А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Применим преобразование Фурье с ядром е сх* и обозначим через (С(Л, С), Ф(Л) и я(Л) образы Фурье функций и(х, С), р(х) и ф(х) соответственно: (3.2) СС(Л,С) = — / и(С,С)е '"СВИСС, 1 ~/2я,/ Ф(Л) = — с 1р(б)е ы~с~б, 1 ъ'2я я.С где и1(х, С) — решение начальной задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями, из(х, С) — решение начальной задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями. Для решения начальной задачи для уравнения колебаний на бесконечной прямой эффективно использовать метод интегрального преобразования Фурье. Общая схема применения интегрального преобразования Фурье для решения начальной задачи на бесконечной прямой дана в гл.
1, С 4. Здесь приведены примеры решения задач для уравнения колебаний на бесконечной прямой методом интегрального преобразования Фурье. 1. Рассмотрим начальную задачу для однородного уравнения колебаний на бесконечной прямой: Ф(Л) = — ~ Ф(~)е ывос. Предположим, что выполнены условия существования интеграла Фурье (это заведомо выполнено для классического решения задачи) и что функция и(х,1) и ее частные призводные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ шоо. Предположим также, что интеграл для 11(Л,1) можно дифференцировать по переменной 1 под знаком интеграла. Умножая уравнение колебаний и начальные условия на +е Ч2л и интегрируя по х от -оо до +со, получим для функции 11(Л,1), зависящей от параметра Л, задачу Коши: У +атЛ 11=0, 1)0, 11(О) = Ф, 11'(О) = Ф, решение которой имеет вид 1 11(Л,1) = Ф(Л) сов аЛС + — Ф(Л) в(паЛ1.
аЛ Воспользовавшись формулой обратного преобразования Фурье (см. гл.1, в 4), возвратимся от изображения 11(Л,1) к оригиналу и(х,1): и(х,г) = — у 11(Л,1)е'"' ИЛ = 1, + -12, л;l а где 1 11 — — — ( Ф(Л) сов аЛ1еы~ НЛ, ~/2к Рассмотрим интеграл 1м Используя выражение для Ф(Л), получим 11 = — е'~1~ ~)соваЛгаЛ у(~) Нс. 246 Используя формулу ЛС ( ваЛ + е-ввы) 1 2 и известное интегральное представление дельта-функции') г Ю(х) = — / 81 'вСЛ, 28 / интеграл в фигурных скобках преобразуем следующим образом: С' 1 — / е111* С)соваЛС1СЛ = -(Ю(х — (+ аС) + Ю(х — ~ — аС)). 2я,/ 2 С помощью последней формулы получим ез(х + аС) + ср(х — аС) 11 —— 2 Перейдем к интегралу 1ю Подставляя в него выражение для Ф(Л), будем иметь „С (2я / Л Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся формулой (3.3) которую несложно получить, вычисляя интеграл в левой части спо- мощью вычетов").
Смл Владимиров В.С. Уравнении математической физики. Мл Наука, 1988. 1 Смл Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теории функций комплексной переменной. Мл Наука, 1919. 81п х соз 6х х о при )6) ( 1, — при )6! = 1, О, при (6) > 1, Можно было сразу искать решение задачи (3.1) в виде (3.6). Такой подход к решению задачи носит название метода распространяющихся волн, или метода Даламбера. Рассмотрим его подробней. Предположим, что существует классическое решение задачи (3.1). Преобразуем однородное уравнение колебаний к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Характеристическое уравнение для однородного уравнения колебаний имеет вид (Сх)з — аз(СС)т = О и распадается на два уравнения: Их — а й = О, Нх+ а сЫ = О. Характеристиками являются два семейства прямых: х — аС = Сс, х+ аС = Сз.
Сделаем замену переменных с = х+ аС, и = х — аС. В переменных с и и однородное уравнение колебаний принимает вид (3.7) Уеп — О где СС(С, тС) = и(х(С, О), у(С, пС)). Общим интегралом уравнения (3.7) является функция Отсюда вытекает, что общим интегралом однородного уравнения ко- лебаний будет функция и(х, у) = Сс(х + аС) + Ях — аС). (3.8) Таким образом, функция (3.8) удовлетворяет уравнению задачи (3.1) и всякое его решение представимо в виде (3.8). Если функции уд(х+ +аС) и Ях — аС) дважды непрерывно дифференцируемы, то формула (3.8) дает классическое решение однородного уравнения колебаний, Функции Сс и ~с определяются из начальных условий задачи (3.1).
Подставляя (3.8) в начальные условия, получим Гс(х) + Л(х) = сР(х), аГ,'(х) — аЦх) = с(с(х), * Е 31 , где штрих означает производную по полному аргументу. Обозначая аргументы функций Гс и Л через ~ и интегрируя второе из равенств, будем иметь лк)+лк) = «), С Л (д — Г К) = — Ю с(~ + С ~ б 3С' 1 Г а где ~е и С вЂ” некоторые постоянные. Складывая и вычитая два последних равенства, получим 1 1 Г С лк) = -»«)+ — ~'~ю~+ —, 2 2а/ 2' Сс 1 1 Г С лк)=- к)- — (иж--, н)й' 2 2а/ 2' и после подстановки Л К) и Л(~) в формулу (3.8) прядем к формуле Даламбера (3.5).
Метод распространяющихся воли используется не только для решения задач на неограниченной прямой, но на полу прямой и на отрезке. В следующем параграфе приведены примеры построения решений начально-краевых задач для уравнения колебаний на полупрямой. 2. Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой с однородными начальными условиями асс = а и ~+ Г(х,С), (х,С) Е Й, а/ =О, ис! =О.
