А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ответы. 1 ( 1 а 1 1. — 1и — !ив 2х ! Ямм, то Вмм, где Дмм, — расстояние между точками М(г, 1о) и Мо(го, 1оо), Вмм, — расстояние между точками М(т, у) и М1 (г1, 'гоо), г1 = а /го 2. О(М, Мо) — С(М, М1), где С(А, В) — функция Грина задачи Дирихле для круга, М1 — точка, симметричная Мо относительно диаметра полукруга. 1 ( а 3.
— ~ 1и — — !п , обозначения см. 1. ' 21г ). Вмм, тоймм, (' 1 ( 1 а 4. — ~1п +!и + 21па, обозначения см. 1. 21г ( Вмм. тоЛмм, 1 1 1 1+ аЬ!па 5. — !и — +— + 21г Ямм, 2я аЬ 1 «-» и — аЬ гтго1" + — ~ ! — ! сов п(ог — 1Оо). 2я п(и+аЬ) 1ао) 1 1 1 ( а 1+ аЬ!иго) 6. — 1п — — — ~ 1п — + ~+ 21г Вмм, 21г 1 т аЬ 1~ и — аЬ га ОО о ~» + — Ъ вЂ” сов п(1« — о«о) 2я ~-~ п(и+ аЬ) 1тго) 1 1п 6 1и —" + 1и го 1и — 1 1 Т. «г+ 1п 21г 1и —," 21г Вмм, »=1 1 1 1 тто 8.
— 1и + — 1и — + 21г Вмм, 2в' а 1 ".~( )""'"-"" ( ')"""- '"~ («-«» »=1 1 1 1 го» тг»+1 ат»+1 Р» (сов В)— 4яЯмм 4я ~-~ г 1 г I Ьо»+1 — ат»+1 мм. »=о 1 г аг )»+' Ьг»+1 „г»+1 Р» (сов д) 41г ««а ! гго,г 61»+1 ао»+1 »=о совВ = совВсовдо + в1пВв1пВо сов(р — 1оо). 10. ~ 4 вгп — »хо!п "~ увгп — »ховгп «~ уо 138 11. 0(М, Ма) — 0(М, Ме), где С(А, В) — функция Грина задачи Дирихле для шара, Ме — точка, симметричная точке Мо относительно плоскости х = О.
Глава Б ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В этой главе рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в ограниченной и неограниченной областях простейшего вида. Уравнение теплопроводности чаще всего возникает при изучении распространения тепла и диффузии, при определенных предположениях оно также появляется в задачах дифракции и распространения волн различной природы. Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности в конечной области О, ограниченной замкнутой поверхностью 5, следует задать начальное и граничное условия. Граничные условия определяются физической постановкой задачи.
В линейных задачах (которые и рассматриваются) чаще всего используются граничные условия первого, второго и третьего рода. Полная постановка задачи имеет вид ие — — а Ьи+ 1(М,С), М б Р, С > О, и/, =у(М), МбО, а — ™+ Суп/ = Д(Р,С)[г з, [о[+ [)У[ ф О, где и — внешняя по отношению к области О нормаль к поверхности Я. Классическим решением начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности называется функция п(М,С), непрерывная вместе с первыми производными по М в замкнутом цилиндре ф Ь х [О,оо), имеющая непрерывные производные первого порядка по С и второго порядка по М в открытом цилиндре ьС„„удовлетворяющая в Я уравнению теплопроводности,начальному и граничному условиям. Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности является согласование начального и граничного условий иг- — а Ьи достигает своих максимального и минимального значений либо на поверхности д, либо в начальный момент времени 1 = О.
Начально-краевая задача с граничными условиями первого, второго и третьего рода (третья краевая задача — „"+ Ьи ~ = 1г при Ь > 0) имеет единственное классическое решение. Задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области будут рассмотрены позже. Как было указано в гл. 1, решение общей начально-краевой задачи может быть представлено в виде суммы и(М,1) = иг(М,1) + иг(М, 1), где ид(М, 1) — решение неоднородного уравнения с однородным гра- ничным условием — =а Лиг+у(М,1), МЕР, 1>0, дп, "'1г=о г'(М) ' диг а — +фиг~ =О, а иг(М,1) — решение с неоднородным граничным условием — =а Лиг, МбР, г>0, диг г и~) =О, д д г!5 д( ' ) Роз' 1 г.
