А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Так при замене т на йт, т1 на йтм В на ггВ углы )у и ф не меняются, полученное соотношение можно записать в виде Н(П(ще'"т = ~~~ я„ят)Н~+~„(5т1)е'"д, т < т1 . (2.5) Соотношение (2.5) называется теоремой сложения Графа. При и = О соотношение (2.5) принимает вид НО'~(Щ = ~~~ /ифт)Нг1)Ятг)е'"В— е=-со = Ло(5т)НвЦ'~(lст1) + 2 ~~~ У„(йт)Н<П(lгт1) сов т4, т < т1 (2.6) 325 и представляет собой разложение цилиндрической волны с центром в точке Р по цилиндрическим волнам с центром в точке О. Выделяя действительную часть, из (2.6) находим .7а(ЙВ) = 36(хг)3о(хг1) + 2 ~~~ .1„Яг)7„(Ь1) соат4. Вг)2 (В) 2 1 е(н (1) ,Я х1'В' (2.7) где В = гольца , является решением уравнения Гельм- Ли+и=О, удовлетворяющем условию излучения на бесконечности ди .
/1( — — (и=о~-! при г-е оо. дг Следовательно, при г1 > г она может быть представлена в виде раз- ложения по частным решениям уравнения Гельмгольца 1 у 7„+г)2(г)Ра(соя()): ~/г 1/2 (В) Уа+1/2 (г) а„" Р„(сов Я, ь=о г < г1 . (2.8) Коэффициенты а„не зависят от г и )у.
Определим коэффициенты а„. Из (2.8) имеем (1) )а+(!г(г) 2п+ 1 Г В1)г (В) а„" — ( Р„(созЯа1п)Ус)У= 2 ./ ~/В о Г 2п+ 1 Г Вх(г (В) 2,/ ~Я Р„(х) пх, В = гз + г( — 2гг(х . 326 Это соотношение справедливо при любых г и г1. Заметим, что соотношение (2.6) справедливо и при комплексных значениях В, г, г1 и т), связанных между собой соотношениями (2.1) при условии (г! < (г1 !. Теперь выведем другую теорему сложения позволяющую получить разложение сферической волны. Функция Воспользовавшись явным представлением полиномов Лежандра по формуле Родрига, получим /а+1/2(г) 2п+1 1 / Н1/2(В) 1(п а -1 Полученный интеграл и раз проинтегрируем по частям, учитывая, что все внеинтегральные подстановки обратятся в нуль.
Поэтому / +1 (1) Н1/2 (В) Ы 2» / 2 д Н1/2 (В) / /В 1(ха < 2 )и 1 ( )» /< 2 1)» дх" 1/В 1(Х . Поскольку для произвольной функции д гг,де — е(В) = — — —, дх В дВ' можем записать У' Н,/2(В) /' 1 д У')Н,/2(В) ~ Используя формулу 1 с~ Я„(х) 2„.11(х) х дх ха х"+1 справедливую для любой цилиндрической функции Я„(х) (см. ~ 5), получим < 1 д Н1/2 (В) Н +Ц2 (В) , а Н(1) В Н(1) В дВ) В1/г В»+1/г Следовательно, / +1/г(") 2п+1( — 1)" (гг1) г 1" +1/г( ) ~ +- Н() В /г 2 2вп( Ни+1/2 -1 Теперь обе части равенства (2.9) разделим на г" и перейдем к пределу при г -+ оо, учитывая при этом, что а„от г не зависит.
Так как 327 2'»+цг(") 1пп , О т»+Чг 2 +1!гГ(п.( 1 (.Ц ' Н +1/г (~) Н +1(г("1) (1) (1) 1пп г1~ г-+О !т»+1!г,/»1 из (2.9) получаем 2) 2 -.'-1(-1) 1 ( ( » Нрй (2,) 2 2 2» и! 1/е! — 1 Поскольку Г(п+ 1) Г(г) /( ' — )" =(- " (эг — 1) ((х = ( — 1)» Г(п+ -) г) -1 получаем Н( ) (»1) (2.10) Подставляя найденное значение а» в (2.8) и учитывая (2. (), получаем е' 1 Н»+цг("1),У»+1)г(с) (\) »=О Г < т1 . Заменяя е на )Ог, »1 на )2г1, перепишем соотношение (2.11) в виде Н(1) Г < Г1 Соотношение (2.12) является частным случаем теоремы сложения Гегенбауэра. Представляет интерес предельная форма теоремы сложения, получаюшаяся из (2.12) при »1 -+ оо.Имеем г ~ Н( (1т1) 2 2 2» (г 21-+»2 11 1(геп2н Ч я)2 2»+1 Поэтому из (2.12) получим е (~"'»2(г = 1 — ~~2 ( — 2)») и+ -~)1».~1(г()2т)Р»(соз)1), (2.13) 328 или, заменяя 11 на х — (У: Соотношения (2.13) и (2.14) дают разложение плоской волны по сферическим волнам.
