А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 26
Текст из файла (страница 26)
дп (1.1) 218 Рассмотрим начально-краевую задачу с однородными граничными условиями Таким образом, решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний в случае однородных граничных условий записывается в следующем виде: <мо = г р„..„Я + — ".",Я) л<м>.~ С «=1 а~/Х л с .~Й ..(м)1""'м""' '1.(.~м, л=1 о (1.4) ии - а Сап+ ЯМ)81по1С, (М,С) Е Я~, и)1 =О, и1/1 =О, и! =О. Решение этой эаДачи пРеДставлиетсЯ фоРмУлой (1.4) пРи 81« = 1Г« О, которую мы запишем следующим образом: и(М,С) = ~~~ ил(С)вл(М), «=1 где с 1 в1па~/Х„(С вЂ” т) ил(С) = У„ / " юпмтоСт, а1/~„ о А =,,Гт..(Ю СР .- Пв.!Р/' (1.5) гго где значения сл(г), 1ал и 1(1„определяются формулами (1.2) и (1.3). Первое слагаемое в формуле (1.4) представляет собой решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, а второе слагаемое — решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и однородным граничным условиями.
1 81пыС ) Пусть функция 1'(М,С) имеет вид 1(М)~ ). Физически это ~ сов1мС)' соответствует процессу колебаний объема 0 под действием периоди- Г 81пмС ) ческой силы, распределенной с плотностью р(М)С (М) С( 1совмС ) Предположим, сопротивление отсутствует, в начальный момент тело находилось в состоянии покоя и его граница остается неподвижной в процессе колебаний. Начально-краевая задача, моделирующая процесс таких колебаний, ставится следующим образом (для определенности рассмотрим случай синусоидальной зависимости от времени); Отсюда сразу видно, что если ~„, = О, то и»,(1) = О, Поэтому если у'(М) ортогональна к собственной функции э»,(М), то гармоника номера пе в объеме Р не возбуждается, какова бы ни была частота внешней силы.
Введем обозначение; иг„=а1/Х„. Величины го„являются собственными частотами области Р. Вычислим и»(1): 1 - ( и»(1) = — у» ~ (соз(аг„1 — (ы» + го)т) — соз(ы»1+ (го — го»)г) ) г(г. 2ог„",/ о Если аг ф ы», то у„ог„зги аг1 — иг 81 и иг„1 ,„2,2 Если ог = го», то применяя правило Лопиталя'1, получим и»(1) = — — 1 сов го„1. А 2ы» Таким образом, коэффициент и»,(1) номера пв будет неограниченно нарастать со временем (линейно по 1) только в том случае, когда ог = ы»ь и у»е ф О.
В этом случае наступает явление резонанса. Итак, решение исходной задачи имеет вид; а) если иг ф ы» при всех п = 1,2,...,то оз ~ «,~п ОГ» ШПОГ1 МШПГ4»1 ы ы2-ы2 » » (1.6) где у„задано соотношением (1.6); б) если ы = ы»„то У» Ы» 81ПГгГ1 — Ы81ПЫ»1 У»о (М, 1) ~ — в„(М) — — 1 с „.1в». (М), »»1 .~-Ф'. (1.7) значение Д„, также определено формулой (1.5). Еще раз подчеркнем, что для наступления резонанса, т.е. неограниченного нарастания колебаний со временем под действием внешней 221 Смл Ильин В.А., Поз»лк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч. 1. М.: Наука, 1982. периодической силы Г(М) в(пос1, необходимо выполнение двух усло- вий: ос = ос„, = ал/Л„ю и Г, ф О. Рассмотрим примеры решения начально-краевых задач для урав- нения колебаний в ограниченных областях. 1. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке 0 < х < 1: асс = а~и„, О < х < 1, 1) О, !с=о О, и,!с=о яп — х, и! =о и!, =О.
