А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Общая схема решения таких задач, как указано в гл. 1, заключается в следующем. Решение задачи ищется в виде и(М, С) = и(М, С) + ю(М, С), где з(М, С) — новая неизвестная функция, а функция ш(М, С) выбирается так, чтобы она удовлетворяла заданному граничному условию о — + СУка = р(Р, С), Р Е д, С Е [О, +со).
дю Для функции з(М, С) получается следующая начально-краевая зада- ча: ам = а'С) и+1(М,С), (М,С) Е С;С.„ з(М,О) = — ш(М,О), ис(М,О) = — ик(М,О), М Е Р, а — + СУи = О, Р Е о', С Е [О, +со) ди дп где,~(М, С) = агкктю(М, С) — юи(М, С). Решение этой задачи было рас- смотрено в предыдущем параграфе. 237 дгге = О, М Е П, о — +СЗге=Сг(Р,С), Р ЕЯ, СЕ [О,со). дп, (2.1) дп Однако в случае граничного условия Неймана задача (2.1) может не иметь решения. В этом случае функцию ег(М,С) нужно выбирать другим образом. Рассмотрим примеры решения конкретных задач с неоднородными граничными условиями. 1. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке с неоднородным граничным условием игг = и„, х Е (0,4), С Е (О, +со), и(х, 0) = ап —, х Е [О, 4], иг(х,О) = О, и(О,С) = О, и(4,С) = 1, С Е [О,+со).
(2.2) Решение. Будем искать решение задачи (2.2) в виде суммы и(х, С) = е(х, С) + ш(х, С), где в качестве ег(х) выберем функцию ег(х) = —. Легко видеть что 4 так выбранная функция ег(х) удовлетворяет граничным условиям задачи (2.2). Для функции е(х, С) получается следующая начально-краевая задача: еп = е~~, х Е (0,4), С Е (О,+оо), е(х, 0) = ап — — —, х Е [0,4], е,(х,О) = О, е(О,С) = О, е(4,С) = О, С Е [О,+со) (2.3) Решение задачи (2.3) можно выписать сразу, используя формулы (1.8) и (1.9): япС, япх е(х, С) = ~~~ го„соз — ап —, 4 4 где 4 4 1 (' Сг, ~г~ ( 1, япб 1 С'/ яб б'г .
хпс 1о„= — ап — — — згп — гС~' = — [ [ 1 — соз — — - [ ап — гСб = 2г' ~, 8 4г' 4 4./ [, 4 2] 4 о о 238 Функция ге(М, С) определяется неоднозначно. Поэтому ее нужно стремиться выбрать так, чтобы уравнение для функции е(М, С) имело наиболее простой вид. Удобно в качестве ге(М, С) выбирать гармоническую функцию по пространственной переменной М, зависящую от параметра С: 2 (Гс = 1, 2,...). сгп ~ —, п=21с лп' Итак, 1 уга-г = О, 1сга = — (Сс = 1,2,...) л(с 1 л- 1 л(сС, л/ся и(х, С) = — ~ — соа — зсп— сг ~ lс 2 2 Следовательно, решение задачи (2.2) имеет вид х 1 л- 1 л(сС .
л(сх и(х, С) = — + — з — соз а1п —. 4 я~~/с 2 2 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке с неоднородными граничными условиями исс — — и ~, х Е (О,л), С Е(0,+со), и(х,О) = О, ис(х,О) = япх, х Е [О,л], и(О,С) = С~, и(л,С) = Се, С Е [О,+со). (2.4) Решение. Будем снова искать решение задачи (2.4) в виде суммы и(х, С) = э(х, С) + са(х, С), где функцию из(х, С) выберем в виде ю(х,С) = 1 — — ~С + — С . х 2 х 3 х з бхС исс — — и з — 2 1 — — / — —, х Е (О,сг), С Е (О,+оо), и(х, 0) = О, ис(х, 0) = яп х, х Е [О, сг], и(О,С) = О, и(л,С) = О, С Е [О,+оо).
