А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 18
Текст из файла (страница 18)
!г Выделена собственная функция, равная 1, соответствующая нулевому собственному значению. Остальные собственные значения равны Л»» = — + ~™, п,тп= 1,2,. Решение задачи имеет вид лп ктп и(х, у, !) = иоо(!) + "т ~~1 и»п,(!) соо — х соа — у, »=1 пт=1 ! 1 2 где и» (!) (п,пт = 0,1,...) есть решение задачи Коши ди»т» г т!! + е Л»пти»п» = т»пт и»т»< = О т=о где 4 !' !' хп хтп У»~в = Д вЂ” / / соо — х«м — У«х«у=йд»одто !1!2 !1 !г о о д, п=О, тп=О, О, п ф О, пг ф О.
Й4оа — = д, иоо(0) = 0 (Лоо = 0). 148 Следовательно, отличной от нуля будет только функция иоо(!), ко- торая является решением задачи Отсюда иоо(1) = Ф. Таким образом, распределение температуры не зависит от координат х и у и имеет вид и(х, у,1) = д8. Замечание 1. Решение (т.е. температура стержня) нарастает по времени. Этого следовало ожидать из физических соображений, поскольку источники постоянной мощности действуют в области с теплоизолированной границей, отвода тепла из которой нет. Это и приводит к неограниченному росту температуры со временем. Замечание 2. Рассматриваемую задачу можно было решить быстрее и проще, если учесть следующие соображения.
Граничные условия — это однородные условия второго рода, а правая часть уравнения от пространственных координат не зависит. Кстественно, возникает предположение, что и само решение и не буде'г зависеть от координат х и у: и = и(г). Тогда для и(1) сразу получается задача ис=у, и~, =О, решение которой и = у1.
Таким образом, найдено решение исходной задачи, зависящее только от 1. В силу теоремы единственности другого решения исходной задачи нет. 6. Однородное тело, ограниченное замкнутой поверхностью Я, в начальный момент имело постоянную температуру То. Поверхность тела теплоизолирована. Найти температуру тела в любой момент времени. Решеиие. Для температуры тела и(М, 1) получаем следующую задачу: ис = о'Ьи в Р при Ф ) О, Получим решение этой задачи из физических соображений, предоставляя читателю возможность получить его изложенной выше методикой разложения в ряд по собственным функциям. Поскольку поверхность тела теплоизолирована, то нет отвода тепла из области П.
Следовательно, постоянная температура тела будет оставаться неизменной: и(М,1) = То. 149 Дх,1) = е 'х(! — х), где о — вещественный параметр. Решение. Начально-краевая задача, моделирующая описанный в условии задачи процесс, имеет вид иссааги +е ст.(1 — х), 0<х<1, и(, =О, и! = и) , = О. 1) О, Решение задачи записывается с помощью формулы (1.5), в которой в силу однородности начальных условий ср„= 0 (п = 1,2,...).
Собственные функции отрезка в случае граничных условий Дирихле имеют вид (см. гл. Н, 1 1) лп о„(х) = зсп — х, и = 1,2,..., причем квадрат нормы равен ))о))г = —. Таким образом, из формул (1.5) и (1.2) получаем с и(х,1) = — ~~с е ( 1 ) сеш — х е(~ с ) + «'с!т с(! — 4)зш — (с(б. а=1 о о Вычисляя интегралы в правой части последней формулы: с 11 — ")с+а)с ("'")'+ о лп Д! — б) ош — 4 с!б = (1 — ( — 1)"), ( „)з о получим окончательный ответ: 4!Я 1 ( ])и -ас е-1с)'с и(х, С) = — — 7 ' есп — х лз с а пз (ссап)г+а!г а=1 8!я -!гает~'-1) С аС О' «(гь+Ц . лз Е а!г + лгаг(2)с + 1)г (2)с + 1)з шо 7. Найти температуру однородного стержня длины 1, если его боковая поверхность теплоизолирована, начальная температура равна нулю и температура концов поддерживается равной нулю.
Вдоль стержня распределены источники тепла с плотностью 81о ~ 1пп -" (х,!) = — — 7 ,,+„эв а (а!о» яоаг(2!с» 1)г] (2!с+ 1)в о=о 8. Найти температуру однородного стержня длины 1, если его боковая поверхность теплоизолирована, начальная температура равна нулю и температура концов поддерживается равной нулю. В стержне действует сосредоточенный источник тепла мощности Я, расположенный в точке хо. Решение. С помощью понятия а-функции начально-краевую задачу можно поставить следующим образом; ис = а иэв+ — о(х — хо), 0 < х <1, э ср ],,=о, !>О, где с — удельная теплоемкость, р — линейная плотность, а о !с Р' где й — коэффициент теплопроводности.
