А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными начальными условиями и однородным граничным условием Дирихле исс = а~и„+ Г(х, С), х > О, С > О, (4.19) и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и(О,С) = О. Г(х,С), х>0, Г(х, С) = - Г(-х, С), х < О. Рассмотрим формулу (4.1) при (о(х) = 0 и сс)(х) = 0: с +а(с- ) и(х,С) = — / с(т / Я,т)с(с. 1 2а с О х-а(с-т) Выразив функцию Г(х, С) через Г(х, С), получим: С х+а(С вЂ” т) о 0(х,() = — / с(т / Г((,т)с(4+ — / с(т / Г(~,т)с((4') = 1 Г Г 1 Г о о О х-а(с-т) 263 Воспользуемся леммой. Аналогично задаче (4.8), для того чтобы ре- шение задачи (4.19) можно было представить в виде (4.1), функцию Г(х, С) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным обра- зом: с х+а(С-т) с Π— ССт Я т) с(4+ с(т Я т) СС~ О $х-а(с-т)$ О О Полученную формулу можно записать в более компактном виде: С х+а(С-т) 1 Г й(х,С) = — ( с(т Г((,т)СС(. 2а / (4.20) О )х-а(с-т)$ исс — — а пах+ах,С), х>0, С>0, и(х,О) = О, ис(х,О) = О, их(О,С) =О.
(4. 21) Воспользуемся леммой. Аналогично задаче (4.12) продолжим функ- цию Г(х, С) на отрицательную полуось четным образом: (' Г(х, С), х > О, Дх,г) = ~Д вЂ” х,С), х<0, и запишем формулу (4.1) при (О(х) = 0 и с(с(х) = 0 С х.(.а(с-т) й(х,С) = ' /'4т /' Я,т)4(. О х-а(С-т) Выразив функцию Г(х, С) через Г(х, С), запишем решение задачи (4.21) в виде следуюшей формулы: С х+а(С-т) $х-а(С-т)$ 1 .С*, С = — / с. ( )' ССС, .С СС -с (.
†.С -.О )' ССС, С СС) . 2а,/ (4.22) 6. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на полуограниченной прямой с граничными условиями третьего рода: и„= азиею х > О, С > О, е(пт)к, О < х <1, и(х, 0) = О, 1<х<оо, ис(х,О) = О, и,(О,С) — )си(О,С) = О.
(4.23) 5. Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний на полупрямой с однородными начальными условиями и однородным граничным условием Неймана Решение. Задача (4.23) совпадает с задачей (4.14) при «!«(х) = О. Воспользуемся формулой (4.18). Пусть О < С < —.
Тогда «р(х+ аС) + гр(х — аС) 1 Г . гг(х+ аС), гг(х — аС) 1 и(х, С) = 2 21 ! = — ~81П + 81П ! = Вгн — СО —. (4.24) Пусть — < С <, тогда О < аС вЂ” х < ! и согласно (4.18) и (4.23) х х+! а — — а в-аг и(х, С) = + Ле"1* '11 / е ~'«р(-») «С». (4.25) 2 о Вычислим интеграл, сделав в нем замену» — 1 — »: «-аг аг-в е *гр(-») «С» = — / е '«р(») «С». о о Используя формулу / еав е««в вш )2» «Сх (а вгп )1х — !3 сов СУх), (4.28) ,22+ Р2 которую легко получить двухкратным интегрированием по частям, получаем аг-е аг-» ь« е"' г', и» !г в»1 е 'вш — гС» = Л вш — — — сов— Лв+ (~)' !2 ь „ , 1 .
1г(аС вЂ” х) х я(аС вЂ” х) ) гг! — — сов )+ в (х + аС) гг2 — Ь»Р, гг(аС вЂ” х) и(»,С) = -вгп + вш + хЬ! 8(аг — х) хЬ! ~2+ Ь»Р ! ~2+ Ь212 Пусть, наконец, *+ < С < оо. Тогда в силу (4.18) и (4.23) решение снова записывается в виде (4.25), где интеграл с помощью замены приводится к виду в-аг «1-а ! е- ««р(»! г!» ~ е ««р(») «!» ~ е ««р(») г!» о о о 265 поскольку уг(х) = 0 при 1 < х < аС вЂ” х. Используя снова формулу (4.26), получаем /'-= г г г (е + 1), ы хх к! лг 3 + е и окончательно а(х, С) = 8!п — сов — + ггаС ггх ггЛС лг ьС -ег1 1 1 кт+ Лт1т (е + 1)е Объединив все три случая, можно записать ответ задачи (4.23) сле- дующим образом: ггх каС е)п — сое —, О<с< —, х>О, 1, гг(х + ас) кт — Лз!т, я(ас — х) 2 1 2(ят + Лтсг) 1 яЛ! к(аС вЂ” х) яЛ! ь(, „1 яз+ Лт!з 1 яс+ ЛС1т х х+! — <С<, х>0, асп — сов — + ггаС ггх лЛ! и л,,г ! „г+ Лг!г (е + 1)е 1~ ' 1, — <С<оо, х>0.