ВАдАчи ДлЯ УРАВнениЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОВЛАСХИ С ОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ Рассмотрим начально-краевую задачу с однородными граничными условиями и, = а~Ли+ г(М,1), М б Р, 1 >О, н~, о=У(М» ди о — + ди( = О, (о(+ ф ~ О, о,)у = сапог.
дп (1.1) Для уравнения теплопроводности в ограниченной области справедлив принцип максимума: любое непрерывное в замкнутой области Р х [О, Т) решение однородного уравнения теплопроводности и(М, С) = ~~с и„(С)и„(М), «=1 коэффициенты и„(С) которого являются решениями задачи Коши дС вЂ” "+ а А«и« = У«(С), С > О, и„(0) = р«, и = 1,2,...,оо, где (и„(М) ) ~~ и (Л«) ~~ — собственные функции и собственные значе- ния соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для оператора Ла- пласа, У„(С) = — С У(М,С) „(М)С1т, 1 « — ~~ ~(з )с 1 Г се«ее — / ссс(М)и„(М) сСК "=1! 1Р.l (1.2) (1.3) Решение задачи Коши для и„(С) можно записать в виде и„(С) = К„(С вЂ” т)~„(т) сСт+ ус«е о (1.4) где К„(С вЂ” т) = е ' «" 0 '~ — импульсная функция Коши. Таким образом, решение начально-краевой задачи с однородными граничными условиями можно записать в виде 0« ОЭ с и(М,С) = ~~ ссс«е ««"си„(М)+~~с и„(М)/ е «"0 11«(т)сСт, ««а а (1.
5) где значения ср«и Д«(т) определяются формулами (1.2), (1.3). Легко видеть, что первое слагаемое в (1.5) представляет решение однородного уравнения с однородным граничным и заданным начальным условием, а второе слагаемое — решение неоднородного уравнения с нулевыми дополнительными условиями. Рассмотрим примеры решения задач. 1. Решить задачу для уравнения теплопроводности на отрезке 0<в<1: и, = азиею 0 < х < С, С > О, и( = и( и!, = х(! — х). 142 Как было показано в гл. 1, решение этой задачи можно представить в виде разложения лп э„(х) = о!и — х, ! п = 1, 2,..., оо. Поскольку уравнение однородное, решение задачи можно записать в виде -а~Л „(, !) ~;~ „е-ел.1„, «=1 где 2Г,лп2 ~р„= — ! 1р(х) о)п — хнах = — ! х(!— "-!/ ! -!/ о о ГО, = 2(1 — ( — 1)" ) = ~ (,4, лп х) ош — х Их = ! и = 2!о+2, и = 2!о+1, !о=0,1, Следовательно, и(Х,!) = 4~~~ Е а !Т)1~"+1! ОШП ( )Х.
! о=о Обратим внимание на то обстоятельство, что полученный ряд тем быстрее сходится, чем больше 1, так что при достаточно больших ! можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Кроме того, видно, что скорость сходимости ряда зависит от скорости нарастания собственных значений с увеличением индекса, т.е. от размеров области. Это обстоятельство характерно и для более сложных рядов, дающих решение уравнения теплопроводности. 2.
Решить задачу для уравнения теплопроводности внутри круга 0 С г С го. ио =а Ьи, о 1= ' но Решение. Поскольку уравнение однородное, решение записывается в виде и(г, ~р, !) = ~ А„е л"'и„(г, 1о), э=1 143 Решемие. Граничные условия — однородные условия Дирихле. Поэтому решение будет представлено в виде разложения по собственным функциям отрезка с граничными условиями Дирихле, которые имеют вид (см. гл. П, 1 1) где еи(г,(((() — собственные функции круга с граничным условием Дирихле. Они имеют вид ии(г,~Р) = .)и )()(»" г 1~ , ' l( = 1,2,..., и = О, 1,..., /(„) ') ( созпу, ,l 1, э(ппу(, где Л есть решение уравнения У„~р А ге = О.
Поэтому решение (и) l (и) удобнее записать в развернутом виде: — 'л(">( — '(А„~ +В ~ р(У,(Д~ ). »=(ииа Коэффициенты Аи» и Ви» определяются из начального условия Х '(((('' ( )(А ~+В ш ~(=~ 2и ииа»=( Отсюда сразу получаем Ви»=0 при всех п=0,1,..., /(=1,2,...,оо, Аи» = 0 при и ф 2, й = 1, 2,..., со, Следовательно, 3. Решить задачу для неоднородного уравнения внутри круга 0 < и < го: и( = а~(»и+ АМ, и), =О, и) =О, А=сове( Ретаенпе. Уравнение теплопроводности решается внутри круга с однородными условиями Дирихле. Следовательно, разложение нужно вести по собственным функциям задачи Дирихле для круга, которые имеют вид (см.
