А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 34
Текст из файла (страница 34)
292 эквивалентно условию; )66 является собственным значением следую- щей задачи Штурма — Лиувнлля для круга: 5 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ йои = О ВНЕ КРУГА Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Ьи+ »ли = О на бесконечности нужно поставить дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну. Па плоскости условие излучения имеет внд либо ди . /1 — — йи =о~ — /) при т-~ со, (,/,) (3.1) либо ди . (1 — + йи = о~ — /) при т -+ оо. дт ~,,/т/ (3.2) И то и другое условие выделяет единственное решение, но зтн решения различны. Рассмотрим, например, следующую задачу вне круга: Ьи+)о~и=О т>а, дт ди .
(1 — — йи = о( — ( при т — + со. дт (,л/т,) Заметим, что коН» (яа) — ВН„(йа) ф О при действительных йа, ВР В) о и д при всех и = 0,1,...,оо. Подстановка в граничное условие позволяет определить коэффициенты А» и В„; 1 — / Ц)о) соо пу ~Бр, и ~ О, о 2» 1 //()о)д~, о 2» 1 ( — 1 /()о) ощ п)о д)о. о А — У( ) Ао =/о 1») (3 А) В„= ~~*) 293 Решение поставленной задачи следует искать в виде разложения в ряд по системе решений (1.6), удовлетворяющих данному условию излучения: Н~1 )(йт) и = ) П), " < ) (А„сезар+В„о1ппу).
(3.3) »-о ойН» (аа) — дН» (йа) Решение краевой задачи с условием на бесконечности вида (3.2) выражается через решения (1.7). Например, краевая задача Гэи+ )с~и = О вне круга; г > а, и~ = Д(о), ди, /1 ( — + с(си = о~ — у( при г -+ со.
дг ~„/г) имеет решение (е) Н( )(/са) „1 Н( ~((са) Н,")(йг) " Н(')(Ь) и = Ао о ) + ~ ~" (А соэтиР+ Вн э(пп(о), (3.5) Но' ()са) =1 Н"' ("а) где коэффициенты А„и В„определяются формулами (3.4). При изучении поведения функций Н„(х) при и -+ оо следует (1) учесть, что формула Н(')(х) — ( — (- ), и > О ,1'(и) ) х1 " е-ее к (,2 ) (3.6) определяет поведение функции Ханкеля не только при малых х, но описывает поведение Н„(х) и в том случае, когда и » х, т.е.
при (1) фиксированном аргументе х и и -+ со (на доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе, где можно найти более тонкие оценки' )). Отсюда следует, что Н(')(й.) Ы" при и -+ со. Н( )((са) (3.7) Эта оценка обеспечивает сходимость ряда (3.5) всюду вне круга (при г> а). Скос йеиссон Г.Н.
Теория бесселенмк функций. Ч. 1, 11. Мс ИЛ, 1949. 294 гДе Гя' и Д' выРажаютсЯ чеРез гРаничнУю фУнкцию У((о) фоРмУ- лами (3.4). Внешние задачи для уравнения с) и+ )с~и = О обычно называются задачами дифракции. Они появляются при излучении распространения и рассеяния волн различной природы. Остановимся на вопросе сходимости полученных рядов.
В качестве примера возьмем разложение По при вычислении суммы ряда (3.5) следует иметь в виду следующее обстоятельство. Оценка (3.7) справедлива при и » йг. Поэтому при йа» 1 большое количество начальных членов ряда (3.5) имеют одинаковый порядок (их число [Йг]), и члены ряда начинают существенно убывать при и > Лг. Это приводит к тому, что при вычислении ряда (3.5) приходится суммировать большое число членов ряда, что вызывает определенные трудности. Условие йа» 1 соответствует тому случаю, когда длина волны Л, связанная с волновым числом соотношением й = 2х/Л, мала по сравнению с радиусом круга а: а/Л» 1.
В этом случае часто используются специальные методы суммирования соответствующих рядов. В противоположном случае йа «1 при суммировании ряда (3.5) трудностей не возникает, и можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Аналогичный характер сходимости имеют ряды и для других задач дифракции (в том числе и трехмерных). 1 4. КРАЕВЫЕ ЗА,ЦАНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ й и = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < с < 6, 0 < у < 2х. Рассмотрим краевую задачу Дирихле Ьи+/с~и = 0 в 11, и[„.
