А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(5.11) Тогда коэффициенты С„будут также определяться формулой (5.10). При этом нужно проявлять осмотрительность при решении второй краевой задачи (задачи Неймана), поскольку она имеет решение не всегда и ее решение, если оно существует, не единственно. и(а) (г, (г) = В(') (г)Ф„(Ьь), п аа 1, 2,..., оо, (')(, ) = В(')( ) -( ) (6.4) где В„(г) и В„(г) — решения уравнения (а) (Ь) ,2В»+,В2 — ЛВ = О, (6.6) удовлетворяющие граничным условиям (а) р [В(а)] — ~И» а В(а] (6.6) =О, (Ь) Р2[В„] = а2 +)22В„ Йг (6.7) =О, »=Ь а Ф„((ь) и ˄— собственные функции и собственные значения задачи (6.6). Общее решение уравнения (6.6) имеет вид В = Сгг'" " + С2г У" при Л ~ О, В = С2 + С21п г при Л = О.
Построение решений В»( и В(»', удовлетворяющих условиям (6.6) (а) (Ь) и (6.7) соответственно, труда не составляет. Например, для задачи Дирихле (о2 = о2 = О~ )72 = — 1, )72 = 1) эти решения можно записать в виде И 62.УЛ Г2 Л В(ь)(г) = при Л„ф О, В( )(г) = 1и— („ь при Ло = О. г „2,/Л „2,/Л „ В( )(„) — " Ве ()(г) =!п-, а Таким образом, общее решение уравнения Лапласа внутри кольце- вого сектора можно записать в виде Ао Во (г) Во Во (") Рг[Во (а)] Р2[Во (о)] +~ 'А„",," Ф„(()+~ В„"„," Ф„(Ь), Р2[В('(и] „-, Р2[В(')(оИ (6.8) 85 Семейство частных решений уравнения Лапласа, аналогичное (4.4), удобное для решения поставленной задачи, можно записать в виде при этом если все Ла 7Ь О, то Ао = Во = О. Коэффициенты А„и В„ определяются из граничных условий (6.2): а 1 Аа = ~~, ~ г / Ь(Р)Фа(Р) ~'Р, о а 1 В р р ~ ~ ( ) ф ( ) М о В том случае, когда граничные условия на лучах 1о = 0 и 1о = а неоднородные, для решения соответствующей задачи можно либо сделать замену неизвестной функции, либо записать решение, используя функцию Грина.
1 т. кРАеВые 3АдА'чи для 'уРАВнения ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут быть решены методом разделения переменных. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле Ли=О, 0<х< а, 0<У<о, и!.ао = Юг(У), и!.аа = Рг(У), и!оао = 4ь(х), и/оаь = Фг(х) Задачу (7.1)-(7.3) разобьем на две задачи, каждая из которых имеет однородные граничные условия по одной из переменных. Пусть и(х, у) = иг (х, у) + иг(х, у), где иь и иг есть решения следующих задач в прямоугольнике: Ьиь =О, Лиг =О, Каждую из этих задач будем называть стандартной.
Рассмотрим стандартную задачу для функции и1(х, у) . Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(х,у) = Х(х)У(у)фО (7 А) иь)аао = иь хааа = О, иь!дао = Фь(х), иь1оаь = Фг(х), иг!оао = иг(оаь = О, иг!аао Оьь(У)~ иг(*аа = Рг(у) (7.1) (7.2) (7.3) и удовлетворяющие однородным граничным условиям по х: и( =е = и(. — = О. (7.5) Отсюда получаем отдельные уравнения для Х(х) и У(у).
Поскольку по переменной х должны выполняться однородные граничные усло- вия (7.5), для определения функции Х(х) имеем одномерную задачу Штурма-Лиувилля: Х" + ЛХ = О, 0 < х < а, К(0) = Х(а) = О, Х(х)фО, решение которой имеет вид (см. гл, П, з 1) гяптг а хп Х = Х„(х) = я(п — х, а Учитывая найденное значение Л„, получаем из (7.6) уравнение для У(у): У" — Л„У=О, 0<у<6. (7.7) Общее решение етого уравнения можно записать в виде У = Сге ° " + Сте Но такая запись неудобна для дальнейшего.
Гораздо удобнее фунда- ментальную систему (Уг, Ут) решений уравнения (7.7) выбрать так, чтобы функция У1 удовлетворяла однородному граничному условию при у= 0: Уд(0) = О, а функция Уз(у) — однородному граничному условию при у = 6: Ут(6) = О. Такими решениями являются У1 (у) — зЬ у, а Уг(у) = зЬ вЂ” (6 — у) .