х+1 а и(х, С) = агг = ага, х > О, С > О, и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, и(0, С) = р(с). (4.27) 2. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями. Для решения начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа на полупрямой в случае неоднородных граничных условий рассмотрим метод интегрального преобразования Фурье и метод распространяющихся волн. Общая схема метода интегрального преобразования приведена в гл. 1, С 4. Общая схема применения метода распространяющихся волн изложена в предыдущем параграфе.
В данном пункте рассмотрены конкретные примеры решения начально-краевых задач для уравнения гиперболического типа на полупрямой с неоднородными граничными условиями методом интегрального преобразования Фурье и методом распространяющихся волн. 1. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородным граничным условием Дирнхле а) Решим задачу (4.27) методом интегрального преобразования Фурье. Применим синус-преобразование Фурье с ядром К(х, у) = /2 =д — з1пЛх.
Обозначим через ЦЛ,С) синус-образ Фурье функции и(х, С). Предположим, что выполнены условия существования интеграла Фурье, функция и(х, С) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -+ оо, а интеграл для П(Л, С) можно дифференцировать под знаком интеграла по переменной С. Умножим обе части однородного уравнения колебаний на ) с — в)пЛх /2 )/ л и проинтегрируем по х от О до со; 42ЦЛ,С) г Г2 Г дги = а ~ — ( — о(пЛхоСх.
422 — Ч / Охг о Проинтегрируем интеграл в правой части, учитывая граничное усло- вие задачи (4.27): а ~ — ( — огп Лх ах = а 2,С вЂ” Лд(С) — а Л П(Л, С). 2 2 ')С л / Яхг о Отсюда, учитывая однородные начальные условия задачи (4.27), по- лучаем следующую задачу Коши в пространстве образов: 4Хс 2 — +а Л П=а 17 — Лр(С), С>О, г г г т' л (С(Л, О) = О, (7,(Л, О) = О. Решение этой задачи легко выписывается с помощью импульсной функции г )2 с П(Л, С) = а|„С вЂ” ( еСп аЛ(С вЂ” т)С2(т) 47. о С помощью формулы обратного преобразования Фурье вернемся в пространство оригиналов: 72 1 и(х,С) = )С вЂ” / ЦЛ,С)в)пЛхИЛ= о г со 2а Г = — / о(п Лх о(п аЛ(С вЂ” т) НЛ р(т) ат.
о о 267 Используя формулу 2ип Лх вьпаЛ(С вЂ” т) = сов Л(х — а(С вЂ” т)) — сов Л(х+ а(С вЂ” т)), получаем 1à — / сов Л(х — а(С вЂ” т)] сСЛ— о 1 à — УС сов Л(х+ а(С вЂ” т)] сСЛ. о 2 Г, — / вспЛхвспаЛ(С вЂ” т) сСЛ = о Поскольку разложение б-функции в интеграл Фурье имеет вид Ю(х — 4) = — ( ес С* 41 с(Л = — / совЛ(х — 4) сСЛ, 2сс у я — СО о получаем 2 Г . — / всп Лх всп аЛ(С вЂ” т) сСЛ = о(х — а(С вЂ” т)) — о(х+ а(С вЂ” т)). о Так как О < т < С, при х > О Б(х+ а(С вЂ” т)) Сс(т) сСт = О. / о Отсюда С и(х, С) = а / Ю(х — а(С вЂ” т)]Сс(т) сСт = о ЬС О, / о(х ь)СЬ(С вЂ” — )сСЬ = / а Сс о О <С < —, х х) х (4.2о) и(х, С) = Г(х — аС), 268 б) Теперь решим задачу (4.27) методом распространяющяхся волн.