Данная задача отличается от предыдущей только видом неоднородности уравнения У(х !) - =у(х) = — 6(х — хо). О ср С помощью формул (1.5) и (1.2) решение записывается в виде с с 2Я с" с" ..с,, сгп, хп и(х,!) = — ~ / / е 1 с ! !' '1яп — хяп — (б(( — хо)с!~с!г. ср1 / / ! 1 „,П Используя свойство 6-функции, получим окончательный ответ: 20! ~~ 1 — е 1 г сс, сгп, сгп и(х, !) = впэ — х яп — хо.
хэсрао х пг 1 1 нвц 9. Решить задачу об остывании однородного круглого цилиндра 1,Р' ' радиуса го и высоты 1. Поверхность цилиндра теплоиэолирована, а начальная температура равна ,ОО 2сг и] = А/о~ — 'г)сов2со сов — в, го ! Иэ последней формулы вытекает, что при а < 0 температура тела при ! -+ +сю стремится к нулю. При а > 0 температура стержня при ! -+ +со зависит от времени по такому же закону, что и плотность распределенных источников тепла (система выходит на стационарный режим): где А — некоторая постоянная, р — первый корень уравнения (21 Р,(д) = О.
иг — — а Ьи, МЕД""~, 1>О, ~ р(,1 ~ 2л. и~ = АУг( — 'г)соз2рсоз — г, г»о ( гс ди ди ди дг!г=ы ' дг ~з=е д» ~»ы Согласно формуле (1.5) решение задачи записывается в виде разложения в ряд по собственным функциям цилиндра (см. гл. П, З 9): н(М,() = и(г, у, г,() = е ' '"",У„( — "г) х лог х (Аь»уд сов и Р + Вь»,» 81п пгг) с(м — г, 1 (») ""- = ( — ".". )' '(7)' Для определения коэффициентов разложения воспользуемся началь- ным условием (») лоан 1»( — "г1(Аь»тсозпР+Вь»тз(пну)осе — г = („) ! ЕЕЕ (г) 2л = А Уг ( — ' г1 соз 2~р соз — г. ( ) 1 Сравнивая коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим Аггг = 1, А»» = О, и ф 2, пг ф.
2, й = 2, 3,..., Вь» = О, 1 = 1, 2,..., и, пг = О, 1,..., 152 Решение. Поскольку поверхность цилиндра теплоизолирована, поток тепла через нее равен нулю, а так как поток тепла через поверхность пропорционален нормальной производной от температуры, в результате получаем однородные граничные условия Неймана. Начально-краевая задача, моделирующая процесс остывания цилиндра, имеет, таким образом, следующий вид: откуда следует окончательный ответ: и(г,1«,г,1) = Ае ~~ "' ~ ~ ' ~ ~ .1г( 1 г)сов2гг сов — г .
10. Рассмотреть процесс остывания шарового слоя гг < г < гг, на внутренней и внешней поверхностях которого происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. Начальная температура шара является линейной функцией радиуса: ((г) = Аг. Решение. Начально-краевая задача имеет следующий вид: ди г (д~и 2 да\ — =а ~( — + — — г, гг<г<гг, г>0, дг (дгг где) ' и~, =Аг, — — Ьди) = О, ди дг — +Лги) =О, ди поскольку в силу условия задачи температура шарового слоя является функцией радиуса и времени: и = и(г, 1).
Для решения поставленной начально-краевой задачи возможны два подхода. Во-первых, можно воспользоваться разложением решения по собственным функциям шарового слоя, рассмотренным в гл. П, г 14. При этом в силу сферической симметрии рассматриваемой задачи в разложении будут участвовать только цилиндрические функции Бесселя уг~г(Лг) и Неймана Уг~г(Л«), которые выражаются через элементарные функции согласно формулам /2 Г2 11уг(х) = г1 — в(пх, Юг~г(х) = г( — совх.
Во-вторых, можно свести поставленную задачу к рассмотренной в гл. П, г 1 задаче для отрезка. Мы используем второй путь, предлагая читателю в качестве упражнения решить ту же задачу первым способом. Введем функцию «(г, г) = ги(г,г). Для нее получается следующая начально-краевая задача: дс гдге — = ог —, гг < г < гг, г ) О, дМ дгг ' ),,=А", Согласно формуле (1.5) решение этой задачи можно записать в виде ряда е(г, 1) = ~~~ С„е а ~ "~В„(г), а=г где В„(г) и ˄— собственные функции и собственные значения за- дачи Штурма — Лиувилля Вл+ЛВ=О, гг<г<гг, В' — (Ь, + — „') В~ В'+(Ьг — — „~) В~ = О. Сравнивая эту задачу с задачей Штурма — Лиувилля, рассмотренной в гл. П, г 1, видим, что, для того чтобы использовать формулы гл.