гл. Н, г 5) в «(" (о) = /п яЛк г) ~, п=0,1,...,оо, )г=1,2,..., / („)' 'к (совпгг, ) 1.в(пп(о, где Л„являются корнями уравнения Начальное условие нулевое, правая часть уравнения А( не зависит от угла уг. Следовательно, решение тоже не зависит от угла (о и записывается в виде .к.о = у'..~ок(~/)и.), к=1 где ак(() есть решение задачи Коши — +а Л па=А(ук, (>О, Й4к г (о) й ик), =О, а /к определяется соотношением Решение задачи для ик(() имеет вид А~к ( 1 ~ А /к,1к(о), е агЛ(о) гЛ(о) (агЛ(о))г Следовательно, У ~/Л, .~~ / (о) с-а а ] (+ агго с-г (Л(о)(з/г ( агЛ(о) / / (о) квм к ( а к,/, Л/Л го 4.
Решить задачу об остывании шара радиуса гс, на границе которого поддерживается нулевая температура, а в начальный момент распределение температуры в шаре равно Ат з)п де(п)г, (А = сопз1). Решение. Пусть и(г,д,~р,1) — температура в точке (г,д,~р) в момент времени 1. Тогда процесс остывания шара описывается начально-краевой задачей иг — — агЬи в шаре 0 < г < го, и/„„= О, 11= Аг з)п )) з)п р. 1>0, — 'х.„„()7„"""') р)->( е("' 1=1,2,...,оо, и=0,1,2,...,оо, пг= 0,1,...,и, 1н+г) г) где Л„ — корень уравнения решение задачи удобно записать в развернутом виде (в виде тройного ряда): (' /1 +~!г) '~п+1/ г 1 )~ь =ЕкЕ ' — 'г< "+ми с / 1т) Ю~ Ь=гн=е =О х (Аь„,„созгпу+ Вь„з)ппг)г).
Коэффициенты Аьн,н и Вь„,н определяются из начального условия (, Гл~-+)'),) Р~ )(созВ)х ь=г ьо 1=6 х (Аь созпьр+ Вь„з)ппир) = Агз(пйз(пгг, Так как з)пде)п~р = Р (сов в) з)п)о, отсюда сразу получаем 0) Аь„= 0 при всех е,п,пг, Вь„— - 0 при всех lс, и ф 1, пг ф 1, 146 Поскольку собственные функции задачи Дирихле для шара имеют вид (см. гл. П, г 13) а для определения коэффициента В»ы (/т = 1, 2,... ) получаем соот- ношение —./в/цу/» т(В»ы = Ат, Еу- (Р ! 1 / / (в/г) ,/г »эц откуда Следовательно, и = 2А,авто Рг ~(сов В) в(п у х — '»"м>г /в/г )/Л» то /(з/г) е ' » ,/р7а (т (,/,-м,„)')','т""~т" Замечание. Учитывая вид начального условия и~, = Атвшдяп)г = АтР»"~'(совд)вш)г, (начальное условие уже разложено по сферическим функциям), решение поставленной задачи можно сразу искать в виде разложения и = Р, (совд)яви г В»ы —,/в/г г/А» т), П) ч 1 )т / 1з/г) ,/т »»ц коэффициенты которого определяются из начального условия.
5. Найти температуру прямого однородного бесконечного стержня прямоугольного сечения, внутри которого имеются равномерно распределенные тепловые источники постоянной моШности. Боковая поверхность стержня теплоизолирована, а начальная температура равна нулю. Решение. Пусть и(х,у,г) — температура в точке (х,у) в момент времени / (в силу однородности стержня зависимости от продольной координаты 2 нет). Для функции и получаем следующую начально- краевую задачу в прямоугольнике 0 < х < !1, 0 < у < !г.' ит — — а Ли+ д, 0<*я<!1, 0<у<!г (д=сопог), и<, =О, ди ди ди ду <о=о ду <д=т, ди дх <п=о Решение этой задачи строится в виде ряда по собственным функциям задачи Неймана для прямоугольника, которые имеют вид пп лтп 1, соо — хсоо — у, п,тп=1,2,...,со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
