А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 25
Текст из файла (страница 25)
209 Рассмотрим примеры построения указанным способом функции Грина для уравнения теплопроводности. 1. Построить функцию Грина уравнения теплопроводности для плоского слоя: — оо < я, у < оо, О < г < 1, если на граничных плоскостях (з = О и г = 1) заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение.
Функция Грина С(М,Я,1), М = (я,у, г), Я = (4 О ь) согласно сформулированным утверждениям будет равна С(М, Я,1) = Се(я, ~,1)Се(у, п,1)С~(з, ~,1), где Со(ам аг,1) = — е 2ач'к1 — фундаментальное рещение (функция Грина) на бесконечной прямой, С~(г,~,1) — функция Грина уравнения теплопроводности для отрезка О < г < 1 с граничными условиями Дирихле при г = О и с =1. Функция С~(г, ~,1) может быть записана в виде ряда по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля; Таким образом, 2. Построить функцию Грина для бесконечного цилиндра поперечного сечения а, если на боковой поверхности цилиндра заданы однородные граничные условия Дирихле. Решение.
Функция Грина С(М, г, Я,~,1), М=(х,у), Я=((,г1) имеимеет вид С(М... д, Г, 1) = Се(.,С,1)С,(МА, 1), где Со(~,~,1) =— 2а~/х1 С~ (М, 0, 1) — функция Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в области н. Функция С~(М, Я, 1) может быть записана в виде С~(М,1~,1) = ~е ' " е„(М)е„(Я), п=1 гто где (о„(М)), — ортонормированные собственные функции задачи Дирихле для оператора Лапласа в области а, (Л„), — соответствующие им собственные значения. Таким образом, С(М,г,Я,~,1) = е ~[ ) )е а ~"'о„(М)о„(Я).
2а1/л1 3. Построить функцию Грина для четверти пространства; 0 < < х,у < оо, — оо < г <оо. На координатных плоскостях х = 0 и у= 0 заданы однородные граничные условия Неймана. Решение. Функция Грина С(М,Я,1), М= (х,у,г), О= ((,0,~) имеет вид С(М, 1~, ~) = 02(х,5,1)02(у,0, 1)0о(г,(М, где Со(г, ~, 1) = — е~ 2 а 1/лт Сг(ог,ог,т) = — [е ' ' + 2 а 1/лг — е «.')[ (е ~~.й +е ай ) (2а1/л8)з [ — "~-'+ -" ') С(М, Я,1) 1 е. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.
Решить начально-краевую задачу на отрезке: и, = и, х Е (0,5), 1 Е (О, +со), и(х, 0) = О, х Е [0,5], а(О,С) = 2й, и(5,й) =О, Ф Е [О,+оо). 211 — функция 1 рина уравнения теплопроводности задачи Неймана на полупрямой. Следовательно, 2. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: и1 — — и~~, х Е (О, 1), С Е (О, +оо), и(х, 0) = 1, х Е (О, 1), и(О,С) = 2, и(1,С) = 3, С Е [О, +со).
3. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: ис = игл, х Е (О, 1), С Е (О, +со), и(х, О) = О, а' Е [О, 1], и(О,С) = 3(1 — е '), и +и =О, х = 1, С Е [О,+со). 4. Решить начально-краевую задачу в единичном круге: ис —— Ьи, г Е (0,1), гр Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(г, у, 0) = т в(п р, т Е [О, 1], 1о Е [О, 2л], и(1,ср,С) = О, у Е [0,2л], С Е [О,+со). 5. Решить начально-краевую задачу в круге: и~ —— с5и, г Е (0,5), р Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(т, ср, 0) = О, г Е [О, 5), Со Е [О, 2л], и(5, 1о, С) = 8, ~р Е [О, 2л], С Е [О, +оо). 6.
Решить начально-краевую задачу в круге: и1 = а Ьи, т Е (О,го), гр Е [0,2л], С Е (О,+оо), и(г, ~р, 0) = (Со, г Е [О, го), у Е [О, 2л], и (го,гр, С) = Л((Го+ аС вЂ” и), 1о Е [0,2л], С Е [О,+со). 7. Решить начально-краевую задачу в круговом кольце: ис = а~Ли, т Е (гс, гт), ~р Е [О, 2л], С Е (О, +со), и(г, Р, 0) = (Го, г Е (гм гт), У Е [О, 2л], и„(гю1т,С) — Л|и(зс,Со,С)=0, 1рЕ[0,2л], (гюСг,С) + Лти(гр,~рС) = О, С Е [О,+оо).
8. Решить начально-краевую задачу в шаре: и,=а Ьи, МЕК"', СЕ(0,+оо), и(М,О) = (Со, М Е К"', и,[ = Л((Го+ аС вЂ” и), С Е [О,+оо). 9. Решить начально-краевую задачу в шаре: и~ = Ьи, М Е К , 1 Е (О, +со), и(М, 0) = 1, М Е К, и! з = 2, С Е (О, +со). 10.
