А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть теперь на конце х = 0 стержня задана гармоническая сила п(С) = АсоэыС, Поскольку а-- х а ) А. / хт и(7) Иг = — з)им~С вЂ” -), а)' о формула (4.30) дает 0 <С < —, х и(х, С) = Аа . / хт — — в)пи~С вЂ” -), ы а х С > —. а' Таким образом, как это следует из последней формулы, в точке х стержня, начиная с момента времени С = — возникают колебания с а частотой ы. 3. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полуограниченной прямой с неоднородным граничным условием третьего рода: ин — — а ихх, х>0, С>0, 2 и(х, 0) = О, и~(х, 0) = О, и~(0, С) — Ьи(0, С) = и(С), (4.31) и(х, С) = С(х — аС), где У вЂ” некоторая достаточно гладкая функция.
Из первого началь- ного условия получаем, что и(х, О) = У(х) = 0 при х > О, 272 где Ь вЂ” некоторая постоянная. Решим задачу (4.31) методом распространяющихся волн. Как и в случае граничных условиЯ Дирихле (4.27), в силу однородности уравнения и начальных условиЯ задачи (4.31) будем искать решение в виде правоЯ бегущей волны при этом второе начальное условие также выполняется: ис(х, 0) = — а~'(х) = 0 при х > О. Подставляя функцию у(х — а1) в граничное условие задачи (4.31), получим обыкновенное дифференциальное уравнение ~'( — а1) — ЬД-а1) = и(1), 8 > О, где штрих обозначает производную по полному аргументу. Сделав замену х = — а1 и учитывая, что у(0) = О, получаем начальную задачу для функции у(х): у~(х) — ЬДх) = и(- — ), х < 0; ДО) = О.
Дх) = ~е~(' '1и( — — ) Нэ, х < О. о Сделаем в последнем интеграле замену с = — —, в результате чего 8 а' получим Подставляя в последней формуле х = х — а1, получим окончательный ответ: 0<1< —, х О, (4.32) и(х,1) = аещх-ай / еьаГн® ~1~ о 1>— х — а Заметим, что, положив в формуле (4.32) Ь = О, мы получим формулу (4.30) для решения начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным граничным условием Неймана. Мы решили задачу (4.31) методом распространяющихся волн.
Используя интегральное преобразование Фурье с ядром ,Г2ЛсоэЛх+ Ьэ)пЛх 'т' я Лз + Ьз 273 Решение этой задачи с помощью функции Коши записывается следу- ющим образом; можно получить формулу (4.32) методом интегральных преобразо- ваний. Читателю рекомендуется проделать это в качестве полезного упражнения. 5 В. ЗАДАЧИ ДЛЯ ИРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ им=а Ь2и, — со<я,у<+ос, 1>0, и) = Р(х, у), и1 ( = Ф(х, у). (5.1) Эту задачу решим обоими указанными выше способами.
Сначала используем преобразование Фурье по части пространственных переменных. В данном случае используем преобразование Фурье по переменной у. Обозначим через Цх, Л, 1) образ Фурье функции и(х, и, х) по переменной у: 1 У(х,л,1) = — / и(х,п,1)е ' эйу. ~/2я l В предыдущих параграфах широко использовалось интегральное преобразование Фурье для решения пространственно-одномерных задач для уравнения колебаний.
В этом параграфе рассмотрим применение преобразования Фурье для решения задачи Коши для уравнения колебаний на плоскости и в неограниченном пространстве. Как указывалось ранее (гл. 1, 1 4), при решении пространственно- многомерных задач можно поступать по-разному. Можно применять многомерное преобразование Фурье сразу по всем пространственным переменным. В результате этого для образа Фурье получается одномерная задача Коши по переменной 1, содержащая столько параметров, сколько было пространственных переменных.
Для получения оригинала, т.е. решения исходной задачи, используется обратное многомерное преобразование Фурье. Возможен и несколько иной способ. Интегральное преобразование Фурье применяется не по всем переменным, а только по части из них, например только по одной из пространственных переменных. Тогда для образа Фурье получается задача для уравнения в частных производных (а не обыкновенное дифференциальное уравнение, как в первом способе), но в пространственной области меньшей размерности. Рассмотрим оба этих способа решения двумерных и трехмерных (по пространственным переменным) задач.