Так как в силу однородности уравнения и начальных условий задачи (4.27) единственной причиной возмусцения является определенный функцией Сс(С) краевой режим, решение можно искать в виде правой бегущей волны: где у — некоторая достаточно гладкая функция. Для определения вида функции у воспользуемся начальными и граничными условиями задачи. Из первого начального условия получим и(х,О) = у(х) =О, при х > О. Тогда второе начальное условие также выполняется: и~(х,О) = — аС'(х), при х > О. Используя граничное условие, доопределим функцию С(х) на отрицательной полуоси: и(0, С) = у( — аС) = д(С). Таким образом, обозначив аргумент функции с' через х, получим О х>0, р( — — ), 2<0 и, подставив х = х — аС, окончательно найдем Мы снова получаем формулу (4.28).
Отметим, что формула (4.28) имеет простой физический смысл. Для точки полупрямой, расположенной от конца х = 0 на расстоянии х, для моментов времени С < х/а возмущение равно нулю, поскольку в силу конечности скорости распространения возмущение не успевает достичь этой точки. При С > х/а возмущение, заданное на конце х = 0 и представляющее собой правую бегущую волну, доходит в эту точку. Форма профиля возмущения определяется функцией р(С) граничного условия задачи (4.23).
2. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием Неймана ин — — аэи, х > О, С > О, и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, и (О,С) = и(С). (4.29) Для решения задачи применим косинус-преобразование Фурье с ядром К(х, Л) = ЛС вЂ” соэ Лх. Обозначим через ЦЛ, С) косинус-образ Фурье функции и(х, С): ЦЛ, С) = — и((, С) сов Л(4(. о 269 Сделаем те же предположения, что и при решении задачи (4.27). Умножая обе части однородного уравнения колебаний на с,с — сов Лх и 72 Л/- интегрируя по х от 0 до оо, используя граничные и начальные условия задачи, получаем задачу Коши в пространстве образов: — +а Л (с'= — а суС вЂ” м(г), с>0, с(гсс' г г г С2 сс'со (7(Л, О) = О, ис(Л, О) = О.
Решение задачи Коши записывается с помосцью импульсной функции следующим образом: с РО2вспаЛ(йт))т о Применив обратное преобразование Фурье, получим выражение для решения и(х, с) начально-краевой задачи (4.29); С сс с. у[ с.и сСа —,С с* ) о о Используя формулу 2вспаЛ(с — т) сов Лх = вспЛ[а(г — т) — х] +зги Л[а(с — ) + х1 и интеграл Дирихле 2' О, о внутренний интеграл в правой части формулы для и(х, с) приводим к сумме интегралов вида 270 вся л[а(г — т) х х] 1 НЛ = Л о при а>0, при а=о, при а<0, — при а(с — т)~х>0, О, при а(с — т) 1х = О, — при а(с — т) 1 х < О. 2' Учитывая, что 0 < т < С, с помощью последней формулы получаем 1 эщ аЛ(С вЂ” т) соэ Лх х Л НЛ = я при т < С вЂ”вЂ” а о Б)п аЛ(С вЂ” т) соя Лх х ИЛ=О при т>С вЂ” —.
Л а о Подставляя эту формулу для и(х, С), окончательно находим О, 0<С < —, и(х, С) = — а / и(т)ат, С > —. а о Замечания. Мы решили задачу (4.29) методом интегрального преобразования Фурье. Совершенно аналогично тому, как это было сделано при решении задачи (4.27), задачу (4.29) можно было решкть методом распространяющихся волн. В качестве упражнения читателю предлагается получить формулу (4,30) этим методом.
Физический смысл формулы (4.30) аналогичен физическому смыслу формулы (4.28) для граничных условий Дирихле: до точек полупрямой, расположенных на расстоянии х, возмущение за время С < х/а не успевает дойти. Задача (4.29) является математической моделью задачи о малых продольных колебаниях упругого полубесконечного стержня. С физической точки зрения граничное условие второго рода означает, что к концу х = 0 приложена заданная сила )(С) = а(0)и(С), где х(0)— значение коэффициента упругости в точке х = О. Пусть теперь заданная сила действует на конце стержня х = 0 в течение конечного промежутка времени (СыСс), где Сс > О, т.е. функция и(С) является финитной: (4.30) Тогда из формулы (4.30) следует, что О<С <С + —, О, я е-— а х х — а / й(т) Й", Сс + — <С < Со + —, и(х,С) = х С > Со+ —.
а м х Из этой формулы вытекает, что в моменты времени С < Сс +— а возмущение в точке х равно нулю, т.е. в эти моменты времени влияние в точке х граничного условия не сказывается: возмущение не успевает дойти до точки х. В момент времени С = Сс + — в точке а х возникает возмущение, которое зависит от С до момента времени х С = Ст + —. Начиная с момента времени С = Сз + — в точке х устанаа а вливается возмущение, не зависящее от времени, — система выходит на стационарный режим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
