А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В том случае, когда ур(Р) трижды непрерывно дифференцируема, а г)г(Р) — дважды непрерывно диффереицируема, формула Пуассона дает классическое решение задачи (5.8). Формулу Пуассона в трехмерном случае можно также получить, применяя преобразование Фурье по части пространственных переменных. Мы рекомендуем читателям проделать это самостоятельно в качестве полезного упражнения. 5 6. ЗАДАНИ ДЛЯ САМОС'ГОЯГЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1.
Решить начально-краевую задачу на отрезке: им = а и„, х б (О,х), С й (О,+оо), и(х, 0) = х, иг(х, 0) = 1, х б (О, х), и (О,С) = О, и~(х,С) = О, С б (О,+оо). 2. Решить начально-краевую задачу на отрезке: игг = и*, * б (0,4), С б (О, +оо), рх, х б [0,2], и(х, 0) = 2 — фх, х б [2,4), и,(х, 0) = О, х б [0,4], и(О,С) = О, и (О,С) = О, С б [О,+со). 3. Решить начально-краевую задачу на отрезке: иг, — — 4и„+е 'ешх, х б (О,х), С б (О,+со), и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, х б [О, гг], и(О,С) = О, и(гг,С) = О, С б [О,+оо).
4. Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: игг —— а~и~~+хе ', х б (0,1), С б (О,+со), и(х,О) = О, иг(х, 0) = О, х б [О, 1], и(О,С) = О, и(1,С) = О, С б [О,+со). Смл Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Мл Изд-ао МГУ, 1993. 283 Решить начально-краевую задачу на отрезке: им — — и „х Е (О, дг), С Е (О, +со), и(х, 0) = едп 4х, ид(х,О) = О, х Е (О,дг), их(О,С) = О, и(гг,С) = ф, С Е [О,+со). Решить начально-краевую задачу на отрезке: идг = и, х Е (О, 3), С Е (О, +оо), и(х, 0) = О, иг(х, О) = О, х Е (О, 3), и(0, С) = О, и(3, С) = С, С Е [О, +оо).
Решить начально-краевую задачу на единичном отрезке: игд = ихх, х Е (О, 1), С Е (О, +со), и(х, 0) = х+ 1, и,(х, 0) = О, х Е (О, 1), и(О,С) = С+ 1, и(1,С) = С +2, С Е [О,+оо). Решить начально-краевую задачу в прямоугольнике: идд = а Ьи, х Е (0,1д), у Е (0,12), С Е (О,+оо), и(х, у, 0) = О, х Е [0,1д], у Е [0,12], иг(х, у, 0) = Аху()д — х)(12 — у), и(О,у,С) = и(Сд,у,С) = О, уЕ [0,12], и(х,О,С) = и(х,СС,С) = О, х Е [О,Сд], С Е [О,+со).
9. Решить начально-краевую задачу в круге: игг — — С)ди, г' Е (0,3), гр Е [0,2л], С Е (О, +оо), и(г, гр, 0) = 51о(из-'г), ид(г, уд, 0) = О, г Е (О, 3], уд Е [О, 2гг], и(3, др, С) = О, у Е [О, 2дг], С Е [О, +оо), Ло(Сда) = О. 10. Решить начально-краевую задачу в шаре К"': идд = а~д3и, М Е К"', С Е (О, +со), и(М,О) = О, иг(М,О) = О, М Е К", иг[ = АС1Рз ~(соаВ)сое2гр, С Е [О,+со). 11. Решить начально-краевую задачу в шаровом слое: игг = а д!ди, г Е(гд,гт), В Е [О,дг], др Е[0,2к], С Е(0,+со), и(М,О) = Агсозд, иг(М,О) = О, г Е [гд,гд], В Е [О,гг], и„/ =О, и,! =О, СЕ[0,+оо). 284 12. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» — — 25и~~+ хС, х Е »к~, С Е (О,+со), и(х, 0) = О, и»(х, 0) = О, х Е Й'.
13. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = и~~+6, х Е11~, С Е (О,+со), и(х, 0) = х~, и»(х, 0) = 4х, х Е»й~. 14. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = ивв+ хС, х Е 11', С Е (О,+со), и(х,О) = я~, и»(х,О) =*, х ЕЙ . 15. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и», — — и„+ в»п х, х Е Й~, С Е (О, +со), и(х,О) = вшх, и»(х,О) = 0 х Е вс~ 16. Решить начальную задачу на бесконечной прямой: и»» = ив, + е, х Е й', С Е (О,+со), и(х,О) = О, и»(х, 0) = х+ сов х, х Е»н~. 17.
