А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти распределение потенциала внутри прямого кругового цилиндра радиуса а, на торцах которого задано нулевое электрическое поле, а на боковой поверхности подцерживается потенциал, равный Уо в, Уо =сопво. в цилиндре, ди1 — =О, да[, „ ди г=э и[ = Рою В данном случае решение от переменной ~р не зависит и может быть записано в виде с~ у (аас) ~(".) " Ь Коэффициенты Аьо определяются из граничного условия по форму- лам ь 1 1 яй Аьа =,„, ~ Устои — «Ы» = [[ соа «~.*. [[т,/ Ь а У0$, Ь= о, — УоЯт[1 — ( — 1) ], Ь = 1, 2,..., оо.
Итак, данная задача имеет решение 1 ч 2УоЬ „1о ( — '„") яЬг и = -~УоЬ вЂ” у —,[1 — ( — 1)") .,"„соа —. ~Ь ~,(.") Ь ' 3. Решить уравнение Лапласа внутри сектора кругового цилиндра О < г < а, О < у < к~, О < т < Ь с граничными условиями и[ =и! =и[ =и[ =О, и! = г4а)п41о. Решение. Поскольку при г = 0 задано нулевое граничное условие, то решение поставленной задачи можно записать в виде и = ~~~ 2 А„(1~Ль )т) А„ььйп4пу, =о а=1 еЬ |/А~ "1Ь где Л(га" 1 — корни уравнения .уа„( /Л~~")а) = О. Решение. Электростатический потенциал и является решением следующей краевой задачи; Заметим, что разложение решения проводится по собственным функциям задачи Дирикле для сектора с углом раствора о = которые имеют вид Ув„(Д"~г) в(п4пр, и = 0,1,..., й = 1,2,.
Коэффициенты ряда определяются из граничного условия при в = 6 и равны 1 Аиь— х )! Ува(~/Л~, "1г)()в() в1п 4п~р))в а УУ 'У (Д~)ц 4рь4 ~ ~ Ф= Заг г У4(ъ~ Лв г) г = л1 а'(У)в(ЛАЛИ") ) Л/Л~'~ (У)т(ЛГЛ(й~а) Следовательно, У РО У1в1 2аз Ув(а)уЛв ) вЬ)у Лв в у ~ — 1 4. Решить уравнение Лапласа внутри тора прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < р < 2к, 0 < в < 6 с граничными условиями ди) ди — — =О, д ~,, д и(„, = О, и! в — — совЗ~р. Ре~иеиие. Граничные условия при в = 0 и в = Ь являются однородными граничными условиями второго рода, а при г = а и г = 6 граничные функции не зависят от ю Поэтому данная задача вырождается в краевую задачу для уравнения Лапласа внутри кольца а<г<6: Ьви = О, а < г < 6, 0 < р < 2к и(„= О, и~ = совЗ~р, 105 решение которой может быть записано в виде (см. (4.6)) (а) фа) и = — + ~ (Аа сов ар+ В„з(пар), 2 В( )(Ь) „, В5;)(Ь) где В~( )(г) = 1и-",, В(а )(г) =" Из граничных условий находим В„= О, А„= О, Аз=1.
0=1,2, яфЗ, Следовательно, ьз ге — ае и = — созЗР. г 6 — а 1 то. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Для построения решений краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре, вне шара и в шаровом слое необходимы специальные решения, называемые шаровыми функциями. Позтому сначала построим эти решения. Введем сферическую систему координат (г, д, у). Найдем решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(г,д,)а)= В(г)е(а,1а).
где О) Ое) 1 Яг„ Ьг, и = —,— ~з)пд — ) +— з(пВВВ'Л ЭВ) з(п'ВВР— сферический оператор Лапласа. Отсюда получаем краевую зада- чу для определения е()), р); Ьгг,е+ Ле = О, О < й < л, О < )а < 2л, е()г,у) = е(д,гр+ 2гг), ) е(г) ~ 'Р) (г е „! < оо е Ф О (10.1) )06 Подставляя искомый вид решения в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получим и уравнение для функции В(г) гон" + 2гл' — ЛЛ = 0 (10.2) Задача (10.1) есть задача Штурма — Лиувилля для сферического опе- ратора Лапласа, собственные значения и собственные функции кото- рой имеют вид ) сов тР, Л = Лп = п(и+ 1), о = оп =Р(м)(совВ) ~ в(п т(о, и = 0,1,...,оо, т = 0,1,...,п, где Рп (х) — присоединенные (~п) функции Лежандра.
Общее решение уравнения (10.2) при Л = и(и + 1) имеет вид Я(г) = С1гп+ Сзг (и+'). Таким образом, построены два семейства решений уравнения Лапла- са: 1 сов т(о, ге Р( ) (сов В) ~ 81п гп(о, Р( )( В)( у~+ъ и ( вш т(о Функции первого семейства ограничены при г = О, функции второго семейства — при г -+ оо. 1 11.