Решить начально-краевую задачу в шаре: и, = Ьи, М Е К, 8 Е (О, +со), и(М, 0) = О, М Е К, и„/ = Рт (совв)з)пу. 11. Решить начально-краевую задачу в шаре: ие — — Ьи, М Е К , С Е (О, +со), и(М, 0) = О, М Е К~, (и, + и)( = 5, 8 Е (О, +оо). 12. Решить начальную закачу на бесконечной прямой: иф —— 1~и~~, х Е Й, 1 Е (О, +оо), и(х,О) = е ' *, х Е Й . 13. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и~ — — ~и„, х ЕЙ, 8 Е (О,+оо), и(х,О) = е ' зшх, х Е Й'. 14. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ис = ихх, х Е Й, 1 Е (О, +оо), и(х,О) = хе ', х Е Й~. 15.
Решить начальную задачу иа бесконечной прямой: и, = и +вша, х ЕЙ~, С Е (О+со), и(х,О) = е ', х Е Й~. 16. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ис = и„, х Е Й, С Е (О, +ос), и(х,О) =зш2х, х ЕЙ'. 17. Решить начально-краевую задачу на полупрямой; и6 — — а и»» — Ле "~, Л>0, и(х,О) = О, х б )й+, и(0, С) = СУо, С Е (О, +оо). хаий~, С Е(0,+со), 18. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и6 = аги,, х Е )»~, С б (О, +со), и(х, О) = О, х Е )и~, и (О, С) = — о, С Е (О, +оо).
19. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и6 = а и, — Л(и — СУг), х Е )»+, С Е (О, +оо), и(х,О) = СУ1, х б )а~, и(0, С) = СУо, С Е (О, +со). Ответы. 60 — «» В *6 «»» 1. и(х,С) = г(5 — х)С вЂ” ф у -„)в(1 — е ('»Ув) ')вгп — '"*. »=1 2. и(х,С) = 2+ х+ г 2 г( — ~~:-~е (») 6вгпяих. «=1 3. и(х, С) = 3(1 — е ') (1 — Яг) + + 6 ~,' -„-+-1)-+"г(е " 6 — е ')вгп)6»х, »=1 16«)1 1 (6«) 4.
и(т,у6,С)=2 ~„е 1«) ' ' ' 'вгпоо, 1 ) '6Уг()61 611(р1 т) »6=1 )6(1 ) (,У(()6~ ))) где,У1()61 ) = 0 (та = 1,2,...). Уо (н" ат) 5. и(т,С) = 8+16 2;,в е 1""Ув) ' »= и'УоЬ.) где,Уо(р») = 0 (и = 1, 2,... ). где е Уо()6») + ЛУо(р») = 0 (и = 1,2,...). 214 6. 6,6)=6 6 66 6 —.1: "6-) .=1 Р'. Уо(Р») (и.' + Л'то) Глава 6 ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа используются при рассмотрении колебательных процессов различного вида.
В данной главе изучаются методы решения начально-краевых задач для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами в основных областях, как ограниченных, так и неограниченных. Пусть задана ограниченная область Р с кусочно-гладкой границей о. Начально-краевая задача для уравнения колебаний в области Р заключается в определении в цилиндре Я = Р х [О,оо) функции и(М, 1), удовлетворяющей уравнению колебаний, двум начальным и граничному условиям: и„= азии+ у(М,~), (М,~) б г) и/, = у(М), ис!, = Ф(М), ,ч + )у~!з р(Р, 1) [ген [а[+ффО, где и — внешняя по отношению к области Р нормаль к поверхности Я. Поставленная начально-краевая задача является математической моделью процесса колебаний объема Р в отсутствие сопротивления под действием внешней силы, распределенной в пространстве и времени с плотностью р(МЩМ,~), где р(М) — плотность тела Р, с заданными начальными условиями и режимом на границе.
Классическим решением начально-краевой задачи для уравнения колебаний называется функция и(М, 1), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре Ь), имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре Я,,„удовлетворяющая в Я, уравнению, двум начальным условиям и граничному условию. Если граничное условие является условием Дирихле (о = О), то непрерывность первых производных по М в замкнутом цилиндре не требуется. 217 Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода (третья краевая задача ф+Сси~ = Сс(Р, С), Р Е д при Сс > 0) имеет единственное классическое решение. Для сушествования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнения условия согласования начальных и граничного условий следующего вида: а — +ду)з — — Сс(Р,О)(р з, а — +дФ)з =Ссс(Р,О))геж Если функции 1(М, С), ср(М), сссс(М), Сс(Р, С) удовлетворяют определенным условиям гладкости, то начально-краевая задача имеет классическое решение, в случае меньшей гладкости задача может иметь обобшенное решение.
Начально-краевые задачи для уравнения колебаний в неограниченной области будут рассмотрены ниже. Как было показано в гл. 1, можно провести редукцию общей начально-краевой задачи и представить ее решение в виде суммы и(М,С) =ис(М,С)+иг(М,С), где ис(М,С) — решение неоднородного уравнения с неоднородными начальными н однородным граничным условиями имс —— агс.'сис+ 1(М, С), (М, С) Е С"У и ~с с=С(М), и ), с=йМ), дис а — +дис~ =О, дп а иг(М, С) — решение однородного уравнения с однородными началь- ными и неоднородными граничными условиями игсс = а ссиг, (М,С) Е Се' и /с =О, игс!, =О, д +д" 'й =р(Рс))е,' 5 1. ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ С ОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ исс = а сап+1(М,С). (М,С) Е СУ и!с е = ~(М), ис1с а=4(М), а — + Суи / = О, /а / + ф ф О, а, Сс = сопзС .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
