А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 35
Текст из файла (страница 35)
У„(~) (д, у) = Р(м) (сов д) 1 в1пго(с, причем ганя Л„= 2п+ 1. Рассмотрим уравнение (8.1) при Л = п(п+ 1): гвене + 2гЯ + (сг~ — п(п+ 1)) Н = О. (8.3) Введем новую функцию соотношением В(г) = —. у(1) Тогда уравнение (8.3) примет вид гву" + гу'+ (сгз — (и+1/2) ] у= О. (8.4) Рассмотрим отдельно случаи: с > О и с < О. Пусть с = )сз > О. Тогда общее решение уравнения (8.4) можно записать в виде у = С 1„+~)~(йг) + СгУ„+1(г(хг) или в виде у = А1Н + (йг) + АзН +. (ьг), (1) (г) где Х„+1)г(х), ))(в+цг(х), Н„+ ( (х), Н„+ )з(х) — функции Бес- (1) (з) селя, Неймана, Ханкеля первого и второго рода порядка (и + 1/2) соответственно. Таким образом, для уравнения построены четыре серии частных решений: ) +1)г(хг) ( ) °, ~п+цг(хг) ( ).
)„(д,р), У„- (д,р), (8.5) зот Собственными значениями этой задачи являются Л = Л„= п(п+ 1), и = О, 1,..., оо, а собственными функциями — сферические функции У( )(В,у), У( )(В,(г), (8.6) и=0,1,...,оо, пг=0,1,...,п. Решения у( )(в ограничены при т = О, решения остальных трех серий неограничены при г -+ О. Решения удовлетворяет условию излучения в виде диет . (П (1'~ (1) — Йи„= о(- ~ при г -+ оо, дг 1т/ а решения удовлетворяют при г -+ оо условию (г) (1 1 (2) +Йи„= о При с = — «г ( 0 уравнение (8.3) имеет вид т2у" + ту' [хгтг+ (и+ 1/2)21 у — О Его общее решение у = С11 +цг(хт) + СгК +цг(хт), где 1„+1)г(я) и к„+1(2(я) — функции инфельда и макдональда порядка (и + 1/2) соответственно.
Следовательно, для уравнения Ьи-х~и= 0 построены две серии частных решений: 1 +1/2( т)у( )(в ) и к +1!2( т)у( )(в ) г 302 п=0,1,...,оо, та=0,1,...,п. Решения 1 ~1+с7в(сст)Ул ~(д ср) (8.7) равномерно стремятся к нулю при т — > со и неограничены при т -+ О. 5 9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи+ в~и = 0 ВНУТРИ ШАРА Решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в трехмерном случае проводится полностью аналогично тому, как это сделано в двумерном случае. Поэтому в этом и последующих параграфах будут приведены окончательные результаты без подробных выкладок и объяснений.
Начнем обзор результатов с внутренней краевой задачи для шара. Рассмотрим краевую задачу сап+ сс~и = 0 в шаре 0 < т < а, ои Р(и) = а — + 17и),— = у(д, р) . Решение этой задачи представляется в виде разложения по частным решениям, ограниченным при т = 0: ло л и = ~~,л — у„.ьцг (вт) Рл~~1(сов д) (А„~ сов сир + В„„, в(п пир) ~/т в=в л1=0 Коэффициенты А„и В„определяются из граничного условия. Разложим функцию у(д, р) в ряд по сферическим функциям: у(д,р) = ~~~ ~ Р(~)(совд)(ф~ совт~р+ф~ вспту), л=влл=с где тл л — у(а, ЯР~ 1(совЯсовспав1п13пдсса, о о (9.1) зоз ограничены при т = 0 и неограниченно возрастают при т -+ оо, а решения 1 — К„+с~в(сст)У~ 1(д, ~р) (8.8) 2»',,), = — г 7(д, а)Р( ~(сов д) в1п ига в1п))1(д1(а, (9.2) о о ))(2 = ц Р (~) (сов )2) / ) г ) / сов то а ) ! г, Фгг = ! ) Р (™) (сов д) ) / г ! / О1п та а ) ! г Если вг не совпадает ни с одним собственным значением задачи Штурма — Лиувилля внутри шара: Ьо+ Лв = О в шаре О < т < а, Р(в)/ =О, О)еО, (9.3) то все коэффициенты А„и В„определяются однозначно, и реше- ние имеет вид т-1)г и = ~ ' ~ ~Р«(совд)()»,„совпир+У»,„вгппг(с) У»+1/2(й ) (с«) (с) (с) 2-с Р (о-1/2У„+ )~()со)] Если )сг = Л1("'), где Л)("') — собственное значение задачи (9.3), т.е.