В заключение приведем без вывода полную теорему сложения Ге- генбауэра = 2"Г(м) ~~( (и ) "+" "+" С"(сов(7) (2.15) (,.К).— где о„(х) — произвольная цилиндрическая функция порядка и, ~„"(х) — полипом Гегенбауэра, В = то+ т — 2тт1 сов)7, т < т1, и > --'. В этом случае, когда о,(х) = 1„(х), ограничение т < т1 излишне.
Доказательство этой формулы можно провести аналогично тому, как это сделано в данном параграфе при и = —. Аналогичные формулы можно получить и для функций Бесселя чисто мнимого аргумента. Используя соотношения 1 (х) = е ( 1.7„(вх), К„(х) = — е( в И~1 1(вх) ', получаем из формул (2.6) и (2.12), считая х = вм: Ко (мВ) = 1о(мт)КО(мт1) + + 2 ~~( 1„(мт)К„(мт1) сов п(у, т < т1, (2.16) о=в -мп п=о т<т1, (2.17) 5 3, ОЪ1ММИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ Рассмотрим суммирование некоторых рядов, которые встречаются при решении краевых задач для уравнения Лапласа.
329 где А= Эти соотношения используются при построении в виде рядов функций Грина оператора Ьи — мви. Для любого комплексного в, такого, что )д! < 1, справедливо соотношение 1 ~.я" = —, »=0 Подставляя 4 = 1е'в, где 8 действительно и ф < 1, и разделяя дей- ствительную и мнимую части, получим 1 — 1сов1р = 7 1» сов тмр, 1 — 21 сов у + Р »»а 1в)п ~р г 81П В~р. 1 — 21 сов р + Р ~-' (3.1) (3.2) Используя (3.1), находим 1 — Р 1+ 2~1" совтмр = 1 — 21сов~р+ Р »=1 (3.3) Соотношение (3.2) проинтегрируем по ~р: 1 в»совпр — 1п(1 — 21~ю р+1~) +С = — ~~ 1» —. 2 и Подставляя сюда $ = О и используя разложение определяем постоянную С: С= О. Следовательно, 1п(1 — 21сов1»+1~) = -2~ 1» —.
и »=1 (3.4) 1 1и = 1и — + у 1 — 1 сов пу> гд < г. г' + гв — 2гго сов р г, г ззо Формула (3.4) позволяет построить разложение фундаментального решения уравнения Лапласа на плоскости в тригонометрический ряд. Действительно, пусть | = гв(г < 1. Тогда из (3.4) получаем: которая представляет собой определение производящей функции для полиномов Лежандра. Отсюда сразу имеем — ( — ) РУ(соз О) 2 »=Π— ( — ) Р»(сое В), »=О ГО < Г, (3.6) гз + гΠ— 2гге соз д ГО > Г. Теперь рассмотрим следующие два ряда: Е» М»+1 — Р„(х) и ~ — Р»(х), и и+1 »=1 »=О которые встречаются при построении функции Грина для внутренней и внешней задач Неймана для уравнения Лапласа в случае сферы.
Для вычисления суммы первого ряда обе части разложения = 1.1 Ь' 2" У„[О 1 — 21* -.'- 1 разделим на $ и проинтегрируем по 1: 12Л вЂ” — 2»212 1 Отсюда 1» Г 211 ь; -У. (О = -1 1.. 1' 1 1 1 — 21*21'' »УМ Для вмчисления интеграла воспользуемся подстановкой Эйлера у = У 2 — 2212* * У 1 1 1-.'- 1. Тогда =2/, =1п — +С= »2 — 22 21 2 У вЂ” 1 У 11 1(х + 1) = 1п + С. 1 — *1.', УУ вЂ” 21 .', 1 ззт В трехмерном случае разложение фундаментального решения уравнения Лапласа 1/В по полиномам Лежандра получается из формулы , =Г1"У<О,!11<1, (3.5) 1 †21* Следовательно, у» х+1 '5 — Р„(х) = 1и * + С. 1 — 1 '; у)У вЂ” 2211* * -У '; 11 Для определения С подставим $ = О.
Получим х+1 С = — !и —. 2 Таким образом, »=1 Аналогичным образом вычисляется второй ряд: 1»+! ~ — Р„(х). »»в Для вычисления суммы этого ряда разложение (3.5) проинтегрируем по 1. Получим Для вычисления интеграла опять используем подстановку Эйлера у = у!У вЂ” 2221* *2 У 11.', 1. Получим = 1 — =1,)у —,).УС= уу у уу 1 — 21*:,.
Р у — * = 1 )У вЂ” У у)2 — 2211* * .У ,'. 11) -'; С. Следовательно, у»+1 с' — Р„),) = 1,)1 — ° -:- 212 — 22, У 1) -;- С. о+1 Подставляя сюда 2 = О, находим С = — 1п(1 — х). Таким образом, »»в 332 В приложениях достаточно часто встречается следующий ряд: в1пха(х ~1) 1 — (в ~1) Е яп 2 ««и В 4. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ Ф«'НКЦИИ е ««,уо(Ьх)г1х.