=/ь(ь), и[,=ь = /2(Р) (4.1) (4.2) (4.3) Построенные ранее системы частных решений (1.4)-(1.7) ограничены в 77. Для решения поставленной задачи удобнее использовать систе- мы действительных решений у„(яг), Ф„(Ь.) ( сов пР, и('1(г, Р) = Л<'1(г) ~ . ( яппр (4.4) Г сов пу, .1 1(,.) = В.11() ~ ~ яппР, (4.5) 295 При этом, как было указано при рассмотрении аналогичной задачи для уравнения Лапласа (см. гл. П, з 4), удобно из этих систем построить две другие системы, одна из которых удовлетворяет однородному условию г = а, а другая — однородному условию при г = 6.
Такими системами являются где Я(")(т) = а'„(кт)И„(ко) — а',а(lса)))(„(1т), Я(Ь)(т) = 3„(ат)Х„(И) — а' ()СЬ)Х ()Ст), и(а)( О и(ь)( О Решение краевой задачи (4.1)-(4.3) будем искать в виде " В(')(т) и = ~~~ ( (А„соеп(с+ В„э(пи(а1+ »»0 ~» (~) В(Ь)(т) + ~ ) (С„соэпьг+ О„э(пи(а). (4.6) В(')(е) Подставляя (4.6) в граничное условие (4.2) и разлагая уг ((с) в тригонометрический ряд, получим, учитывая, что Я„= О, соотношения (а) С„= У~'„), (4.7) где (г» и 1,„— коэффипиенты Фурье функпии уг (р).
Аналогичным (с) (Б) образом из граничного условия (4.3) получаем .4 = гсг (с) (4.8) ~г„и ~㻠— коэффициенты Фурье функции Уг(ус). (с) ( ) Разрешимость краевой задачи (4.1)-(4.3) исследуется аналогично тому, как это сделано в г 2, поэтому здесь не будем проводить подробный анализ (который читатель легко может провести самостоятельно), а укажем лишь окончательный результат. Если йг не является собственным значением задачи Штурма— Лиувилля для кольца гьи+Аи = О в В, и~, = О, и~ „ = О, и ~ О, (4.9) то В„"'(6) ф О и В (а) )Е О при всех п = О, 1,..., оо, все коэффициенты А„, В„, С„, Р» однозначно определяются из (4.7) и (4.8). Краевая задача (4.1) — (4.3) имеет и при этом единственное решение, которое представляется формулой са (а) и = г (уг„соэ пас + (г„з(п п(с) + ч В» (~) (с) () »се сс» (а) 296 аа (ь) + ~~~ < (~д(„) сов п<а+ ~д(„) эдип<а).
(4.10) а=в В~ (а) Если <ад является собственным значением задачи (4.9), то краевая задача (4.1) — (4.3) либо не имеет решения, либо решение существует, но неединственно. В этом случае при некотором целом значении и = пв В(') (Ь) — В(ь) (а) — О /ад — Л(" ) ЕСЛИ ХОтя бЫ ОДИН ИЗ КОЭффнцнсптОВ ФурЬЕ Уд„,, Дда,, д'да, И д 2„, НЕ (а) (а) (а) (Б) равен нулю, то исходная краевая задача (4.1) — (4.3) не имеет решения. Условием разрешимости при )ад = Л(„",') является требование У('„), = У~(„'), = Х~('„), = У~(„'), —— О. Решение при этом имеет вид В» (д ) (а) (а) [ада с'два<а + ада вдп пда) + (а) . „к„,1 В„')(Ь) Ва (г) <ь) + [~д„совпуд+1д„вдппд<д) + () .
В„(а) + В(;) (г) (А„, сов пеуд+ В„, вдп по9д) + + В<~~(г)(С„, созову+ Ва, вдп пеьд), где А„„В„„С„, и Р„, — произвольные постоянные. Аналогичным образом решаются и другие краевые задачи для уравнения Ьи+ <ада = 0 внутри кругового кольца. 5 Ь. КРАЕВЫЕ ВАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хди = 0 ВНУТРИ КРУГА Краевые задачи для уравнения дхи — хди = 0 несколько проще, чем краевые задачи для уравнения дав+ 1~и = О. Это связано с тем, что при достаточно гладких (непрерывных) граничных функциях первая, вторая и третья (при Ь > 0) задачи всегда имеют единственное решение.
