А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Первое слагаемое в формуле (15.6) представляет потенциал скоростей точечного источника, расположенного в точке Мо и создающего сферическую волну, второе слагаемое — потенциал скоростей рассеянной сферой волны (дифрагированная волна). Поэтому эта задача называется также задачей о дифракции сферической волны на абсолютно мягкой сфере. 5. Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой сфере. Пусть плоская волна, потенциал скоростей которой имеет вид е'"', падает на абсолютно твердую сферу радиуса а. Найти полное волновое поле вне сферы.
Потенциал скоростей полного волнового поля У вне сферы представим в виде Задача (15.Т) имеет осевую симметрию. Следовательно, ее решение не зависит от ог и может быть записано в виде г-'!гн1г1 Яг) (15.8) Прежде чем подставить общее решение (15.8) в граничное условие, разложим плоскую волну есв'"' по полиномам Лежандра, использовав вырожденную теорему сложения (см. приложение, г 2) п=о Подставляя теперь (15,8) и (15.9) в граничное условие, получим А«Рп(совВ) = — ~( — ~~~ сп(и+ -) — Рп(совВ).
~2я,„сс 1'1 д Уп+ссг(/са) 2) да ~/а «=о =о Отсюда находим коэффициенты Ап: 1') д 1«+с~гЯа) 1 = — суС вЂ” сп ~и+ -) lс ~ 1„' (/са) — —.7«+Пг(/са) Подставляя найденные коэффициенты Ап в (15.8), получаем рассе- янное поле в виде 2в' ~ .„с 1 1 (а с,с+цг(сса) г1й у«+с/г("а) Х г х Н„+гав(йг)Р«(сов В) . 6. Внутри сферы г < а решить задачу с."си — и = О, и~ = сов2В+в(пВв1псо. Общее решение внутренней задачи Дирихле для этого уравнения имеет вид и — ~~ ~~ Р„~ (совВ) (А„,„совпгог+В„,„в(пспу) . ч чп ~/а1«+с/г(г) =о по и+ сг Чтобы определить коэффициенты, нужно граничную функцию разложить по сферическим функциям. Из граничного условия сразу видно, что отличны от нуля будут только коэффициенты А„о и В„1. Теперь сов 2В разложим по полиномам Лежандра Р„(сов В), а зги Вв по присоединенным функциям Р( (сов В): (1) 4 1 сов 20 = 2 совг  — 1 = — Рг(сов В) — -Ро(сов В), 3 3 згпВ = Р1( )(совВ).
1 /а 11/г(т) 4 /а 1з/г(т) и = —— + -)/— Рг(совВ) 3 )// т 11/г(а) 3 )// т 1я/г(а) + ~( — Р1 (совВ) згп(о. Га1з/г(т) (П т 1з/г(а) Т. Вне сферы т > а решить задачу Ли+и=О, — = совВ+ зги Всов2ог, ди г дт „, ди . /1( — — ги = о ~-1( при т -+ оо . дт (т( Поскольку совВ = Р1(совВ), зги~ Всов2(г = -Рг (совВ) сов2(о, (г) 3 решение поставленной задачи имеет вид т-1/гн(1) (т) 1 згп В сов 2(о . я/г а-1/г/1Ю (а) да- в/! ] „- /гн(1) (т) и = созВ+ д [а / Из( )г(а)) г 1З.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Решить внутри круга т < а задачу г.'1и — гс~и = О, и),—, = зяпог, — я < ог < 11. з(т Следовательно, Аоо = — 1, Аго = з, Вы = 1, все остальные коэффициенты равны нулю. Таким образом решение имеет вид 2. Решить вне круга т > а задачу 12и + Гс~и = О, и! — = !Ч 1, — сг < Р < ГГ, ди, сс 1 — + Йи = о ~ — (, т -+ оо. дт ~,,/т) 3, Построить функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора сзи — хги внутри круга. 4.
Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — хги внутри круга. 5. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи — х и вне круга. г 6. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора Гзи — хо и вне круга. Т. Решить двумерную задачу дифракции плоской волны на абсолютно жесткой окружности. 8. Построить функцию Грина задачи Дирихле для оператора Ьи+ (сги вне круга для условий на бесконечности: ди СГ 1 лс а) — — сйи=о~ — ); д ~ЛР б) — +йи = о а) — — йи=о ди /1 1 б) — +йи= о~ — ). дт („/т) ' 10. Построить функцию Грина задачи Неймана для оператора сии+ )сги вне сферы с условиями на бесконечности: ди, /1'1 а) — — Йи = о(-); д.