а Общее решение уравнения (7.7) удобно записать в виде яп яп У = Сг зЬ вЂ” у+ СгаЬ вЂ” (6 — у) . а а Подставляя (7.4) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получим Х"(х) У"(у) (7.6) Х(х) = У(у) = Таким образом, построены следуюшие системы частных решений уравнения Лапласа: и„(х, у) = вгп л/Л„х вЬ |/Л„у (7.8) и„(х, у) = в1п л/Л» »х вЬ |/Л» (6 — у) . (7.9) Теперь решение задачи для функции иг(х, у) запишем в виде разло- жения по этим частным решениям: иг(х, у) = ~~~ А„" в(п ~/Л»»х+ ~ В„" вш ~/Л»»х = вЬ |/Х„у . вЬ |/Х„(6 — у), ( вЬъ~Х„у вЬ ГХ,(Ь вЂ” у)\ .
~— (7.10) Подставляя (7.10) в граничное условие при у = О, получаем В„в(п л/Л„х = 4г(х), »»л откуда видно, что В„есть коэффициенты Фурье функции 4~г(х) по системе собственных функций (в(п — '," х)', . Они вычисляются по формулам а 2(, яп В„= — ~ ггг(х) в(п — х г(х. (7.11) ау а о Подставляя (7.10) в граничное условие при у = 6, получим А„в1п л/Л„х = фв(х), откуда а 2 (, ггп А = — ~ гуз(х) юп — ~гав. а,/ а о (7.12) ив(х,у) = ~~г ~С» " + О» 1вгп~/Л„у, (7.13) ( вЬ ~/Х„х вЬ |/Х„(а — х) ) вЬ ~/Л„а вЬ |/Х„а 88 Таким образом, решение стандартной задачи для функции иг(х, у) дается разложением (7.10), коэффициенты которого определяются формулами (7.11) и (7.12). Аналогичным образом решается стандартная задача для функции ит(х, у) . Решение ее имеет вид где л„= ( —,"), ь ь 2 г г В» — / 1а1(у) в(п ~/Л»»уеду, С» = / 1гз(у) вш ~/Л»»у<1у ь,) ь/ Итак, решение задачи (7.1)-(7.3) имеет вид и = иь(* У) + из(* У) где функции иг и из определяются формулами (7.10) и (7.13) соответственно.
Таким же образом может быть решена краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике с другими граничными условиями. Осторожность нужно проявлять при решении задачи Неймана, поскольку при редукции ее к стандартным задачам может появиться задача, которая не имеет решения, в то время как решение исходной задачи существует. В этом случае исходную задачу заменой неизвестной функции можно свести к задаче для неоднородного уравнения с однородными граничными условиями. Схема решения такой задачи изложена в гл. 1, в 3. Теперь обсудим характер сходимости полученных рядов. В качестве примера рассмотрим разложение, полученное для решения первой стандартной задачи: и1 = ~~~ А„" з(п ~/Л„в+ ~~~ В„" з1п Л/Л„в, (7.14) зЬ ~/Л„у, вЬ |/Л„(Ь вЂ” у) "вЬ /Л»»Ь 1 " в1ь./Л»Ь где Л„= ( —;"), а коэффициенты А„и В„определяются формулами (7.12) и (7.11).
Если фь(в) и фз(в) абсолютно интегрируемы на (О, а), то коэффициенты А„и В„ограничены: !.4» ! ( С, !В» ! < С при всех и . Поэтому общий член первого ряда при и -ь оо имеет следующий характер: вЬт/Л у — — "." 1ь-в1 А„— в(п Л(Л„в Се зЬ /Х„Ь Отсюда видно, что во внутренних точках прямоугольника ряд сходится экспоненциально.
Более того, если Ь/а» 1, при малых у (т.е. 89 вблизи основания прямоугольника у = 0) уже первый член ряда имеет порядок ехр( — я6/а). Коэффициенты А„определяются функцией фг(х), заданной на другой стороне (у = 6) прямоугольника. Следовательно, в этом случае влияние граничных условий, заданных при у = 6, на решение при малых у невелико и при вычислении можно ограничиться одним-двумя членами ряда. Аналогичный характер имеют члены второго ряда в (7,14), но они малы при 6/а» 1, когда у близко к 6.
При увеличении гладкости функций 16г и 16г сходимость рядов становится еще более быстрой. О О. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ Общая краевая задача для уравнения Лапласа может быть разбита на три стандартных. Стандартной задачей в данном случае называется задача, в которой неоднородные граничные условия заданы на двух параллельных сторонах («основанияхэ), а на остальной части поверхности («боковой поверхностно) граничные условия нулевые. Например, рассмотрим стандартную задачу (8.1) (8.2) (8.3) (8.4) 0<у<6, 0<г<6, Ли=О, 0<х<а, и[,-о = Юг(х, у), и[~=о = ргг(х~у) ~ Р[и][«=о, ~=1 = О, р=о, 'р=ь где Р[и) — оператор, соответствующий граничному условию третьего рода.