П, в них необходимо положить аг = аг = 1, Д = Ь1 + „~, дг — — Ьг — ~, 1 = гг — гы х = г — гь Тогда из формулы (1.11) гл. П будет следовать выражение для собственных функций В„( ) = 1 х /~ .~ ~ь, ~ ч 1Л ° ((~ + — ) ' т.( -'с+~~ /ьг —.)).
гг Эти собственные функции не являются нормированными. Выраже- ние для квадрата нормы имеет вид (см. гл. П, г 1) (~В )~г Вг(г),1г г1 гг — г, 1 (Ьг + Ьг + — „— — )(Л» + (Ьг + — )(Ьг )) 2 й (Л +(Ь,+ г)г)(Л +(Ь г)г) 154 Собственное значение Л„ есть и-й корень характеристического уравнения,получая)щегося из уравнения (1.9) гл.11: Л» — ())г + — „)(лг —,— ) сааб ~/Л (тг — гг) = ' , г .
(1 б) Л ("~+))г+ — „, —,—,) Собственные функции К(г) можно записать более компактно (см. гл. 11), полагая з1п и„= л +,— ' сов и„= 7„~)» ~-'г' (1.7) так что в(г, 0) = ~~) С„ в(п [~/Л„(г — ге) + ) „] = Ага, »=1 откуда для коэффициентов С» получается формула г» 1 е„=, = ) АР ) !~)т„) —,) ~- „! ы . !!В„(!' Интеграл в правой части формулы легко вычисляется двукратным интегрированием по частям: Г2 1 = / г з)п [~/Л„(г — гг) + и„~] Й = — з(п [~/Л„(тз — г~) + и„]— Л» г~ уг,' 2~ — — — — ~ сов ~/Л„(гз — т) ) + г„ т/Л 2гг.
/г2 2 — — з1 и и„— ~ — — — ~ соз г „. 155 Л» Р» = атефом ь,+ — „' Собственная функция будет иметь вид Н»(г) — з)п [~/Л»(г г1) + ~»] . Таким образом, для функции и(г,1) получается разложение и(т,1) = ~~ С„е» х") з(п [~/Л»»(г — тг) + и»] . »»и Для определения коэффициентов разложения воспользуемся начальным условием в(п [~/Л„(тг — тг) + ~„1 = Л„ + (Ь, + )г е)п(~/Л (гг — тг)) сов и (ь +ь + „— ', — А)(ь + А) сое [~/Л„(гг — г1) + и„] = Л„ + (Ь, + )' Ьг — „— ' в(п(~/Л (сг — гг)) сое н ,/Х„-(ь, + ь, + „— ' — — „' ) ь, +,— ' откуда л„+(ь, + „— ') + — ) х Л„(ь! + Ьг + „— — — )(Ьг х + + Ьг Бш(ь/Хп(гг Гг)) сое и».
'( /Х...л" ~ /л. л„"') Используя (1.6), получим ъ/Х (Ь|+Ьг+ „—, — —,',) е(п ~/Л (сг — тг)— Аналогично из формулы (1.7) следует, что Ь,+ — ' Г1 сое и„= ф;+7ь+ „,р С помощью двух последних формул выражение для интеграла можно привести к следующему виду: сгЛ» + 2+ гг(ггьи — 2)ьг Таким образом, для коэффициентов разложения получаем формулу А 9~~Ли + 2+ тгьг(трл» вЂ” 2) ~и~.~~ 1г',нт„гтп —,-~~) 156 Для дальнейших преобразований воспользуемся формулами (1.6) и (1.7). Имеем Решение исходной задачи п(г, С) имеет следующий вид: и(г, С)»-»» з)п [~/Л„(г — гс) + и»~ п(гС)= =~С е г »см е» ~"' гггЛ» + 2+ ггЬг(гггЛ» — 2) з1п[~/Л»(г — гг) + и»~ г згг .=, 11».11 А.
~Яг„'~( Ф,::Г)' где [[г г— гг — гс 1 (Ьг + Ьг + — — — )(Л«+ (Ьс + — )(Ьг — — )) 2 2 (Л» + (Ьд +,—,)г)(Л» + (Ьг — „—,)г) Л» — и-й корень уравнения Л» (Ь, + — „' )(Ь, — „— ') сгк ~/Л (гг — гг) = Л„(Ь, +Ьг+ — „', — — „',) и» = агсгк (и = 1,2,...). 'и»» Ь,+ — „' 5 г. зАЛАчи для ъгРАВнения ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОВЛАСТИ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ ЪГСЛОВИЯМИ Рассмотрим теперь начально-краевую зацачу для уравнения теплопроводности с неоднородным граничным условием аг —— агсьп в Р, С > О, а! = = 0, дп о — +да = Сг(Р,Сй.ез, [о!+ [д! ~ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
