А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Решение этой задачи записывается формулой (3.5): ю(8,1) = а(8,61)ФК) сК, 176 откуда следует выражение для решения исходной задачи: СЮ 2 и(х,1) = ! е " ' 1о(~) с1б. 2ахУх1 (3.9) Задачи 1 и 2 моделируют процесс остывания бесконечного стержня с теплоизолированной поверхностью, нагретого до начальной температуры у(х). Задача 4 моделирует процесс остывания бесконечного стержня, нагретого до температуры у(х), если через боковую поверхность стержня происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, температура которой равна нулю (Ь > Π— коэффициент теплообмена). Из формулы (3.9) следует, что чем больше 6, тем скорее происходит процесс остывания.
Случай Ь = О соответствует тепло- изолированной боковой стенке. 4 4. ЗАДАни ДлЯ иРАВнениЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА пОлиБескОненнОЙ пРямОЙ Рассмотрим начально-краевую задачу на полубесконечной прямой + 2 = (О < х < +со) для уравнения теплопроводности с постоянными — — + коэффициентами. Введем обозначения Йа = В х (О,+со), Й+ и+ х (О,+со), где 1к+ = (О < х < +со).
Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода ставится следующим образом: ис — — а ихь+ 1(х,1), (х,1) б Й~, и/, = 1с(х), х б эг ди а — + ди/ = и(1), 1 > О, дх где (а)+ ф) ф О. (4.1) (4.2) (4.3) Классическим решением начально-краевой задачи (4.1) — (4.3) называется функция и(х,1), непрерывная вместе с первыми производными по х в замкнутой области Й ю имеющая непрерывные производные первого порядка по 1 и второго порядка по х в открытой области Йа, удовлетворяющая в Йч. уравнению теплопроводности, начальному и граничному условиям.
Заметим, что в случае граничных условий первого рода (а О, д = 1) непрерывной дифференцируемости и(х,1) по х в замкнутой области й.ь не требуется, достаточно непрерывности и(х,1) в Й+. Классическое решение задачи (4.1) — (4.3) может существовать лишь при выполнении условия согласования начального и граничного условий шр'(О) + Д~(0) = рг(0). В силу линейности задачи (4.1)-(4.3) можно провести ее редукцию и представить решение и(х,1) задачи (4.1)-(4.3) в вице суммы двух функций и(я,1) = кч(я, 1) + ит(я,1),где и1(к,1) — решение задачи для неоднородного уравнения с неоднородным начальным и однородным граничным условиями, ит(я,1) — решение задачи для однородного уравнения с однородным начальным и неоднородным граничным условиями, Одним из методов решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой в случае однородных граничных условий является метод продолжения начальных данных.
В п. 1 настоящего параграфа зтот метод рассмотрен для случая линейного однородного граничного условия общего вида и проиллюстрирован на примере решения начально-краевых задач с однородными граничными условиями первого, второго и третьего рода. Эффективным методом решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности на полупрямой является метод интегрального преобразования Фурье, общие принципы применения которого изложены в гл.
1, 1 4. В настоящем параграфе рассматривается применение метода интегрального преобразования Фурье на полу- прямой к уравнению теплопроводности в случае граничных условий первого, второго и третьего рода. 1. Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородными граничными условиями. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с однородным граничным условием может быть решена с помощью интегрального преобразования Фурье с соответствующим образом подобранным ядром, аналогично тому как это делается в случае неоднородного граничного условия (см, п,2). Однако в случае линейного однородного граничного условия общего вида более физически наглядным является метод продолжения начального условия, при использовании которого оказывается полезной следующая Лемма' >.
Пусть функция 1р(к) определена на бесконечной прямой Ж~, имеет на ней ограниченные производные до 1У-го порядка вклю- Смл Сеешиикое А.Г., Боголюоое А,Н., Кравцов В,В. Лекции ио математичеокой физике. Мл Изд-во МГУ, 1993. чительно, и линейная комбинация Ф(х) = ~ аь~р1"1(х), (4.4) к=о где аь = сопв1, й = О, 1,..., иечетна относительно точки х = О. Тогда функция и(х,1) = / е * ф(С) аС 2а~гЯ (4.5) удовлетворяет условию д" и аь —, =О. в=о дх" в=о (4.6) Сформулированная лемма позволяет указать следующий способ решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и однородным линейным граничным условием общего вида: г ио=а и =О, 1) О. (4.9) — + Продолжим функцию ~р(х), заданную при х Е Й, на всю действительную ось х, построив функцию 1р(х), которая удовлетворяет усло- виям ф(х) = ~р(х) при х Е % Ф М аь1о1 ~(х) = — у аь~р1 1(в) при х е Й и непрерывна вместе с производными до Л-го порядка включительно на всей оси.
Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой Ус=а У,, (х,в)бЙ, У(х,О) = р(х), х ЕЖ (4.10) 179 и(х,О) = 1о(х), д" и аь— дх" в=о к=о (х,Е) Е Йе, хЕвч (4.7) (4.8) Согласно лемме функция У(х, 1) удовлетворяет граничному условию при х = 0 задачи (4.7) — (4.9) и, следовательно, при х Е % и(х,1) = — + =У(х,$), т.е. решение задачи (4.10) при хЕ й является решением задачи (4.7)-(4.9).