Решить начальную задачу на бесконечной прямой: ии = 9и, + вйп х, х Е %', С Е (О, +оо), и(х,О) = 1, и»(х,О) = 1, х Е 11~. 18. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и»» — — 4и, х Е Ж+, С Е (О,+оо), и(х,О) = О, и»(х,О) = О, х Е Ж~, и(0, С) = 5 вСп ыС, С Е (О, +со). 19. Решить начально-краевую задачу на полупрямой: и»» = а и„+в»пх, х Е Й», С Е (О,+со), и(х,О) = О, и»(х,О) = О, х Е 11~, и(О,С) = О, С Е [О,+со). Ответы. 1. и(х, С) = С+ « — ~ ~„д-„+-)гсов(2/с+ Цх сов(2/с+ Цаг, а=о а=о 3. и(х,С) = ф (е ! — сов2С+ фвгп2С).
г '-1'"+' 4. и(х,С) = 2 ~,' 1:-~~ — 1+(1««12 (е ' — совтпаС+ '— '"„",") вшггпх. ««1 5. и(х, С) = - — — сов -Свгп -х. ь ь г 2 г г и(х С) — *з + Е ф+вгп з вгп з «=1 т. и(х,С) = 1+1+ х(Сз — С+ Ц+ +у (ЩД+ г [в(=1)" 1].гп(тпС)~.1п( ..) х~ 1 1 11 (2п+ цз(2, + цз (г"+12'+ !1 +г '))* '1 11 9. и(г, С) = 5,/о (вз !') сов езвС 10. и(т,В,ог,С) = 2АРзц ~(совВ)сов21о — + 1 Зтог 121 то ь/г ,/о/2(/1в ) /г аР '1/7/21 1„ /з! где '/т/г(/гй ) =~ьт./2/г(/го ) = 0 (Ь = 1,2,...).
«Вз/г(Лот) 11. и(т, В, С) = сов В г Ав сов аЛвС, 1/т й=! где а(г, Лв) = Лот/1/'/2(Лвт) — фаз/2(Лот), ( 1 ") в 3 2( в ) 2 з/2( в )1 й /2(Лот) = а(гг, Лв),/«/2(Лот) — Ь(г1, Лв)Ж«/2(Лот), ~" (т~ Вь/2(Лвтг) — г, Вь/г(Лот!)) гв (1 ГХЙТ) В2 (Л~т2) 21 (1 (72,)т) В2/2(ЛМ тг) а(гд, Л1,) Ь(т1, Л1,) а(гг, Лв) Ь(гг, Л11) 286 Глава 7 КРАЕВЬГЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1 1.
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬПА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Рассмотрим уравнение Гельмгольца (1.1) Аи+ си = О, с = сопэ1 в полярной системе координат (г, Р) и построим его решения, представимые в виде и(г, у) = А(г)Ф(Р), (1.2) Подставляя (1.2) в уравнение (1.1) и разделяя переменные, получим г~~(гф) + сгзЯ ф" = — — = Л. В(г) Ф(у) Отсюда получаем уравнение для функции Я(г); г~й'+ гВ'+ (сг~ — Л)В = О и уравнение для функции Ф(р): (1.3) Ф" + ЛФ = О. 288 В этой главе рассматривается метод разделения переменных для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца.
В случае двух переменных изучаются краевые задачи внутри круга, вне круга и в круговом кольце, а в пространстве — внутри шара, вне шара и шаровом слое. Методика решения краевых задач для уравнения Гельмгольца имеет много общего с методикой решения задач для уравнения Лапласа, рассмотренной в гл. П1. Поэтому сначала рассмотрим частные решения уравнения Гельмгольца в полярных и сферических координатах, а затем будем из них строить решения краевых задач в соответствующих областях.
Поскольку переменная гс — циклическая, функция Ф должна быть периодической с периодом 22. Следовательно, для определения Ф(22) получена задача Штурма-Лиувилля с периодическим условием Ф" + АФ = О, О < уг < 2гг, Ф(12+ 2х) = Ф(у) при любом х, Ф(Гс) ге О, рассмотренная в гл. П, 2 2. Ее решения имеют вид ( сов п22, Ф„(~с) = ~ . ' Л=Л„= Р2, п=о,1,..., ( ьйп пег, Подставляя найденное значение А„в (1.3), получаем гзВ" + г В'+ (сгз — пз) В = О, Рассмотрим теперь отдельно случаи с > О и с < О. Пусть с = )гз > О. Общее решение уравнения г2Вп+ гВ!+ (/гтгт п2) — О можно записать в виде В=В„(г) =СгЮ„(йг)+С2И.(йг) или в виде В = В„(г) = Аг НП1(хг) + А2Н(21(хг), где г,(х), Ф„(х), НгШ(х), Н„(х) — функции Бесселя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода п-го порядка соответственно.