(2.5) С помощью формул (1.8), (1.9) решение задачи (2,5) записывается следующим образом: 1, . Г япи(С вЂ” т) и(х, С) =. ~~ — ф„яппСяпих+ ~~ яппх / Г„(т) сСт, и" ,/ и «=1 а=1 о Функция са(х, С) удовлетворяет обоим граничным условиям задачи (2.4). Для функции и(х, С) получается начально-краевая задача для неоднородного уравнения колебаний: где гд«ее — / вгпбвйпибгй( = ~ ][ О, п 1й 1, о ~1(т) = — — / ~2(1 — — ) + — ) вгпи(гйб = — — (3( — 1)"+'т + 1), яп о вгп п(й — т) 4 Дп (т) гйт = — — й вгп п(й — т) (3( — 1)" +'т+ 1) гйт = и хпз / о о = — (совий — 1+ — ( — 1)" агний+ 3( — 1)"С).
з „+,, „ив и Таким образом, о(х, й) = вгп хе(ай+ — ~~1 — (совий — 1+ — ( — 1)" езп ий+ 3( — 1)" й), 4 1 з „+,, ,13 и «=1 и, следовательно, решение задачи (2.4) имеет вид и(х,С) = 1 — — )й + — й +вгпйвгпх+ х11 ха 4 з „+,, ейп их + — ~~~ (совий - 1+ — ( — 1)"+ агний+ 3( — 1)"С) —. я и из «=1 3.
Найти колебания газа в сферическом сосуде радиуса го, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента С = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда и равны Р„(сов д)й (й), где ДО) = й*'(0) = О, и > О. Рассмотреть случай Я) = Айй, И ее 3. Решение. Введем сферическую систему координат, совместив ее начало с центром сосуда. В силу условия задачи потенциал скоростей и частиц газа не зависит от угла го и для него получится следующая начально-краевая задача: игг = а гзгеи, г Е (О,го), д Е (О,я), С Е (О,+со), и(г,д,О) = О, иг(г,д,О) = О, г Е [О,го], д Е [О,гг], (2.6) иг(го, д, С) = Р„(сов д)У(й), д Е [О, гг], С Е [О, +со), где гео Будем искать решение задачи (2.6) в виде суммы н(т, В,С) = е(г,В,С) + ш(г,В,С), где в качестве функции ш(г,В,С) выберем произведение шаровой функции т"У„(0,1о) = гпРп(совВ) на функцию ДС) с коэффициентом С; ш(т, В, С) = СтпРп(сов В)~(С).
Коэффициент С определим из граничного условия при г = го.. ш„(го, В, С) = Сптп-'Рп(сов 0)1(С) = Рп(сов В) У(С), откуда тп ш(г,В,С) = „,Р„(совВ)Щ. Функция ш(г, В, С) при п > 0 является решением краевой задачи при С Е [О, +со): СЬтвш = О, г Е(О,го), В Е(О,я), шп(то, В, С) = Рп (сов В)~(С), 0 Е [О, и]. Для функции е(т, В, С) получается начально-краевая задача для не- однородного уравнения колебаний с однородными начальными и гра- ничными условиями: ем = а~йв,ве — и Рп(сов 0), 2 т У (С) т б (О, го), В Е (О,я), С Е (О, +со), и е(г, В,О) = — и Рп(совй)с'(О) = О, пт", и е~(г 0,0) = — „,Рп(совд)~'(0) = О, г Е [О,го], 0 Е [О,и], и'о е„(го, В,С) = О, В Е [О,и], С Е [О, +со).
(2.7) )тву(т, В) = —,!с+с!С~ ' и г) Рс(сов В) (Св = 1,2,..., ! = О, 1,...), ~/т то Решение задачи (2.7) записывается с помощью формул (1.14), (1.15). Собственными функциями являются собственные функции шара, ко- торые при отсутствии зависимости от угла 1о имеют вид (см.
гл. 11, в 13) /с — /с-й корень характеристического уравнения (О » (О в (О ' (О /с» 7/+ц2(/с» ) У/чц2(/с» ) = О. 2 Квадрат нормы собственной функции равен 2 га/ 1(1+1) ( 2 (/) 2 ИЛ вЂ” — ( 1 — (,), ! //+ (2(р» ), ь )'у + Учитывая вид неоднородности в уравнении задачи (2.7) Г(г,д,() = — л Рл(совд), тл ул(() отца получим, что в разложении присутствуют только собственные функ(») ции с 1 = п.
