А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение задачи, описывающей процесс колебаний мембраны: и11 = а Ьи+ — ашы(, 2 РЕ Р н1], =О, МЕР"', ()О, и] =О, е/с» (1 ~ Ф) = Г» 1=1,2,..., п=0,1,2,..., где р„— корень номера я уравнения Г»(р) = О. (») Квадрат нормы собственных функций равен „2 Г ](гь»]] = е» [,У»(/11 )], е» Рассмотрим нерезонансный случай, когда частота вынуждающей силы ы не совпадает с собственной частотой м„ = орь /го круга (») (») У"'.
м ф ы(»). В этом случае решение дается формулой (1.6), принимающей для круга внд (») »»01=1 ь'ь (~"ь ы ] 228 где р — поверхностная плотность мембраны — дается формулами (1.5) — (1.7), где е»(М) — собственные функции круга в случае гра- ничных условий Дирихле. Эти функции имеют вид (см. гл.
П, з 5) где коэффициенты Д„„и 7„„вычисляются по формулам, получаю- щимся из формулы (1.5): »а 2» (») 1' = — ! (,Цг,22)3„~ — г соап(аг»(гН)а, о а »» 2» (») Лс„= Лг, 22) .7» — г 82п п22г а(г И(а, о а где по условию задачи Дг, у) = — . Ро Р Учитывая ортогональность системы тригонометрических функций на отрезке [0,2л], получаем Дь'„— - 1»'„-— О, при /с =1,2,..., и= (с) (а) =1,2,....
Обозначим Д'„= Я„)»ь — — )2ю Вычисляя интеграл, находим у 2ра И 8 3) (1»8 ) Таким образом, в нерезонансном случае 2рога ау 5о( а»г) н= — ''8)п~(7 2 2 2 2 р ~-' )28 32 О»8 Н а2)»„' — г~~ы2) 2роыгз .781»аг) 8)п -л-"-' ' " ~дм--".,) В резонансном случае при ы = М» = а)»8»)го решение записывается в следующем виде, вытекающем из формулы (1.7); 2рог2 (о(~",г) ЬФьо Таким образом, при отсутствии сопротивления в случае совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой мембраны наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний мембраны растет линейно по времени.
6. Найти поперечные колебания круглой мембраны (7"» радиуса го с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (гм у2), где 0 < г2 < го, — импульс К. Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый способ. Будем считать, что импульс К равномерно распределяется в момент 1 = 0 по элементарной площадке Ьгг = (у1 < ГР < у1+ Луг, гг < г < г1+Ьг).
Начально-краевая задача, моделирующая процесс колебаний мембраны, имеет вид йгг=а Ьй, МЕР"' 1>0, й~ = О, МЕЬГГ, йг ~ = Рг1 )зг(аГР (О, М ф (агг, й~ =О, где р — поверхностная плотность мембраны. Поскольку г1г!Лггхгр— площадь малого участка Гзгг, рг1ЬгскгР— его масса. Решение начально-краевой задачи с "размазанным" по площадке Ьгг импульсом К записывается с помошью формулы (1.10): оо со й = ~ ~~ ~ г)ге~„сов п(Р + г()а„з(п п(с),)к~ Ьм1и=а аЛ('Ль( ) где ра — а-й корень уравнения (к) Для вычисления коэффициентов разложения воспользуемся формулой (1.11): гг+Ьг Иг+ОИ (к) -и=„,'„. ( ( „;,'( — "::)('.::)"" гг Иг где 7ггг г ~о~ г(г( ( ~)] Применяя теорему о среднем' ) к интегралу в правой части формулы, получаем: (о) .( — г' гггартг [у (,(и))~г ( З(ПП)т'/ 2Г,ЬГ п (Рь Смл Ильин В.А., Иоеклк Э.Г.
