ВИНИТИ, 140010, Люберцы, Октябрьский пр.
403. тел. 554-21-86 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