Таким образом, при с = 122 уравнение Гельмгольца Ьи+х и=О имеет следующие серии решений: (1.4) (1.5) (1.6) 289 ) ) в(ппу. ( совпу, Решения 3„(хг) ~ . ограничены при г = О, решения (1.5) — (1.7) ( в)ппр при г -+ О неограничены. При г — + оо решения ( совпу, и(в)(г,1о) = НО)(Ь) ~ ( в1п пу удовлетворяют условиям излучения вида П) — — Йи( ) = о~ — (. д~~» дг " ~,,/г) ' а решения „<г)(„) Н<г)(»г) ( 1 в(п пу удовлетворяют условиям излучения вида и (2) — +(йи(г) = о Рассмотрим теперь случай с = — мв ( О. Общее решение уравнения гвНп + гЯ~ — (мзда 2+ пв)Я вЂ” О можно записать в виде В = К (г) = С1 1„(мг) + С2К„(мг), Ьи — мзи = О на плоскости имеет следующие серии решений: причем решения ( совпу, 1„(мг) ~, и = 0,1,...,со ~ в1ппу, (1.8) 290 где 1„(х) и К„(х) — функции Инфельда и Макдональда и-го порядка соответственно. Следовательно, уравнение (' сов иво, К„(м) ~ .
и=0,1,...,оо в(п и(о, (1.9) неограничены при т -+ О и равномерно стремятся к нулю при т -+ оо. 5 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи + й и = О ВКУтРи кРУРА Построив частные решения уравнения Гельмгольца в полярной системе координат, перейдем к рассмотрению краевых задач. Начнем с краевой задачи внутри круга: Ьи+ /сои = О в круге О < т < о, (2.1) а — +)уи = 1((о), (а)+ ()1) ~ О, а,)3 = сопв(. (2.2) дт т=» Решение этой задачи будем строить в виде ряда по частным решениям (1.4), ограниченным при т = О; Ао Оо и(т, (о) = — Уо(»т) + У 1„(lст)(А» сов яр+ В„в(п п<р), (2.3) 2 »=1 коэффициенты которого определяются из граничного условия (2.2). Подставляя (2.3) в граничное условие (2.2) и разлагая функцию у(р) в тригонометрический ряд, получим А„а — 1»(Ь ) + )уо»(/ст) д В„д 1„(1~) + )31„(Й~) д 1т(с) (2.4) — т(8) (2.
5) где у»(') и у»(') — коэффициенты Фурье функции у((о); у(') = — 1 Д(о) сов и(од(о, 1 о о» 1 Р У( ) = — / У(ч) в и ярда о (2.6) Если прн всех и = О, 1,..., со а)о3»(ка) + )17»()оа) ~ О, 291 ограничены при т = О и неограниченно возрастают при т -+ со, а решения то из (2.4) и (2.5) все коэффициенты А„и В„определяются одно- значно, и решение (2.3) имеет вид 1 (,) ув(Ь.) 2 в о/с,Я()6а) + Р Ув()са) ~.( ) + 6, (~„6 сова»6+ 1„6 вбил. (2.7) В этом случае решение краевой задачи (2.1), (2.2) существует и единственно. Если о/6~1(/са) + )1,6»(/са) = О при п = пв,то соотношения А»,(о)6,7„',Яа) + (16»,()6а)) = ~~~), В»6(о)61„,()6а) + (),)»6(ва)) = у(,) (2.8) (2.9) непротиворечивы лишь при условии 7'„', = Д', = О.
Если же хотя бы один из коэффициентов 7„, и Д, отличен от нуля, то соотноше- (С) (6) ння (2.8), (2.9) противоречивы, и исходная краевая задача (2.1), (2.2) решения не имеет. Условие оЫ„',(/са) + )1,6'„,()са) = О Ьи+ Ли = О в круге О < г < а, о — +)Зи( =О, ифО, ди (2.10) при этом )62 = Л(»",'). Таким образом, если )62 является собственным значением оператора Лапласа для круга, то краевая задача (2.1), (2.2) либо не имеет решения, либо решение существует, но неедннственно.
Если (Д, )+),("„( ~ О, то решения краевой задачи (2.1), (2.2) не существует. (6) (6) Если Д»', = 7», = О, то из соотношений (2.4), (2.5) все коэффициенты А„н В„при и ф ив определяются однозначно, а коэффициенты А„, и В„, остаются произвольными. Поэтому решение краевой задачи в этом случае имеет вид и = (А„, сов па(6+ В„, в(пиву)У»,(lсг) + + ~~~, (Л»' совп~з+ ~» в1пп)6), (2.11) 1»()6г) (6) . )6 „(/6 ) где А„, и В„, — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