Основы математического анализа. Ч. 1. Мл Наука, 198г. гзо где г1 < г' < т1 + йг, )о1 < у' < )о) + ЬОо. Перейдем к пределу при Ьт -+ 0 и Ьу -+ 0 и обозначим предельные значения коэффициентов через ф„'„'; (а) ке„ртоз (у(,("))1т ) вшиты Таким образом, решение исходной задачи можно получить как пре- дел решения 0(т,)о,)) при Ьт -+ 0 и Ь~р -+ 0; и(г,)о,1) = !пп й(т,у,1) = Ьт-+о ао -+о СО СО ур<"> Л в)п)/Л1ь )1 =,~ ~(ф;,„сов ну+ 4~', в)пну) Яа~ — т) асп «=о ~..).,у Подставив в последний ряд выражения для коэффициентов о)о„и К'в„, получим окончательный ответ: (э) а го Вгпорой способ. Воспользуемся при постановке задачи дельта- функцией. Тогда начально-краевая задача записывается следуюшим образом; им— - а Ьи, Мбит', 1)0, К о — — — 6(М, М) ), М1 = (то, у1), и! =0 Решение этой задачи согласно формуле (1.10) имеет вид ОЭ ОО /~~"~ Л в)па/Ло1")С и = ~~~ ~ (~Щ„сов пуо+ о)в„в)п п)о) л,(— о=1»=о - то,/(э) ) .д(а) т где д, — корень номера )о уравнения,У„(д) = О, Л = 1 — ) (а] то Коэффициенты разложения подсчитаем по формуле (1.11): «Р«» о б(М М!)А~ (а) — г 2К о" ~, то "!)~~ сов п(о! )~ к«„г~ор( гг(,( ))] ( в(пп(о! 1' (2, п=О, (1, п)10.
Подставляя коэффициенты разложения в ряд, получаем ответ, который, естественно, совпадает с ответом, полученным первым способом. Т. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний в прямом круговом цилиндре Я(аэ радиуса го и высоты 1: иг, -— аоки, Мбяб"', (>О, и!г о —— СгЯ- в)сов!р, и«/г = О, и/в, „= О, где Я~ "' — полная поверхность цилиндра, С вЂ” некоторая постоян- ная. Решение. Собственные функции и собственные значения цилиндра в случае граничных условий Дирихле имеют следующий вид (см. гл.
П, 1 9): «)«о !, ггп 1 сов гпэ' (т) оорр~а(3 !р в) =,гт г) 8!и в го 1 ! в!и пггр, л,„„= —," + где )«о — корень номера )г уравнения г' ()«) = О. (ш) Квадрат нормы собственных функций выражается формулой ))оо ))~ = — '«„,(У„()г„)~, «, = Решение задачи записывается с помощью формулы (1.4), которая в данном случае принимает следующий вид: и(М,1) = и(Г, ог, «,1) = ~~! ~~! ~' ((оо сов«игр+ ооо в!игл(о) х о=! =о 232 )'р(-) Л . х Унз г 01п — 2 сов еЛ~Лйзпп 2~ (,го ( (1.12) где согласно формулам (1.2) и (1.3) (пв) о 2а ( сое гп)01 ггп Х СОЯ аа . Г!гР 2(! — 2) 81П вЂ” 2 Г(2. '1 агппг(0) / ! (1.13) (я, п2=1, сое(асоопг(аН(0 = ~ пг ф 1, о 2я / сезар агпггпрг(аа =0 при всех гп = 0,1, о Следовательно, (оь „= О, (02 „— - 0 при пг ф 1.
Поскольку (1) х з ,1Ц вЂ” г) г г(г = —.72(р„) )га 2 10 (1) го )г( ) о )га и ( 4! 1ГП и = 20+1, 2(! — 2) огп — 2 г(2 = я(20+ 1) о ! О, и = 20, учитывая выражение для квадрата нормы, получаем 8С!го 12()гь ) р( )гг(20+ 1) [У(,и( ))] Решение начально-краевой задачи имеет внд 2=1 =о ра [ !1((гь )1 2ЗЗ Индексами с и в как обычно обозначены коэффициенты разложения при косинусах и синусах соответственно. В силу ортогональности тригонометрической системы на отрезке [О, 2я] получим в(2в+ 1) х вйп ! в сов а1 8.
Решить начально-краевую задачу в шаре К" радиуса го'. ип — — а /хи+ Агсовд, М Е К"', ( > О, и))в=о = ий))1«о = О, и) = О, где А — некоторая постоянная. Решение. Решение ищем в виде разложения по собственным функциям шара с граничными условиями Дирихле. Собственные функции и собственные значения имеют вид (см. гл.