Начнем с задачи Коши для уравнения колебаний на неограниченной плоскости, которая ставится следующим образом: Применив преобразование Фурье по переменной у к задаче (5.1) аналогично тому, как это делалось в предыдущих параграфах, получим задачу для функции СС(х, Л, С): Уи —— агУ вЂ” агЛгГУ, — со < х < со, С > О, У~ = ф(х,Л), У,~ = Ф(х,Л), где 1 Ф(х, Л) = — ~(*, ) г/2к 1 1У(х, Л) = — гС г)(х,гС)е '""НгС. гГ2к Для функции Цх, Л, С) получена задача Коши для одномерного уравнения гиперболического типа, в которой Л входит как параметр. Эта задача рассмотрена в предыдущем параграфе, и ее решение удобно записать в виде а+аг а э ~ с = —,— С' ах, лр.
(л /Р~ -' у* -С г) аь д 1 а-аа а+аг + — С аг,сх(л,/Р\ — а с)а= 1 Г 2а,/ а-аг = Уг(х, Л, С) + Уг(х, Л, С). (5.2) Чтобы получить решение задачи (5.1), используем обратное преобра- зование Фурье и(х,у, С) = — у СС(х, Л,С)ег "НЛ = ид(х,у, С)+ иг(х,у,С), ,/2~г ./ а. где 1 ицг(х,у,С) = — С СГкг(х,Л,С)ег "СЛ. г/2к Преобразуем выражение для иг(х, у, С).
Подставляя явное выражение для 1а(с, Л) и заменяя порядок интегрирования, получаем иг(х, у, С) = ггв л+м оа 00 е) есеь1 *"< -'~~.(1~~РР:т*-ьл) ~~. 4яа ю-аг -ао — ОО Поскольку (см. приложение, г 4 (4.3)) О, иг(х, у,1) принимает вид ,+ 'м'-Я:и 1 иг(х,у,г) = — ( Иб 2ла у 5(б, О) (5ф1 аггг ( . б)г (у,1)г ' (5.3) Повторный интеграл в формуле (5.3) представляет собой интеграл на плоскости (б, я), взятый по кругу: (х — 3) — (у — г1) < аг12, т.е. по кругу К~ с центром в точке М(х, у) радиуса аг. Поэтому 1 ~~ Ф(6О) 1бФО иг(х~у г) д 2ла Д «м Выражение для функции и1(х, у, 1) может быть теперь выписано сра- к Таким образом, решение задачи (5.1) имеет вид 1 ~д (/ Ю(б,Ю) бФО 2ла (Я УУ агП (.
л)г (у,)г к. $ 276 зу; и1(х, у,1) = — — О' а 1 — (х — с) — (у — г1) > О, а~1~ — (х — С) — (у — г1) < О, / Ф(с, О) 1с ф1 д ! агтг (х я)г (у т1)г (5.4) ЦЛ, тт, Х) = — Д и(4, тт,г)е т"т '"" т1б йт. Й 2 Д Применив к задаче (5.1) двумерное преобразование Фурье с ядром К(Л,тт,б,тт) = — е ' ~ '"" 1 тх 2я получим — + а (Л + 1т~)бт = О, 1 ) О, т(гг (5.5) и!,, = Ф(Л, р), Ц,, = Ф(Л, д), где Ф(Л, ) = — О ттг(б,тт)е ' '""М,т1т1, 1 ГГ 2 Д Ф(Л, д) = — ттт(с, тр) е ' ~ " " ас Йт1.
Й 2 Д Решение задачи (5.5) для ЦЛ, тт, 1) можно записать в виде У(Л, тт, 'т) =Ф(Л, д) сов(а1 ~/Лг + ттг) + в(п(а1/Лг г+ рг) +Ф(Л,д) = Пт+Пг. а,/Л +„г Используя обратное преобразование Фурье, находим и(х, у, т) = — 11 етгв+т""Ф(Л, а) сов(а1 ~/Лг + пг) ттЛ Н1т+ 22я,/,/ 277 Полученная формула (5.4) является формулой Пуассона для неограниченной плоскости.