КРАЕВЫЕ ЗАДАптИ,(1ЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ШАРЕ Теперь перейдем к решению краевой задачи для уравнения Лапласа внутри шара: Ли=О вшаре(0<г<а) Р1 [и) = о1 — + )11 и(, = у (В, (о), (о1) + ф1 ) ~ О. (11.1) оо и гп и = ~~~ ~~~ Р(м)(сов В) (Ап совт(о+ Вп в(пт(о), (11.2) п=вп1=0 ( ) г=а коэффициенты которого определяются из граничного условия: 1 1 Г Ап„, = — / / 1(В, р)Рй ) (сов В) сов т(о в(п В ВВ В(о, 1 о о оп 1 Г Вп,„= — / / ~(В,Р)Р~п~(совВ)в!пт~781ПВЮ~6р, г (11.3) (11.4) о о Решение этой задачи (поскольку оно ограничено при г = 0) будем строить в виде ряда по шаровым функциям: где Мг = [[Рв( 1[[ [[сов гп1г[[, Фг = [[Р1~1[[ [[в1п тпгг[[.
В том случае, если решается задача Неймана, следует иметь в виду, что решение существует лишь при условии г у(В,Р)в(пВВВду = О о о Рг[и) = 01 — + дги[ = 7(В), ди (11.5) то и решение соответствующей краевой задачи не будет зависеть от 1в (имеет осевую симметрию) и может быть записано в виде СЮ тв и =" А„Р„(сов В), , Р,[ "][ (11.6) где А„= ! ~(В) Р„(сов В) вш В ВВ. 2п+1 Г 2 о (11.7) Выражение (11.6) получается из (11.2), если учесть, что А„в=А„, А„=В„=О притпфО. $1г.
ИРАВВъге зАдАми для УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНЕ ШАРА Решение внешней краевой задачи: Ьн = О вне шара (т ) а) ди Рг[п) = ог — дги[ = ~(В, у), дт (12.1) и=10 при т-+со 108 и определяется с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому суммирование в (11.2) начинается с и = 1, а коэффициент Авв остается произвольным. Если граничное условие (11.1) не зависит от угла 1в, т.е, имеет вид представляется в виде ряда «=0 юл=в г(гвэт) ~г=а х Р1 1(сов В) (А„совпгьг+ В„вшпгР), (12.2) коэффициенты которого определяются из граничного условия и да- ются формулами (11.3). 6 гв. кРАеВые зАДАчи ДлЯ УРАВнениЯ ЛАПЛАСА В ШАРОВОМ СЛОЕ Ли=0, а<т<6, и1,=. = ~г(В,р), и),=ь = Уг(В,ьг) (13.1) Построим сначала решение уравнения (10.2) при Л = п(п + 1), удо- влетворяющее однородному граничному условию при т = а.
Таким решением является функция га+г га+г гь(г) = В~'1(г) = Аналогично строится решение, удовлетворяющее однородному усло- вию Дирихле при г = 6: 6га+г гга+ь Л1ь1(„) Таким образом, получаем семейство решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих однородному условию Дирихле при г = а: ~~~~ (г, В, ьг) = Я~;1(т)Р1~1(сов В)( 1 в)п пир, (13.2) и семейство решений, удовлетворяющих однородному условию при г=6: и„,п(г, В, Ьг) = К,„(г)Р„(сов В) ' (13.3) 1 в)п игла. При решении краевой задачи внутри шарового слоя (а < г < 6) используются оба семейства решений (10.3). При этом удобно вначале построить из них две другие серии решений аналогично тому, как это сделано при решении уравнения Лапласа в круговом кольце.
Для определенности рассмотрим задачу Дирихле в шаровом слое: Решение краевой задачи (13.1) теперь можно представить в виде разложения по семействам решений (13.2) и (13.3) н записать следукпцим образом: с»» л1») ( и = ~~ ~~~~, Р~~~(совВ) (А„сов пир+ В» в1пгп1о) + »=отл=о В» '(3) 1ь) + ~» ~~~ 1 ) Р~ ~(совВ) (С„соотнес+ Р„в1пта)о).
»=о»1=0 В' '(а) (13.4) Коэффициенты А„и В„определяются из граничного условия при г = 6, а коэффициенты С„и Є— из граничного условия при г = а. Формулы для коэффициентов аналогичны формулам (11.3), (11.4). При решении задачи с другими граничными условиями следует предварительно построить семейство решений, удовлетворяющих нужному однородному граничному условию при г = а, и семейство решений, удовлетворяющих однородному условию при г = 6. Например, решения, удовлетворяющие граничному условию ди — =О, дт „, можно взять в виде (и+ 1)то»+г+ пав»+1 Т~~)(т) = и = О, 1, Рассмотрим теперь примеры решения задач.