Приведем примеры применения метода продолжения для решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа. 1. рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Дирихле х,ФЕЙ~, г и~ — — а и (4.11) и(х, 0) = ~р(х), и(0,1) = О. Применим доказанную лемму.
Имеем аа = 1, аь = О, й = 1,2,..., Ф. Следовательно, функции ф(х) и Ф(х) совпадают и согласно лемме функцию 1а(х) нужно продолжить нечетным образом. Положим (4.12) Теперь решение задачи (4.11) можно записать в виде интеграла Пуас- сона (3.5): и(х,Ф) = / 0(х,б,8)13(б) Щ, где 0(х,(,1) = е 2а~/Я вЂ” фундаментальное решение (3.2). Используя формулу (4.12), решение задачи (4.11) запишем через функцию у(х): Сделав во втором интеграле в правой части формулы замену б на -С,получим ° О СО и(х, г) = Щх, (,1) — С(х, — (,1))у(~) Н( = С1(х,(,1)~р(~) (Х(.
о о (4.13) г 80 Функция ггд(х,(,1) = г) е г ~~ — е (4.14) — ..(1 1 является функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой. Из формул (4.13) и (4.14) следует, что решение задачи (4.11) имеет вид и(х,1) = / ~е г *г — е г-г~ ) уг(С) с(С.
2ауЯ о (4.15) иг = а иее, х,1 Е ос и(х,О) = р(х), ди~ дх! =о (4.16) Применим лемму. Имеем ао = О, а1 —— 1, аь = О, и = 2,3,...,1У. Следовательно, Ф(х) = ф'(х) и, согласно лемме, функцию 1о'(х) нужно продолжить нечетным образом. Поскольку производная четной функции есть нечетная функция, отсюда вытекает, что функцию уо(х) нужно продолжить четно. Положим 1о(х), х > О, ф(х) = 1о( — х), х < О. (4.17) Смо Сеешицкое А.Г., Богоиюбое А.Н., Кравцов В.В. Лекции ио математической физике. М.: Изд-ао МГУ, 1993.
181 Интеграл (4.15) называется интегралом Пуассона. Функция, определенная интегралом Пуассона, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при х Е и+, 1 > О, ограничена в области х Е Й, 1 > О, и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции у(х) непрерывно примыкает при 1 -р 0 к функции р(х) в точках ее непрерывности. Это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: ~р(0) ф О. При этом граничное условие и(0,1) = 0 выполняется только при 1 > О. Из формулы (4.15) вытекает физический смысл функции сз(х, 6,1)'1.
Функция сг1(х, С,1) дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени 1 > О, если в начальный момент 1 = 0 в точке х = с > 0 мгновенно выделяется количество тепла, равное ср =' р, а граничное сечение х = 0 все время поддерживается при нулевой температуре, для чего в точку х = — г, нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник. 2. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой для однородного граничного условия Неймана условия третьего рода: г и~ — — а и„, х,1Е й+, и(х, 0) = ~р(х), ди — — Ьи =0 дх .0 (4.22) (Л = сопв1). Предположим, что функция 1а(х) удовлетворяет условию согласова- ния начального и граничного условий у'(О) — Ьу(О) = О. 1а'(х) — Ь1а(х) = /(х), х < О, р(0) = 9Р(0), где правая часть уравнения имеет вид у(х) = -тт'(-х) + Ьт"(-х) (штрих есть производная по полному аргументу).
Решение задачи можно записать с помощью импульсной функции х у(х) = 1а(-х) + 2Ь е~1 «1р( — х) йх, х < О. о Итак, функция 1а(х) имеет вид /р(х), х>0, ~ у( — х) + 2Ь ( е"1' '11а( — х) Нх, х < О. 0 Из леммы вытекает, что решение задачи (4.22) можно записать в виде интеграла Пуассона (3.5) 183 Применим доказанную лемму.
Для задачи (4.22) получаем ос —— = — Ь, а|=1, аь =О, Ь =2,3,...,Ф, Следовательно, Ф(х) = Ф (х) — Ь1а(х) и согласно лемме функцию 1с'(х) — Ьр(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом. Таким образом, функция ф'(х) — Ьф(х), где 1а(х) — продолжение у(х) на всю ось х — будет нечетной. Очевидно, ф(х) = у(х) при х ) О.
Для определения функции ф(х) при х < 0 получим задачу Коши где функция с (х, с, ~) определяется формулой (3.2). Запишем решение задачи (4.22) через функцию ~о(х): СО о и(х,2) = О(х,б,й)у2(б)22с+ 20(х,с,2)Щ)22с= о — 00 ОО о — а(хД, С) р(б) <б+ а(х,б, ~) р(-~) (б+ о — 00 о + 2Ь С(х,(,ф) Щ с~20 ')~2р( — х) 0Ь, Преобразуем второй и третий интегралы в правой части формулы. Во втором интеграле сделаем замену ( на — б: о ОО / 22(х, ч0, ~)у(-ч0) Ич0 = С(х, -ч0, 1)220(ч0) 22з0. В третьем интеграле заменим х на — х и с на — с: о 0 2ь с(х2(2с) иб с~20 *22р( — х) 0)х = — 00 о 22) 00 — 2 2)22/ 22 20022*= о о = -2Ь р(х) Нх С(х, — б, й)е ~20 *2 д~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