Так как Л/Л» (л) /с» то ' (л) (л) уи» с . » в)п — (С вЂ” т) (,вв)=2 в„( .в)) ",, вв»()в, то где (л) 1 "' ~-+Ц( — "; ), Гл»(т) = / / Р(г,д,т) го г~зтдс(гс(0= ж,.~('(.) ' ' л а а — .7» / 2 — "т тл+ / ((г Р„(созд)в)пд(10= а о +в/в (л) 2 ~вв(() 7 ) /л+3/5(/с» ) 2»+2 з(г (л) (л) (Р(л))' — ( + 1) /„'»ц,(Р~"~) Таким образом, 2аг~~ и(т,д,() = — Р„(совВ)х и ~/г (л) , [(/с("))2 — п(п+ 1)],/2», (р(л)) ./ го и ответ задачи (2.6) имеет вид г" 2аго и(г,В,С) = „Р„(совВ)С(С) — — оР„(совВ) х иго п~/г (») 1(Р(»)) 3 — п(п -(-1)~ у2 (Р(»)) I го (2.8) где Р„Я„+,Сз(рв ) — -У»+с(з(рв ) =О (Со = 1,2,...).
(») р (») (») В случае ДС) = АСз, и = 3 имеем уи(С) = 2А и, вычисляя интеграл, получим „3 и(г, В,С) = — Рз(сов й)С(С)— Згоз 7/2 о» ( )(сов — »в С 1) 1 ( (3)) (3) 4. Найти колебания газа в сферическом сосуде радиуса го, вызванные гармоническими колебаниями его стенки, начавшимися в момент времени С = О. Скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда, а величина скоростей равна Асовдв1пыС. Решение. Воспользуемся формулой (2.8) решения предыдушей за- (С) дачи, учитывая, что сов В = Рс(совд), и положив и = 1, рв = рв Я) = Ав)вы(.
Подсчитаем интеграл с 1 1=) Г~'Ъ""»О-О~ =л о о Поскольку можем записать Аыз, м — апв ш+ арв 1 = в(п (сов м — а/.ц Аыз , ы + аив м — аив 31п С сов ы+ арв Таким образом, решение задачи имеет вид и(т,д,/) =Ас совд81пас/— т ы-а,ц, 2 /Рв 1 шп~/ — арв раув/2(рв) '/' т ш + арв 2 ) рг — 2,/32/ (рв) и(т,д,/) = )пп и(т,д,/) = Атсовдвтшв,/в а парр ,/ — "т р„./3/2(рв ) 3/2 ~,— тт/ — сов д сОБ оса р 2 2Ато со8д х 81П 2(/Цсп Рв)с Сев 2 (Рап + Рв)с Рв /3/2(~Цс) /РРЕ Х 2 2 гг 2 .~3/г~т /+ в~-с (Рв Р„)(Рг 2) 332/2(Р„) ( то / ваап 2Ато/ осг + совд х т ~ Вгн г (Рвп + Рв)ССССБ (Рап РВ)р РВ /3/2(РБ) //Са х~ 2 2 /3/2 (,~.
"/ ° (рв + рв)(рг 2) /32/2(рв) (то /' Таким образом, как это следует из последней формулы, при резонансе в отсутствие поглощения амплитуда растет линейным образом с течением времени. 5 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЕРАВНЕНИЯ КОЛЕВАНИЙ НА ВЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ Начальная задача (задача Коши) для уравнения колебаний на бесконечной прямой Ж~ с постоянными коэффициентами заключается в определении в области Й = Й' х [О, оо) функции и(х,/), удовлетворяющей уравнению колебаний и двум начальным условиям: асс = ага„+ У(х,/), (Хс 2) б П: — М~ Х (О, ОО), Из формулы (2.9) вытекает, что если частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой сферического сосуда (ас = сов, = = арап), то возникает явление резонанса. Переходя в формуле (2.9) к пределу при ас-+ оса, получим и~ = ~р(х), .
1,,=и*) (3.1) КлассическиМ решением задачи с начальными условиями называется функция и(х, С), непрерывная вместе со своими первыми производными по С в замкнутой области Й, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области Й, удовлетворяющая в Й уравнению колебаний и при С -+ О начальным условиям. Коли функция р(х) дважды непрерывно дифференцируема, функция ч1(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой Ск1, а функция с'(х, С) непрерывно дифференцируема в области Й, то классическое решение задачи (3.1) существует и единственно. В случае меньшей гладкости функций р(х), ф(х) и С (х, С) начальная задача (3.1) может иметь обобщенное решение. Учитывая линейность задачи (3.1), можно провести ее редукцию и представить решение и(х, С) в виде суммы решений двух задач: и(х, С) = и1(х, С) + из(х, С), ии — — а и„, (х,С) ЕЙ, и/ = ~р(х), ид! = р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