корень уравнения 11 / 1 1 а — ) =,У»с+1)г(1ГЛО)( + )2 — с«,+1)2(ГЛО) = О и все 1„, = О и )»,,„= О, то решение существует, но неединственно (с) (с) и имеет следующий вид: Р (совр)(Д«;„сов тпус+ Д«',„в1п пг(о) »=О »я»с + »2 Р„, (СОВ В)(А», СОВ ттиР+ В„, В1втПР), у«с+1/2(й1) % (,») т=О где А„, и В„, — произвольные постоянные. Если при й = Л, хоти бы один из коэффициентов у„, и у„, («с) (с) (с) отличен от нуля, то поставленная задача решения не имеет. 1 10. КРАЕВЬ$Е ЗА)ЛАЧИ ДЛЯ вРАВнениЯ Ьи + )сги = О Вне ШАРА ди )'1Л вЂ” — Йи = о -) при т -+ со, дт 1,т) Для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения оси+ )сги = О на бесконечности ставится дополнительное условие — условие излучения, выделяющее уходящую волну.
В трехмерном случае условие излучения записывается либо в виде либо в виде ди . /11 — +Йи=о[-) приг — Фсо. дт [т] И то и другое условие на бесконечности выделяет единственное решение внешней краевой задачи, но эти решения различны. При достаточно гладких граничных функциях решения внешних задач для шара всегда существуют и единственны. Решение задачи Ьи + (о~и = 0 вне шара г > а, Р[и] = о — — )уи~ =,ЦВ, у), ди ]о)+ф)~0, о>0, )3>0, ди . )11 — — Йи=о[-) приг-?оо дг [,т) имеет вид г 1~зН( ) ~ (ят) и — ~~, ' ~ "и у Р( )(сооВ)Ц~;,),созга(о+ф] шит~о), =о =о Р ~[а '~зН»+ ~з(аа)] (10.1) где ~„,„и (а,„определяются формулами (9.1), (9.2).
(с) (л) Чтобы получить решение краевой задачи с другим условием на бесконечности ди . /11 — +Йи=од приг-+со, дт ~,т] нужно в формуле (10.1) функции Ханкеля первого рода Н„+ ~з(я) (\) заменить функциями Ханкеля второго рода Н„+ (я). (г) 5 ш. кРАеВые зАдАчи для РРАВнения Ьи+ йои = 0 В ШАРОВОМ СЛОЕ Краевая задача для уравнения Ьи+ язи = 0 внутри шарового слоя рассматривается так же, как соответствующая краевая задача внутри кругового кольца, разобранная в 1 4. Рассмотрим задачу Ьи + я~и = 0 в слое а < г < 6, (11,1) Р1[и] = о1 — — )у1и) = 11(В,(о), [о1]+ [)г1] ф О, ди (11.2) 305 ди Рг[п] = — ог д + дгп!.=ь = Л(В,)а), !аг!+ !дг! Ф О.
()).з) Для того чтобы развязать граничные условия, заданные при т = а и при т = 6, удобно построить две серии частных решений уравнения Ьи+ 6~и = О так, что все решения одной серии удовлетворяют однородному граничному условию при т = а, а все решения второй серии — однородному граничному условию при т = 6. Этот прием уже неоднократно использовался в предыдуших параграфах (см., например, г 4). Итак, используя решение (8.5), построим решения, удовлетворяющие граничному условию Эти решения можно взять в виде и~~)(т, В, ьг) = Я~~~)(т)Р~~)(сов В) г ), Б!и тп)г, где с,)( ) У +цг(6т) „) сс +цг(6т) [Л+ 2'] .+»(~.), дг + — 1 уе+цг(/са) 2аз 9г(сс, а) = аг/сЛ„'+цг()са)— Рг()с с') = с"16У ацг(6е) (ь) Рг [и~ )1 = ог — + дгп< )!„-ь = О.