Теперь мы решим ту же задачу (5.1), используя двумерное преобразование Фурье. Обозначим через У(Л, тт, 8) двумерное преобразование Фурье функции и(х, у, 1) по переменным х и у: в)п(а1~/Л~ + ро) + Д' '" Ло ГГ ы*+ьво,у(Л ) МЛс1р = 2в Д а +Р (5.6) = и|+по (5.7) Тогда Л(х — 4) + р(у — и) = гр = тр сов а, — у у ° ° а ° = л*-п~(ю:~)', ~= л'+р, На плоскости (Л, р) введем полярные координаты (р, а): Л = рсова, и = рв1па (заметим, что угол а отсчитывается от вектора г). Внутренний интеграл по Л и р в формуле (5.7) принимает вид т / е'М -Е)+Мо-о1 '=13' в1п(аЬ/Л2+ ро) ,/Л ч-р оэ 2т 1 Фтв сеэ в)п а1р ~)р ~(о а =-0 о о Поскольку е"те '" Иа = 2 / сов(тр сов а) Иа = 2я3о(тр) о о (использовано интегральное представление функции Бесселя Уо(х)) О, т)аС, Юо(тр) в)п аМрдр = 1 278 Преобразуем выражение для ио(х, у,1). Подставив явное выражение для Ф(Л, р) и изменив порядок интегрирования, получим и (х у,1) = — ф((,т1)4(йт~ е' ( В+'"~о о1х 2 1 — (2в)2 1 в1п(а1~/Л~ + ро) „ х а,~Д2 + ро Вычислим внутренний интеграл по Л и р.
Введем векторы г= (х — (,у — О), р= (Л,р). (см. приложение, формула(4.4)), то выражение для интеграла 1 при- нимает вид О, г>аС, 2к ~ 1= — 1 4оС -Г г' Подставляя найденное значение интеграла в (5.7), получаем км где К'~~ — круг радиуса аС с центром в точке М(х, у). Поскольку р(6 О) СИ~ и1(х,у, С) =— км выражение (5.6) дает формулу Пуассона км Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения колебаний в неогра- ниченном пространстве: им = а~С) и, — оо < *, у, х < оо, С > О, и! = ср(х,у,х), и1~, = ф(х,у,х). (5.8) У(в,С) = С е ' и(г,С)дг, ( /2х) где использованы обозначения: Нг = Их Нулях, а интеграл вычисляет- ся по всему трехмерному пространству. Для решения этой задачи применим тройное преобразование Фурье по пространственным переменным. Используем общепринятую в физике векторную запись тройного преобразования Фурье.
Пусть г = (х,у, х), в = (Л, р, и). Обозначим через У(Л, р, и, С) = П(в, С) образ Фурье функции и(х, у, х, С) = и(г, С): Применяя к задаче (5.8) тройное преобразование Фурье с ядром 1 К(г,в) = К(х у,х,Л,р,и) = з~зе '" = (2л)Ю -Цхж+уу+г з) (2л)зУ2 — + аз(Лз .1- р2.1- из)У = О, 1 > 9, а12 У!, = ф(Л, р, и) ш ф(в), У1!, = ф(А,р,и) = ф(в), (5.9) где 1 ф(в) =,, 1У(Р)с '~НР, 1 ф(в) зуг / ф(Р)~ 8Р Р = Й 9 О. (2л)з/г Решение задачи (5.9) можно записать в виде Используя обратное тройное преобразование Фурье, находим и(г, 1): 1 и(г,1) = з У(в,1)е'"Нв. Выражение для и(г,1) запишем в виде и = и1 (г, С) + из(г, 1), где 280 получим аналогично предыдущему, задачу Коши для функции У(в, 1): запишем г — (сЦ/г — р! — ас) — б(/г — р/+ аг)).
а /г — р/ Подставляя найденное значение интеграла в (5.11), получаем 1 Г 6((г — р! — аФ) — б((г — р) + ас) иг = — / сСс(р) сср. Поскольку (г — р) + а1 > 0 при 1 > О, остается интеграл по сфере )г — р( = аг, или (х — 4) +(у — с1) +(г — с) =а с . Таким образом 1 Г ЦР)НЯр иг(г,г) = — иг(М с) = — ~ 4сга У Вмр где М = (х, 1с, г), Р = (4, с1, с,), Вмр = )г — р) = Ям — сфера радиуса ас с центром в точке М, уравнение этой сферы аС имеет вид г „„)г+ ( ь)г (а1)г Согласно (5.10) д Г р(Р)~яр ис(М,с) = — — ~ 4яад1 5 Вмр 5 "с с Следовательно, решение задачи Коши для уравнения колебаний в неограниченном пространстве имеет вид 1 )' д ~ р(Р)с1Б~ ~ с)(Р)НЯр 4ха (.д4 У Вм У Вм~ 5м 5м 282 Как известно, зта формула называется формулой Пуассона*1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