1. Найти искажение однородного электрического поля Ео при помещении в него идеально проводящего шара радиуса а. Решение. Электростатический потенциал и вне шара представим в виде и = ив+и, где ио — потенциал поля Ео, о — потенциал, связанный с присутствием шара. Введем сферическую систему координат (г, В, у) с началом в центре шара и осью в, направленной вдоль поля Ео. Тогда ио = — Ео» = — Еог сов В. На границе шара (при г = а) полное электростатическое поле Е = = - йгЫ и удовлетворяет условию [и, Е]]„ , = [е„, Е]]„ , = — [е„ игам(ио + о)][„ , = О. Отсюда 1д 1 д — — (по+ е) =, — (ио+е) = О гдВ гв(пВ д1о или (ио+и)! = О (постоянная считается равной нулю, поскольку потенциал определен с точностью до сопв1).
Следовательно, для функции е получаем внешнюю задачу: Ье = О вне шара, е! = -ио)„, = ЕоасовВ, е =Ф О при г -е со. Решение этой задачи не зависит от переменной р. Поэтому его можно записать в виде е = ~~~ А„(-) Р„(сов В). «=о Из граничного условия, учитывая, что сов В = Рг(сов В), находим А1 = Еоа, А„= О, и ф 1. Следовательно, аз е = Ео —,Р1 (сов В) = Ео — сов О, г~ г2 а искажение электрического поля Е = — игам е = Ео — (2 сов 0 е„+ вш 0 ео ).
Потенциал полного поля вне шара равен и = ио + е = — Ео(г — — ) сов В. 2. Найти электростатический потенциал внутри сферы, верхняя половина которой (О < 0 < к~) заряжена до потенциала Уо, а нижняя (~ < 0 < я) заземлена, Уо — — сопвФ. Решение. Для потенциала и внутри сферы получаем задачу Ьи = О внутри сферы; 2 Решение этой задачи имеет аксиальную симметрию (не зависит от !о) и может быть записано в виде и = ~ ~(-) А„Р„(сов В).
о=о Коэффициенты А„определяются из граничного условия по формуле А„= — / у(В)Р„(совВ)в!пВЮ = Уо ( Р„(х) Нх. 2и+ 1 В . 2и+1 2,/ 2 Вычислим написанный интеграл. Прежде всего заметим, что при четных и ,-6 О 1 +1 Р„(х) ~Ь = — / Р„(х) с!х = О. 1 Г 2,/ При и = О 1 1 Р„(х) Вх = о)х = 1. о о Пусть и = 2(о + 1. Используем формулу Р„(х) = ( Р„'+,(х) — Р„' ,(х)) . Поэтому 1 Ру,.ьг(х) Ых = / (Ргь ьг(х) — Ргь(х)) Вх = 4/с+ 3,/ о о 1 (Ргь(О) — Рга+г(О)) .
+ Поскольку (2х)! Р„(О) = (-!)" 2г„(~,,')г, получим / (2х)! Ргь+г(х) * ( ) 2гь+г(1,.! ц(ь!)г Следовательно, „4!о + З (2!о)! Ага О1 Аг~+г ( 1) ) 2~в+г(х~)г ~Ъ +1 2 и решение имеет вид и = — + 61о~ ~( — 1)" гь+г(,)г ~-) Ргьег(совВ). ь+1 ого ьг Ц г ~а,) Ь=1 3. Определить электростатический потенциал внутри шаровой оболочки а < г < 6, внешняя поверхность которой заземлена, а внутренняя заряжена до потенциала По вгп Вв1п 1о.
Решение, Потенциал и является решением следующей краевой задачи для уравнения Лапласа внутри шаровой оболочки: гьи=О, а<с<6, и)„п. = 61О В1ПВВ1вьг, и! =ь О. Поскольку граничное условие при г = 6 нулевое, то решение поста- вленной задачи можно записать в виде 1ь1( и = ~ ~~ ~1 Р1 1(совВ) (А„совпгьг+ Вп вгппгу), п=о =о В (а) где 6гп+1 Ггп+1 В(ь1(„) 1.п+1 Учитывая, что в)пВв)пЬо = Р, (совВ)вшито, из граничных условий 11) сразу находим Ап =О привсехпипг, В11 = По, Впм —— О пРи и ф 1, пг ф 1.
Поэтому решение имеет вид о(ь)(г) аг 6з гз и = По (ь1 Р1 (совВ) вгпгг = 61о — з з вгпВвьп1о. 4. Аналогичным образом решаются и более сложные задачи, в которых дополнительные условия имеют вид "условий сопряжения". Рассмотрим следующую задачу. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной в1 находится во внешнем однородном постоянном электрическом поле Ео. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если внешняя среда — однородный диэлектрик с диэлектрической постоянной ег. Решение. Введем сферическую систему координат (т,В,у) с началом в центре шара и осью г, направленной вдоль электрического поля Ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