ь) дп„ ь т Они имеют вид и~~)(т, В, сь) = Яь()(т)Р< )(соьВД ), з(п спст, где рд Юпацг(йт) )с) +цг(6т) т т 306 (штрих, как обычно, обозначает производную по полному аргументу). Аналогично строим вторую серию решений и„(т> В, у), удовлетво<ь) ряюших однородному граничному условию при т = 6: Чг(О,6) = ог(с)ц„'чцг()с6)+ [)гг 261)Б(п+цгЯ6) Рг()с, 6) = ог)с ( ч цг((С6) + [)гг ] Упе цг()С6) Теперь решение краевой задачи (11.1)-(11.3) запишем в виде разло- жения по этим решениям; и = ~~~ ~~~ В(')(Б )Р(м)(сов д) (А»„, сов т(О+ В»,„ми пир) + »=О попо оо п + ~~~ ~ ~В( )(г)Р(по)(совд) (С»по совт(О+.0» в(пт(О).
=О =О В» (г) (а) (с) (Б) [" 1 , Р» (совд) [~г„~ совт(О+ ~г„~в(пт(о) + Р, В,",(6)~ " Вп (г) (,п) (с) (ь) (Б) ["' > „Р» (сов д) (~,„сов пг(О + Л„ягг ог(с), Рг В(, )(аЦ и=о»о»о +ЕЕ где У,„, У,п,и и Уг„, гг„— коэффициенты ФУРье фУнкций 1г(д, (о) (С) (Б) (С) (Б) и /г(д, уо) соответственно при разложении их по системе сферических функций.
Формулы для их вычисления аналогичны формулам (9.1), (9.2). Если 6 = Л„„ где Л„, — собственное значение соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для шарового слоя, и хотя бы один из коэффициентов уг„,, у,„,, уг„,, уг„, отличен от нуля, то поста- (С) (Б) (С) (Б) вленная задача (11.1)-(11.3) решения не имеет.
ЕСЛИ 6 = Лп, И ВСЕ КОЭФфицнсптм Ли по~ А»о»о~ Лооп~ Бог»опо г (й обращаются в нуль, то решение существует, но неединственно. Оно имеет вид оа и (а) и — ~~~ ~~~ Р» (сов д) ( 7г»ои сов тго + (г»Б» вш т(О)Б + Вп(г) () ((с) (Б) »=О попо Рг В» (6) (а) »впо зот Коэффициенты А»„, и В»,„определяются из граничного условия при Г = 6, Кезффнпноптм С»м И Рпп, — ИЗ ГРаниЧИОГО УСЛОВИЯ ПРИ и = О. Далее приводим только окончательные результаты без подробных объяснений и выкладок. Если (сг не является собственным значением соответствующей задачи Штурма — Лиувилля для шарового слоя, то все коэффициенты определяются однозначно из граничных условий, и решение имеет вид со и (6) + ~', ~~' г г Р( )(сов В) (Угп, сов ту+ Угв в)в~у(+ =в Р [Рьв (а)1 Г (ь) «о +)тв(;)(г) ~ ~Р~~)(совВ)(А,„совпьу+В,„в)пту), где А,„и В,„— произвольные коэффициенты.
(Заметим, что при Й = )(„, функции г(„, (г) и А„, (г) становятся линейно зависимыми.) г (О (а) (ь) в гг. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи — хгп = О ВНУТРИ ШАРА Как и в двумерном случае, внутренние краевые задачи (первая, вторая и третья при й ) О) для уравнения 6)и — хги = О имеют единственное решение. Выпишем эти решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