Для решения этой задачи сначала находим частные решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(х, у, х) = р(х, у)г'(г)фО О,,р г" — : — — = — Л. .(х, у) г(г) Отсюда Ьгр+Лр=О, 0<я<а, О<у<6, Р[рф*=о, *=« = О, р(х, у)у~0, ~р=о, 'р=ь (8.5) 90 (заметим, что отделена та переменная, по которой заданы неоднород- ные граничные условия). Подставляя в уравнение Лапласа и разде- ляя переменные, получаем г" ( ) — Лг( ) = О, О « ° Л.
(8.6) Задача (8.5) есть задача Штурма — Лиувилля для прямоугольника, рассмотренная в гл. П, В 3. Пусть (оп(х,у))1 и (Л„)~ — ее собственные функции и собственные значения соответственно. Общее решение уравнения (8.6) удобно записать в виде вЬ |/Лв вЬ 1/Л(Л вЂ” х) Е(в)=А +В, А,В=совет. вЬ |/ЛЛ вЬ |/ЛЛ Таким образом, частные решения уравнения Лапласа имеют вид вЬ 1/Х„х вЬ 1/Лп(Л вЂ” х) ) ип(х, У,х) = оп(х, У) Ап и + В„ вЬ |~л„Л и Теперь решение задачи (8.1) — (8А) запишем в виде разложения по этим частным решениям: и(х,у,в) = ~~~ оп(х,у) ~Ап +Вп ~~ (87) Г вЬ 1/Лов вЬ |/Х„(Л вЂ” в) \ вЬ |/ЛпЛ вЬ 1/ЛпЛ коэффициенты Ап и Вп которого определяются из граничных усло- вий (8.2), (8.3): а Ь 1 Ап аа / ~ рз(х,у)оп(х,у)11х8у, о о а Ь 1 Вп = 1 1О1(Х, У)вп(Х, У) ИХ ИУ.
~~ .~р! о о (8.8) (8.9) 91 Заметим, что функции У(х) взяты в виде, удобном при решении задачи с граничными условиями Дирихле по переменной г. При граничных условиях по х другого типа нужно соответствующим образом выбирать фундаментальную систему решений уравнения (8.6), так, чтобы «развязать» вычисление коэффициентов Ап и Вп . Аналогичным образом решаются две другие стандартные задачи с неоднородными граничными условиями по переменным х и у.
Легко видеть, что полученные ряды имеют тот же характер сходимости, что и для решения задачи в прямоугольнике (см. в 7). Рассмотрим несколько примеров решения задач. 1. Найти распределение потенциала внутри куба с ребром а, одна грань которого х = 0 поддерживается под постоянным потенциалом Уо, а остальные грани заземлены. Решение. Для потенциала и имеем следуюшую краевую задачу: сги=О, 0<х<а, 0<у<а, 0<«<а, и],=о = (Го, и],— „= О, и] -в — — и] = = и]в=в = и]в- — — 0 Решение этой задачи имеет внд ( вЬ ~/Л„~«вЬ |/Л„~(а — «) и =~~ ~ввв(х,у)] Авв +Ввь ], вЬ |/Л„~а вЬ |/Л„~а где и„в(х, у) — собственные функции квадрата с граничным условием Дврихле ггп хй и„в(х, у) = в(п — хяп — у, а а Л„,=( — ) +( — ) = — ',( '+Ь'), и, Ь = 1, 2,..., оо. Вычислим коэффициенты А„в и В„в: в в 1 ГГ хп, яй Впв =, Уввгп — хвгп — дг(хг(д= [] ..~г! l о о в а 4Уо Г хи Г, хй 4Уо = — г в1п — хг(х / вш — уг1у = — [1 — ( — 1)"][1 — ( — 1)"], а« ./ а,/ а явой о о А„ ь = О, и, Ь = 1, 2,..., со.
Следовательно, 4Увч ч [1 — ( — 1)"][1 — (-1)"]вЬ вЂ”,"~/й~+Ь (а — «) и«« — г~ ~ х и/е 1, . гсвг + у х яп — хвгп — у а а 2. Найти стационарное распределение температуры внутри параллелепипеда 0 < х < а, 0 < у < Ь, 0 < «< с, у которого на грани х = 0 поддерживается температура, равная Ау«, грани « = 0 и « = с находятся при нулевой температуре, а остальные грани теплоизолированы, А = сопвг. Решение. Стационарная температура и1х, у, х) определяется как решение следующей краевой задачи: Охи=О, 0<х< и!.«о = Ауе, ди) ди дх ~пп» ду а, 0<у(Ь, 0<8(е, и(, = и~,п, = О, = О. О=О ду Ъио и~,по = и~,п, = О, ди ди~ — = — ! =о. ду О=о ду Ьпь Они имеют вьщ тги .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