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для круга д'.ди — хди = О, О < г < а, и[„. = У(Р). 297 Решение этой задачи будем искать в виде ряда по частным решениям (1.8), ограниченным при г = 0: и = Ао + ~ ~" (А» сов пр+ В» яп пр). (5.1) 1о(хг) 1»(хг) 1о(ха) 1»(ха) »=1 Подставляя (5.1) в граничное условие и разлагая Д22) в тригономе- трический ряд, сразу находим коэффициенты А„=,1~'1 = — / ~(~р) сов п(вйр, а о 2» Ао=(о 2 о 2» () 11 В» = ~~'1 = — / ~((о) вш п(2 Ьр, и = 1,2,...,оо, (5.2) и = 1,2,...,со. о Аналогичным образом решаются вторая и третья задачи. Например, третья краевая задача Аи — хви=О, 0<г<а, ди — + Ьи~ = 1((о), Ь = сопво > О, дг !а=а имеет решение 1о (хг) х1о(ха) + 51о(хо) 1» (х1') + ~, (А» сов п12+ В» япп(о), »=1 (5.3) 1 в. кРАеВые 3АдАни для тгРАВНЕНИЯ сви — хви = 0 ВНЕ КРЕЙГА Для выделения единственного решения данной краевой задачи для уравнения»ви — хви = 0 следует поставить дополнительное условие равномерного стремления решения к нулю на бесконечности.
Рассмотрим внешнюю краевую задачу для круга Аи — хоп=О, г>а, 298 где коэффициенты А» и В» определяются формулами (5.2). При Ь = 0 формула (5.3) дает решение задачи Неймана. ди о — — )Уи!т — о=О, /о!+ф)фО, о>0, )3>0, дг и ~ 0 при г -+ оо. Решение этой задачи строится в виде ряда по частным решениям (1.9), удовлетворяюшим условиям на бесконечности: Ко(хг) и = Ао охКо(ха) — )тКо (ха) К„(х г) + от, " (А„сов ар+ Во в1п ттр), о он (6.1) коэффициенты которого находятся из граничного условия и опреде- ляются формулами (5.2).
5 7. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хти = 0 В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Пусть Р— круговое кольцо: а < г < Ь, 0 < 1о < 2я. Рассмотрим задачу Аи — хоп = 0 в Р, и~„.=ЯР), и(, ь=Л(р) (в)птир (вшпр, где В~~)(т) = 1о(хт)Ко(ха) — 1„(ха)К„(хг), В®(т) = !о(хт)Ко(хЬ) — 1о(хЬ)Ко(хт), причем В~;~(а) = О, ВЙ(Ь) = О. Решение исходной задачи будем искать в виде оо В(о)(т) и = ~~~ " (А„сов ар+ В„в)ппр) + Р(о)(Ь) оо В(о) ( + ~ ~",) (С„сов ар+ П„в1п р). В~()( ) 299 Для облегчения определения коэффициентов разложения из систем частных решений (1.8) и (1.9) построим две другие системы решений, одна из которых удовлетворяет нулевому граничному решению при г = а, другая — при г = Ь. Таковыми являются системы решений Подставляя в граничное условие, сразу определяем коэффициенты А„= у,'„, в„= у,'„, с„= у,'„, и„= у,'„, (с) (в) (с) (в) где Уд„, У „— коэффициенты Фурье функции У1()с), (с) (в) У('„), У('„) — коэффициенты Фурье функции Ут((г).
5 6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ всРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Для того чтобы построить решения краевых задач для уравнения Гельмгольца внутри шара, вне шара и в шаровом слое, построим методом разделения частные решения уравнения Гельмгольца сви+ си = О, с = сопз( в сферической системе координат (т, (), )с), представимые в виде и(т, д,(г) = В(г)и((), сс).
Подставляя искомый вид решения в уравнение Гельмгольца и разде- ляя переменные, получим — г — + стгВ В(т) и((), (с) где Ьа„и — сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем урав- нение для В(г): ~г — + (св — Л)В = 0 и г~(В~ г (.(, (ту' (8.1) и уравнение для функции е(д, (с): ь +л =о. (8.2) Решение уравнения (8.2) должно быть периодичным по (с с периодом 2я и ограниченным при д = 0 и й = я. Это дает задачу Штурма— Лиувилля Ьвги+ Ли = О, О < () < я, О < (с < 2я, зоо Аналогичным образом строятся решения других краевых задач для уравнения ваи — вски = 0 внутри кругового кольца. с(д, р+ 2в) = и(д, р) при всех д и р, /в(О,~р)! < оо, )е(х,(с)! < оо, в(д,(с) )е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