2х Решение. Граничными условиями являются однородные гранич- ные условия Дирихле. Поэтому собственными функциями в разло- жении (1.4) будут собственные функции отрезка с граничными усло- виями Дирихле (см. гл. П, в 1) хп в„(х) = яп — х, и = 1,2,..., с квадратом нормы 2 2 Собственные значения имеют вид Л„= ('— "), =1,2,.... Согласно формуле (1.4) общее решение начально-краевой задачи на отрезке [О,!] с однородными граничными условиями Дирихле для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями имеет вид лап сгап 1, яп и(х,1) = 7 (срсс сов — 1+ с(с„— всп — ) яп — х+ л 1 ) ОО с яп Г 1, лап + ~ в(п — х ( — вш — (1 — т)Г„(т) Ит, (1.8) „с' лап а=с о где, что следует из формул (1.2) и (1.3), имеем Гл(1) = -',~ У(4,1) всп — "(~К, 1,/ о с 2 Г, лп ср„= — / ср(Я) яп — (с18, (1.9) о 2 Г лп сс„= — / ссс(с)в1п — (с(б.
.-1/ о Поскольку первое начальное условие однородное, у„ = О, а из одно- родности уравнения следует, что Г„(!) = О. В результате из формул (1.8) и (1.9) получим стаи, лп и(х,!) = ~~с с)с„— вгп — ! вш — « где 2 Г 2сгх, стих ( 1 )с = — / в1п — в)п — с(х= ~ 1/ 1 1 (О, иф2. о Таким образом, 1 2ла , 2л и(х,!) = — в1п — ! вш — х. 2ла асс — — а и.л+Ае в1п —, О < х <1, ! > О, 2 -с и/, =О, ис!, =О, и/ =и!,схО. Решение. Воспользуемся формулой (1.8), в которой в силу однородности начальных условий х„= О, с!с„= О, а собственными функциями и собственными значениями являются собственные функции и значения задачи Дирихле на отрезке Ноно и 12 г сгп г~гМ о о„(х) = еш — х, Л„= ~ — ), 1 с лп Г 1, сап и(х, !) = ~~с вгп — х / — вш — (! — т) Г„(т) Ат, 1 ./ лаи 1 л=г о где согласно (1.9) Г„(т) = — / Г(с,т)еш — ос!о = 2 Г .
сгп — ! о 223 Отметим, что решение задачи представляется в виде одного члена ряда. Это связано с тем, что в качестве второго начального условия выбрана собственная функция с!с(х) = оо(х) = е)п 2~к, поэтому в силу ортогональности системы собственных функций все коэффициенты с!с„, кроме коэффициента с)сю равны нулю. 2. Решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на отрезке 0 < х < 1: 2А Г лб сгп (Ае ', и=1, = — е г / всп — всп — б с(б = Ае гбс„— 1,/ 1 ! ~,0, пф1. о Следовательно, с А1, лх Г,, ла и(х,!) = — вш — / е 'вш — (! — т) с!т= сга ! .! ! о А, ла! 1 сга! ) сгх е ' — сов — + — сов — С всп —. (-) ш Отметим, что, как и в задаче 1, решение представляется одним членом ряда с п = 1.
Это объясняется тем, что зависимость от координаты х в неоднородности уравнения задается собственной функцией ос(х) = всп —. 1 3. Найти процесс колебаний однородной ненагруженной струны длины 1 с закрепленными концами, если начальная скорость струны равна нулю, а начальное отклонение имеет вид Лх хо Л(1 — х) ! — хо 0 < х < хо, ус(х) = < х < 1. исс = азиею О < х < 1, ! ) О, и!с =Ю(х), «с!с =О, «~ о=и!, с=О. Решение поставленной задачи записывается с помощью формулы сгп глот в еа(х) = всп х Лп = (1.8), в которой с)с„= О, Г„(т) = О, 2' в 1 2 Г лп ссс„= — 1 ос(х) всп — х с(х = 1! ! о Решение. Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль оси х между точками х = 0 и х = 1. Поскольку по условию струна однородная, то ее линейная плотность постоянна р(х) = ро, а в силу того, что рассматриваются малые колебания, постоянным остается натяжение 2'о.
Начально-краевая задача, описывающая процесс колебаний свободной струны с закрепленными концами, ставится следующим образом: 2 !' Ь, лп 2 !' Ь(1 — х), ггп = — ~ — хвгп — х Нх+ — у! 81п — хг1х = 1/ ха ! — Ха а ие 2Ы . лп вгп — ха, и =1,2,... лвпв(1 — ха)ха 1 Таким образом, 1ГП и(Х,1) = ~~~ 1аи соваги181п — х = 1 и=1 2ЬР т- 1, ггп, ггп 81п хав!п хсовыи! явха(1 — ха) пв 1 1 где ы„= хап/! — собственные частоты струны. Отметим, что в выражении для и(х,г) исчезают слагаемые, для 1ГП которых 81п — ха = О, т.е, отсутствуют обертоны, для которых точка 1 х = ха является узлом. Энергия струны равна сумме энергий гармоник. Подсчитаем энергию и-й гармоники.