(т) ' б) — + с/си = о Ответы. 1„1~.1 л и 7„7или~) и=1 3. 1 ~Ко(хЛ) — у~ф1о(хто)Ко(ха)— — 2 ~', — з~Я1„(хто)К (ха) сони(у — сро)), и=1 В = тг + то — 2тто соз(~о — ГРо) . 318 9. Решить плоскую задачу дифракции волны от точечного источника на абсолютно жесткой окружности с условиями на бесконечности: 4 0', [Ко(хй) — 1ге(("— ;)110(хго)1о(х)')— — 2 Е -уР((„"— ))1п(хго)1п(х~) сова(р — ~ро)~, »=1 5 о0 е [Ко(хТ вЂ” у~~„-~уКо(хго)Ко(хг)— -2 Е д"-'Я Кп(гаго) Кп(мг) сов и(~о — (ро)), п=1 — „, [КО(хН) -+им~а,КО(хго)КО(хг)— — 2 Е й(("„—.))Кп(хго)Кп(хг) сов п((р — ро)], п=1 7. 011'"""и — — 0( — '-) — Н'( ~(Ь) — ~, —,0 — -) — Н( ~()гг)совгмр.
Н( ) ()га) „— 1 И( ) (йа) е + й Жа)-Н(')Я а)Н(')(Ю -.(р- .); п,и„'(в ) Не — ггг ~ — и ва) — Н„~~()гго)Н„) Яг) сова(ог — 0)о), , и.' (оа) 1 +г)г(йа) Н +г)г(о и) Н +г «(ое) (г) (г) п сов 0) Н(г) (йа) '/ге (г) ), (г) п(сов р +г/г е' 10.а) 1 ['и — ггг 2' (и п=1 )0[ и +гНЕ(" п=1 В= сов)д = совдсовдо+ в)гада)пдосов(гр — (ро) ПРИЛОЖЕНИЕ При применении специальных функций для решения краевых задач часто используются формулы, которые обычно называются формулами сложения. В этом приложении выведены формулы сложения для сферических функций и простейшие формулы сложения для цилиндрических функций.
5 Г. ФОРМУЛА СЛО2КЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Сферические функции Р( 1(совВ)совггир, Р1 1(совд)вшгп1в, о=0,1,...,со, т=0,1,2,...,п, являются собственными функциями следующей задачи Штурма— Лиувилля: Ьвгв+Ле=О, 0<В<к, 0<вг<2я, и(д, <р + 2гг) = и(д, р) при всех В и р, /е(0, вг) / < оо, !з(я, р) / < со, соответствующими собственному значению Л = Л„= п(я+1), причем гапк Л„= 2п+ 1.
Сферическая гармоника У„(д, 1в) есть линейная комбинация собственных функций этой задачи, соответствуюгцих одному собственному значению Л„: и У„(д, р) = А„дР„(созВ) + ~ ~Р1~1(совд) (А„совтзг+ В„вшоир). в~ж1 Пусть М(В, у) и Мг(дг, ~рг) — две точки на единичной сфере, сов )У = соз В соз Вг + з1п д в)п дд сов(зг — 1рг) . Угол )У есть угол между радиусами, проведенными в точки М и Мг.
320 Рассмотрим функцию пь = т Рь(соад). По переменным (г, д, 1р) она удовлетворяет уравнению Лапласа. Отсюда вытекает, что Рь(соз,9) есть сферическая гармоника, соответствующая собственному значению Ль = й(й+ 1). Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой. Следовательно, гт т / У„(д, р)Рь(сов д) айаг = О при и ~ й.
(1.1) Пусть 5„— сфера радиуса а с центром в начале координат. Согласно третьей формуле Грина т" У„= — У ~ — т" У вЂ” т" У вЂ” дК - (1 2) 4я,1т ) Ямр дп " дп Лмр) На сфере Я~: г" У„(0, 1р))з —— а" У„(д, 1т), д „д дп " з да — т" Уп = — а"У„(д, ~р) = па" Уп(0, 1р) Используя разложения производящей функции для полиномов Ле- жандра, получим 1 1 ,.» — — Рь(соад), (г ( а), ~ 2тт Позтому д 1 ~ д 1 — — — =-Е( + ) —,"„"(-д) дп Лмр ~р з да Ямр „а~~~ Подставляя найденные значения в формулу (1.2), получим г ть Г ,"ттрн=2 1/[ .~~~от[в,,т)тт„ла~,,с. (1.3) 321 Учитывая условие ортогональности (1.1), из (1.3) находим У„(В, р) = — ~ ~ Р„(совЯУ„(Вы~р2)[)йв„,, (1,4) 2п+1 Г [ о о ~(В, [р) = ~~~ АГАВ,РО(совВ) + п=о ~ П А А Р[ ~[ В[[А„ПАВ„А Р[) = АП= 1 1„(В, р), (1.5) В=о где У„(В, р) — сферическая гармоника.