1, г 13) / (л+1/2) 1 ) СОВ 7П)7 ой = — / +1/21 й г) Р( )(сов д) ~ (л+1/2), г Л( +1/г) /гй й \ 7'о где /гй — /о-й корень уравнения («+1/г) /+1/г(/7) = О Квадрат нормы собственных функций равен 1ГГОЕ« (П+ П1)( г 7 ~ (л.(-1/2) ]2 н~йл«7п — 2 + 1 ( )11 ле1/2(рй Из формулы (1.4) вытекает формула для решения рассматриваемой задачи: о« (л+1/г), и(г,д,(о,() = ~ ~ ~~ ~—,/„+1/2( й г)Р( )(совд) х го й«1«=07л=о (л+1/2) г вгп а~/Л ~(1 — г) Х (Уу л«7(Т) Созга(0+ Уд «7(г) в!П гагг) 7(г ° ГЛ(»+1/2) (1.14) Формулы для коэффициентов разложения следуют из формул (1.2) и (1.3) и имеют вид л«вгл 7~ ' '=1„' г111«,,;' о о о гзв (и+1/г) х —,/и+1/г[ Г Р„(созд)1 . 1 згпддгдд1((о. 1 / » (т) соз пи)г )/Г 1о 1 з1п нг(о)) (1.15) (о) Так как сов д = Р( (сов д), учитывая ортогональность системы присоединенных функций Лежандра на отрезке [О, л) и ортогональность тригонометрической системы на отрезке [О, 2я], получаем из формул (1.5): Ди =0 при пф1, тпфО, Ди„, = 0 при всех /о,п,гн, 2Аз/го оо/г(д» ) (з/г) '"" - фз/.) [у („»( / ))1' и окончательный ответ имеет вид 2А 1'о /з/г(И» ) д» 1 соз а)/ '1» (з/г) .
(з/г) . /(з/г) аг г [ /, ( (з/г)))г з/г „о (,,(з/г))з/г 9. Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью о, а затем в момент ( = 0 мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. Решение.
Введем сферическую систему координат, совместив ее центр с центром сосуда и направив ось д = 0 вдоль движения сосуда при ( < О. В этом случае потенциал скоростей частиц газа и не зависит от угла у: и = и(г, д, (). Для него получается следующая начально-краевая задача: и11 = агЬи, О < и < го, ( ) О, и!1=,="'"зд и1[1=.=0 — ! =О ди дт,=„ Решение начально-краевой задачи будем искать в виде разложения (1.14) по собственным функциям шара, имеющим вид (см. гл. Н, г 13) (и) о»и,„= †./и+1/г» т Ри (соз д) 1 и/т [» го / [ з1п тай, где р» — й-й корень характеристического уравнения (и) 1 ду.'+1/ (Р) — -у»+1/г(Р) = О.
235 При этом, поскольку функция и(г, 0,1) не зависит от 1о, в разложении присутствуют собственные функции с индексом гп = О. А так как созд = Р~(соей), в разложении присутствуют только собственные функции с индексом и = 1. Поэтому решение и можно искать в виде и = м(г,1) сов 0, причем для функции ы(г,1) получается разложение х ( ада1 . даа/) 1 / иа ы(г,/) = ~ Аа сов — + Ваап — ~ — уз/г~ — г), го )~/г (,го у где ра — «-й корень характеристического уравнения 1 РУз/зЫ 2,Уз/зЬ) = О. Из начальных условий для функции и(г, В, 1) следуют начальные условия для функции ы(г, 1): ~!с=о эг' аЧ!с=а которые используются для определения коэффициентов разложения А» и Вь (к = 1, 2,...). Из второго начального условия получаем Вь=О, 1=1,2,...,оо.
Первое начальное условие дает 1 А — У~(-")= а=1 го откуда са Аь = — ~( /з/з[ — г)г Нг, да з/г ~~В,И (,, Г о где квадрат нормы радиальной собственной функции 1 /И„'1 Ва = — уз/г~ — г/ ,/г 1 ге / с учетом характеристического уравнения равен — — — -,з 4/ Ьа) Таким образом, 2эдаго /з/з(рь) з/т гзе у ('к зСг т ркУз!2(Скк) зСг~, та ) акккС Решение исходной задачи имеет виц с'Скк '1 зуг х Скк Уз!2(Укк) зСг( те ) аСскС и(т,н,С) = 2ите созСс~ г ) г соз —.
Скк з/г Ьк та з 2. ВАДАсси ДлЯ УРАВнениЯ кОлеБАний В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСГИ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИхСНЫМИ УСЛОВИЯМИ Начально-краевая задача для однородного уравнения колебаний с однородными начальными и неоднородным граничным условиями имеет вид и„= а Ьи, (М,С) Е Сс = Р х (О,+со), и(М, 0) = О, ик(М, 0) = О, М Е СУ = 1У 0 д, а — + СУи = Ск(Р, С), Р Е о, С Е [О, +со), ди дп [о[+ ф ф О, о, СУ = сопзС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