Выражение для нее имеет следуюнгий вид; Еи — — ра —" + Та —" Нх, а 2Ы2 1, л.пха, ггпх и„(х,1) = — егп — егп — сов м„1, ггвха(1 — ха) п2 1 1 Энергия и-й гармоники струны состоит из двух слагаемых: кинети- ческой энергии дп 12 фиииееич) ~ » а н потенциальной энергии В процессе колебаний струны происходит постоянная перекачка энергии из потенциальной в кинетическую, причем сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной. При этом, когда кинетическая энергия и-й гармоники достигает максимального 225 значения (струна проходит положение равновесия), ее потенциальная энергия обращается в нуль, и, наоборот, когда потенциальная энергия и-й гармоники достигает максимального значения (струна находится в одном из крайних положений), ее кинетическая энергия обращается в нуль. Поэтому 2Лг1о , япхо Д шах(Е(киметич)) огп — х (г) хопохг(1 — хо)г Г агягпг хпх х /ро шах(соо го„1) о)п — г(х = г г 1г (г) " 1 о а1 г г г япхо = МЛ г яш —, хгпгх~~(1 — хо)г 1 где М = ро1 — масса струны.
Из последней формулы вытекает, что энергия обертонов, для ко1гпхо торых выполнено условие о(п — = О, равна нулю. 4. Решить задачу о малых поперечных колебаниях круглой мембраны У"' радиуса го с закрепленным краем, если начальное отклонение точек мембраны задано функцией ио(г, ~р) = А — соя )о, где А— го некоторая постоянная, а начальные скорости равны нулю.
Решение. Начально-краевая задача, описывающая процесс колебаний мембраны имеет следующий вид: игг = а~Ли, М Е У"', 1 > О, и~, о —— .4 — "сооог, иг~, о=О, и~ =О. Здесь У"' — круг радиуса то, С"' — окружность радиуса го. Ищем решение в виде разложения по собственным функциям задачи Дирихле для круга У"'. Собственные функции и собственные значения имеют вид (см. гл, П, г 5) где рь — корень номера Л уравнения 1„()г) = О. (и) Квадрат нормы собственных функций равен г г — :,о 226 Формула (1.4) для общего решения начально-краевой задачи в круге для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями и однородными граничными условиями Дирихле записывается следующим образом: |.,,,О = ~ ~((о„„-.„ф,„.ь.,) ° р~~, о.
(с) (з) . 1 / (ь) о=~а=о Фоисооп4+ Фо„о1пп~Р . (и) Р~ + йе е в)п а /Ль 1~ У, ( — г) + Л/Л("' го а/„ () . = (," )/ г(.) (1.10) Формулы для коэффициентов разложения следуют из формул (1.2), (1.3) и имеют следующий вид; го 2» (и) И!'и) = ', Ол,,ю.( — "' )1;.""') о о «О 2» (а) ф~~') = — Ф(г,(а) .7„' » г . гас сйр, (1.11) о о ~о 2я Ф(,'„') = Ф(г, (а),ӄ— "г . ~ И~ Иу.
о а Заметим, что индексы с и о соответствуют коэффициентам разложения по косинусам и синусам. Поскольку в нашем случае у(М, () = 0 и Ф(М) = О, из формулы (1.10) получим СО ОЭ уи'"' ~ и = ~ ~(Фь('„)соопУа+Фь„~о)ппр)У„~ ~ г)сова)/Л~~"~1. "=Е го о=1е=о Вычисляя коэффициенты, найдем 2А У (Ьь(')) га [,у'(~(())1 Ф~~,'„о=0 при пф1, 227 Подставляя коэффициенты в разложение решения, получаем окон- чательный ответ: (1) Г (1) 1 и(г,у,1) = 2Асоа~р .(2(рь ) Гр„'1 1 (В го „ , [,Г,'((1(1))] ге где рь~ (я = 1,2,...) — корни уравнения (1) (1) У1(и) =о, ль()= 5. Найти колебания круглой мембраны радиуса ге с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным давлением р = ра а1пш(, приложенным к одной стороне мембраны. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