(3 9) Для решения задачи применим преобразование Фурье с ядром е с "с, обозначив через У(Л, С) и Р(Л, С) образы Фурье функций и(х, С) и Г(х,С) соответственно: ЦЛ,С) = — / и(Г,С)е схС с(С, 1 ~/2я 250 г'(Л,С) = — С у(~,С)е схСсС(. 1 ~/2я Сделаем те же предположения, что и в случае задачи 1. Умножив уравнение колебаний на 1-е '"' и интегрируя по х от — оо до оо, с тЗс получим с учетом начальных условий следующую задачу Коли в пространстве образов: и„+ а'Л'и = Р(Л, С), С > О, и(л, о) = о, и,(л, о) = о.
Решение задачи выписывается с помощью импульсной функции есп аЛ(С вЂ” т) аЛ о Подставим в интеграл выражение для Г(Л, т) и используем формулу обратного преобразования Фурье (см. гл. 1, С 4) н(х, С) = — и(Л, С)есхо сСЛ = 1 Г ч~2~г .С С со со Сжх С1ШП аЛ(С вЂ” т) о -ос х — ( а(с — т) а(С вЂ” т) х — ( а(С вЂ” т) <1, я, при 11 есп аЛ(С вЂ” т) / е' ал СС вЂ” при 2' О, при > 1.
Подставляя это выражение в фигурные скобки, получим окончатель- ный ответ с о+о(с-т1 1 н(х, С) = — / сСт я, т) сС(. 2а,/ (3.10) о о-оСс-с1 251 Для вычисления внутреннего интеграла в фигурных скобках вос- пользуемся формулой (3.4). В результате будем иметь Из формул (3.5) и (3.9) следует формула для решение задачи (3.1) для неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой с неоднородными начальными условиями: и(х,С) = ссг(х + аС) + са(х — аС) 2 + е+ас с *+с(с-с) + 2 '('(О К+ — 4~ И, ) К. (3.11) е-ас е х-а(с-с) исс=а и,.— с и, -сю< я<со, С>О, г и'(=е = р(х) " 1),=е = йх) (3.12) Решение.
Для решения этой задачи используем преобразование Фурье. Пусть ЦЛ, С) = — с и(х, С)е с«х с(х. «/2х у Применяя к уравнению и начальным условиям преобразование Фу- рье, аналогично тому как это сделано в предыдущих задачах, полу- чаем задачу Коши для образа У(Л, С): Усс+ (а Л + с~)У = О, С > О, (С),н, = Ф(Л), Ц,н, = й(Л), (3.13) где Ф(Л) = — са(х)е с«*с)х, «/2сс У 1 9)(Л) = — / с(с(х)е с«*с(х.
,2. / Решение задачи (3.13) имеет вид ср,С = Со >г ~~ ~~~-,- ср)"" "П с с '. 2о2 Рассмотрим теперь задачу Коши для несколько более сложного уравнения гиперболического типа. 3. Решить следующую задачу; Для определения функции и(х,1) используем обратное преобразова- ние Фурье (,1) = — ~Г (Г(Л,1) '" (Л= 1 ь/2сг г,„г Отсс~СО с) = — ) с'(О)с) ьтсрь и-;-О)с) 1сс. 1/2з Введем обозначения ° )*Ось — .'"О)с)-.сас'+"юсс„ 1 00 ио(х,1) = — / есхач)(Л) а)Л. Преобразуем выражение для ио(х,1). Подставляя явное выражение для )р(Л), получаем 00 2 1 ) 0101)' »)*,О = — )' О)С)СС )' " 2х,/ ! Для дальнейших преобразований используем формулу ° ) / всп а~/Ь~ + Ло ,со(Ь~/а~ — хо) соеЛхс(х = с/б~+ Ло о Согласно этой формуле ОС ОЬЗОСР| с ,/РУ:ь ь с У -ас Поэтому Со ОС 00 = — ',1 ЫО СС 10 С. (-'~5 р-'*') С 10 -ае-"0 СС 4з а,/ — 00 — ОС 00 *1 См., напримерс Граошьпеан И.С., Резник И.М.
Таблиим интегралов, сумм, рядов и произведений. Мл Наука, 1971. 253 Поскольку — е '~с~ ~+') ал = Б(( — х+ в), 2х -'1 можем записать ас 00 ив — — асс сс Р— — 1 дв се)'(()в(( — х+ в) Н( = Од аС ( — ( Уе с)((Р— — )ф(х — в)Нв= -ас а+аС , / „.„.(.,~:т'.')'),. а-ас Заметим, что ,)*,д) = — ( — / ""а)д) дд( С ) Поэтому решение можно записать в виде и(х,С) = — — / )р((),Уе( с Р— 1 ад+ дй 2а,/ а а-ас +,— ' ~ д)ос.(а)гд'-)*,с) )а. Вычислив производную в первом слагаемом, получим )р(х + а1) + ))))(х — ас) и(х,с) = а+ад ад 2 (Х Я (~) а-аС вЂ” д)С)А(,ф' — *, )дс.
)3.~4) 2в4 Заметим, что при с = 0 написанная формула переходит в формулу Даламбера. 1 4. ЭА,ЦАчИ ДЛЯ УРАБНЕНИЯ кОлеБАний нА пОлтспРямОЙ Начально-краевая задача для уравнений колебаний на полубесконечной прямой х > 0 с граничными условиями первого, второго и третьего рода ставится следующим образом: ип = а~и, + У(х, С), х > О, С > О, и/, = ~р(х), ис!, = Ф(х), ° + Суп ~., = д(С), где )а)+ ф ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