Коэффициенты разложения определяются формулами — 2' / 1(В', у[')Р(<1(совВ') соотг'Ый', Ф„,у у о о 2  — 1 / 1(В', [р')Р1 1(сов В') яп [т[р' Йй', ААПАП В У о о 2ке„, (и+ т)[ 2п+ 1 (и — т)[ ' А„ (1.6) ВППА Умножая соотношение Р(В',~') ='~ У,(В', р') в=о на Р„(сов Я и интегрируя по единичной сфере по переменным (В', [р'), получим, учитывая (1.4): 2В У„(В, р) = ~ ~ 1(В',уР)Р„( В) ай', 2п+ 1 4,/,/ ' " (1.7) о о сов )У = сов В сов В' + яп В ип В' сов(ОР— ОВ) .
322 Пусть ДВ, 1О) — произвольная функция, интегрируемая с квадратом на единичной сфере; 2 е ьв(52), где Я2 — сфераединичногорадиуса. Она может быть разложена в ряд по сферическим функциям: Поскольку п Уь(В,~Р) =АььРь(совВ)+ ~~1 Рь ~(совВ)(АатсоьттиР+В„ыпт1ь), п~=1 (1.8) подставляя в (1,8) значения коэффициентов А„и В„, определенных формулами (1.6),получим ьь я 1ь(В, р) = / / У(В', р') х (1.9) х ~~~ — Р1 1(совВ)Р( 1(совВ') совт(1ь — ~р') В11'.
т ОН-пъ Вычитая (1.7) и (1.9), получим соотношение ьь у(В', у') Р„(сов 11)— — — 'Р1 1(сов В)Р1 1(сов В') сов т(~р — у') У Вй' = О, 2 (и — т)! ь~~ (и + 1'и)) Р„(совР) = Р„(сов В)Р„(сов В') + (и — и1)! +2 ~~ Р1 1(совВ)Р1 1(совВ')совт(р — 1р'), (и+ т)! (1.10) где соь13 = сов дсовВ'+ ыпВыпВ'соь(р — у') . Формула (1.10) обычно называется теоремой сложения для сферических функций. 1 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЭКЕНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФЗ~НК1~Ий Рассмотрим теперь простейшие теоремы сложения для цилиндрических функций, которые наиболее часто встречаются в приложениях. Для функции Ханкеля Н~'~ (х) справедливо интегральное представление Зоммерфельда Н(П(я) = — """ +'"ьв' Г 3 ) с, 323 справедливое для любой функции ~ Е Ьь(Н1 ) .
В силу произвольности функции 1(В, 1ь) отсюда следует где контур Сг на комплексной плоскости у изображен на рис. 1. Напомним, что в силу теоремы Коши контур С~ может быть деформирован, но так, что его конусы уходят на бесконечность в заштрихованных на рисунке областях. Пусть М и Р— две точки на плоскости (х, У), полЯРные кооРдинаты котоРых (г, Р) и (гы Р~ ) соответственно.
Расстояние между ними Рис. 2 Рис. 1 Для определенности будем считать, что г < гг. В треугольнике ОМР (рис. 2) угол против стороны т обозначим К. Заметим, что 4 < и/2 при г < г~. Из ДОМР видно, что имеют место соотношения Всое "т' = г~ — гсоед, В51пт' = г81п)у. (2.1) Рассмотрим функцию НП1(Л) =--~.-'""" +ге 1р. 1 Г е Сделаем замену р = а — ф. Как было указано, сдвиг контура на величину 4 < я/2 не меняет значения интеграла. Позтому Я(1)(Д) е-ьниа1а-т)+пи(о-Я,1о 1 Г (2.2) с, Так как Вв(п(й — ф) = Вв)носова — Всов йв!пй = = в(па(т1 — тсовЯ вЂ” т сова втр = т1 вша — тв(п(а+ Д), из (2.2) получаем Н(1)(В) шФ -1т1иие+гтип(а+ГО+ш'" ~~й (2 3) 1 г с, Воспользуемся разложением плоской волны в ряд по функциям Бесселя ге ив(а+в) ~~, у ( ) 1п(а+д) (2.4) Подставляя разложение (2.4) в (2.3) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим НП)(В) и Е Г изей -а1ип а+~О +т)а г е = ~ „(т)е «=-оо с 1 Л„(т)Н„+„(т1)еыд .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