о Для вычисления этого интеграла воспользуемся интегральным пред- ставлением функции Бесселя 1 .7о(х) = — ! е о«ног«0у. 2я! -« Получим 1 -««,1 / -го«вгпв 1 2в -/ о « 1 ,1 / -(«аль«гав)«,1 2я о 1Р 2к,/ а+гЬв1п1« — « к « 1 /' агар г 1 Ь в(п угЬр 2я «Г аз+ Ьвв(пз1р 2х.г ав+Ьвв)пв р «/2 2а )' аФ я ./ аг+Ьзв(п'1р ~(аг+Ьг' о е ' Уо(Ьх)ггх о ззз Рассмотрим несколько определенных интегралов, содержащих цилиндрические функции. Эти примеры интересны и сами по себе (т.е. как конкретные интегралы) и поучительны с методической точки зрения.
1. В качестве первого примера рассмотрим интеграл поскольку / 6в)ногир аг+ Ьгвбп 1о в силу нечетности подынтегральной функции. Таким образом, 1 е '*Уо(6х)~Ух = удг+ Ьг о (4.1) Поскольку ОО СО уг (е Л (Ьх)е ~ ех = — — ~ Ло(Ьх) Ие «» = — — — г е Лг(Ьх)Нх, о о о из (4.1) получим е ~Лг(Ъх) Их = — ( 1— (4.2) / 00 1, Ь> Ло(Ъх) сових Йх = /Ь~ — и~ О, Ь<и; (4.3) СО О, 6>и, Ло(ьх) в1п их Нх = 1 Ъ юг — Ь~ (4.4) 1 Ь' 6>и, Лг(Ьх) сових Нх = о (4.
5) -(1 — ), 6<; ( 6>и, .ЦЬх) в(п их Нх = Ь~/Ь~ — и~ о О, Ь< и. 2. В качестве второго примера вычислим интеграл Вебера е ~ ~ Л„(Ьх)х "+ Нх (и >О, Ь>0, Веп> — 1) о ЗЗ4 Полагая в (4.1) и (4.2) а = 1и и разделяя действительную и мнимую части, получаем ряд полезных формул: Для его вычисления воспользуемся разложением функции Бесселя .7„(6х) в степенной ряд. Получим „(6 ~ +22 СО "' - ' " 1= " ) ) = е 'Ь гк(6х)х+ их=1 е *х к 61Г( 6 ) и=а о о ( 1) 6 -а а* 2Й+2к+1 1, аа Ь к ' а+22 к 61Г(и+ 6+ 1) 2 Поскольку 1 1 Г 1 ь+ Г(6+и+ 1) гь+2к+1,1 2 дгь+2к+2 / 2а / е 1 ~~ 2 2а+2+2 о о имеем е ' ',7„(6х)х ~* (2дг)к+1 Е х! х=о о ь* 6к ааа (2д2)и+1 Таким образом, 00 ь* 6" аааа к+1 Яка е а *,7 (бх)х"е дх = а (4.8) 3.
Рассмотрим теперь часто встречаюШийся р в п иложениях интеграл Сонина-Гегенбауэра К ( ~/*' + у') / ( г 6„2)а, о К (х) е-*аьа-ки,1п 1 Г 2 (4.7) — е" = 1 Пол чим Сначала преобразуем (4.7), сделав замену — е = 1. Получим к.(е= -'(1) ~. а6-"-'а. о (4.8) 335 Для вычисления этого интеграла удобно использовать интегральное представление функции Макдональда Теперь воспользуемся представлением (4.8) для вычисления интег- рала Сонина-Гегенбауэра Ки( ~+У )«(О )х" «гх = 1 (.г+ уз)а о -2+ l ' / го+1 о о 2У+1! ги+',~ (используется интеграл Вебера (4.6)) »» О / е 1«» — » о а«» н»» — » о У-У-1 — К ( ~/дг+6~) д«»~ у Таким образом, ,«(6) И 1 (.г+ уг)а о У-У-1 = — ( ~ +~ К„,,(у|/аз+~ ).
(4.2) д«»1 у Получим из формулы (4.9) ряд следствий. Пусть р = 1/2. Так как Кгуг(г) = — е ', можем записать /; —. ,— 1/*'+И' .«у(6х)х"~'«Ь = /х2 + у2 о ззе +г/г Г( ) К~<.цг(у,/а~ + б ). (4,10) = Ъ вЂ” Ь,/аз+ Ь ) При и = 0 из (4.10) получим Е-а /а +у е -ууаа+6~ /о(бх) 1х = /хг + уг ь/аг+бг ' о (4.11) Если учесть, что при и > 0 и г -у 0 (-) ( )( ~- К„(г) 2з(п хи Г( — и+ 1) 2 12/ (4.12) и в формуле (4.10) при и+ г > 0 перейти к пределу при у -+ О, то получим 1'.--ар*и" а*= ' г( +-,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
