А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 7
Текст из файла (страница 7)
5 14. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ШАРОВОГО СЛОЯ Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для шарового слоя Р (а < г < Ь): /Ли+Ли = 0 в Р, (14.1) ди Р1[и] = о1 — — дги дг (14.2) ди /22[и] = ог — — дги дг (14.3) и(г, )), 1/г) ф О, [о;[+ [д1] ~ О, 1 = 1, 2. Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному: Записывая решение в виде и = Н(г)и(В, р), подставляя в уравнение (14.1) и разделяя переменные, получим за- дачу Штурма — Лиувилля для функции е(0, 1р) на сфере г = а: Ьвве+вве=О, 0<0<я, 0<др<2л, ! !!в=о < е(В, дг) = е(0, р+ 2л), е(0, 1р) е 0 (14.4) и задачу Штурма — Лиувилля для функции Я(г) на отрезке а < г < Ь: (14.5) дИ Рд[В] = ад— Аг (14.6) =О, (14.7) гд в (Д!фО, в=1,2.
Собственными функциями задачи (14.4) являются сферические функции е = е„(В,уд) = У„д 1(В,~р), а собственные значения равны вв = вв„= п(и + 1), и = О, 1,..., пд = О, 1,..., и. Общее решение уравнения (14.5) при гг = п(п+ 1) имеет вид У„+цг(дГЛ ) Л„„„(Л') Л= С вЂ” +С (14.8) Подставляя (14.8) в граничные условия (14.6), (14.7), получим < Сдрд(Л, а) + Сгдд(Л, а) = О, Сдрг(Л, Ь) + Сгвг(Л, Ь) = О, (14.9) 53 дИ РгЩ = аг— Йг К(г) ф О, !ав(+ — ДВ + (уг1д где Приравнивая нулю определитель системы (14.9), получаем дисперси- онное уравнение для определения Л р1(Л, а) д1(Л, а) р,(Л,Ь) 42(Л,Ь) (14.10) Из (14.9) имеем р1(Л,а) 91(Л,а) Полагая С1 = а1(Л, а), собственную функцию запишем согласно (14.8) в виде /У = " д1(Л а) — " р1(Л, а), (14.11) 1 т или, учитывая (14.10), ввиде /2 Р1(, ) «+1/2('Г") (Л Ь) «+1/г(~Г ) (Л Ь) (14 12) Таким образом, собственные функции шарового слоя можно записать в виде а ь~~(т,д,)») = ~»+1/2( ) ( )»+1/2(1Г ) ( ) 1 )( т и = О, 1,..., п1 = О, 1, ..., и, /с = 1, 2, ..., (14.13) где Л = ˄— Ь-й корень уравнения (14.10) при каждом фикси(«+1/2) раввином и.
р1(Л, а) = о11ГЛ1„'+1/2(1ГЛа) — ()У1 + а1(л, а) = о1 Гль/„'+ /2(Гла) — (/у1 + рг (Л, Ь) — о 2ъ Л /«) 1/2 ( 1ГЛЬ) + (/уг дг(Л, Ь) = аг /ЛХ„'+1/2(ъГЛЬ) + (/Уг— 2 ) /»+1/ а11 2а/ а11 ) /)/»+1/г(1Гла), 2а/ 2Ь) ~ + / (~ЛЬ) 2Ь) ~»+1/2(' Л ). Вычислим квадрат нормы собственной функции: )~нводдд~~ = А„ь(г)У„(В, г)г ьйпВд1Вд1ддд)т = а о о ь / (У~ д д!г(д/Лю )гд(Л, а) — М„+д1г(ъГЛг)рд(Л, а)) д.Нгх а г х У„1~1 (д,ддд)о)пйЮд)1о = о о = ПВ" ~~'И .1-)И' (14.14) Квадрат нормы функции В о вычисляется так же, как в г 7.
Окон- чательная формула имеет вид >> >> д ~~п(д )~ (( ~ )д д(, ( +1/дг)1 )' ( ("~ 1/д) )1) одлд) Л=Л1"+ д 1. о 5 дв. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ФгдНКЦИИ ДЛЯ КРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Как уже ранее отмечалось, собственные функции с физической точки зрения представляют собой те виды установившихся колебаний, которые в данной области могут существовать без «подкачки» энергии извне. В квантовой механике задачи Штурма-Лнувилля возникают при вычислении уровней энергии стационарных состояний частицы в некотором силовом поле. Стационарное состояние частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается стационарным уравнением Шредингера дЛддд+ —.(Š— У(пд))дд' = О, 2дд вг (15.1) 55 где и — постоянная Нланка; дд — масса частицы, У(дп) — ее потенциальная энергия в силовом поле, д)д — волновая функция.
В этом уравнении Š— полная энергия частицы — играет роль собственного значения, подлежащего определению. Непосредственный физический смысл имеет не сама волновая функция 1у, а величина (щг, которая истолковывается в статистическом духе: выражение (ЩгИхИудг представляет собой вероятность пребывания частицы в элементарном объеме ИхИудг в точке (х, у,г) пространства. В соответствии с этим нормировка собственных функций к единице, которая неоднократно использовалась ранее в целях математической простоты, теперь приобретает иной смысл и имеет фундаментальное значение. Условие нормировки ~,У ~ г,~~,1„,1 (15.2) означает, что частица находится в какой-либо точке пространства и вероятность найти частицу где-нибудь в пространстве равна единице (достоверное событие). Условие нормировки (15.2) налагает также определенные условия на убывание волновой функции на бесконечности.
Таким образом, задача состоит в определении тех значений параметра Е (уровней энергии), при которых уравнение (15.1) имеет неправильное решение, удовлетворяющее условию (15.2). Рассмотрим несколько простейших задач. 1. Рармоиический осциллятор. Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора имеет вид (15. 3) ~гУ~г3х 1 (15.4) Итак, задача состоит в определении собственных значений Е и соб- ственных функций 4~ уравнении (15.3), удовлетворяющих условию (15.4). Введя безразмерные переменные 2Š— хо= —, Л= —, хо ~( ды йы перепишем уравнение (15.3) в виде Зги — +(Л ог)4=0, ,юг (15.5) где ы — собственная частота (циклическая) осциллятора.
Условие нормировки имеет вид Условие нормировки принимает вид Уравнение (15.5) есть уравнение для функции Эрмита') (см.также приложение 1 5), которое имеет ненулевое решение, интегрируемое с квадратом на всей оси з, лишь при Л = Л„= 2п+1, и это решение имеет вид Се 3 Н„К) 11Н„! ! где Н„(е) — многочлен Эрмита, ОН„'Π— его норма, причем 'ОНнй~ = / е о На(С)о(с, = 2ап(1/к. Используя условие нормировки, находим С: 1 С= —. з/ко Возврашаясь к старым переменным, получаем следующие собствен- ные функции и собственные значения: 1Ло 1/2ап!з/к ~,ео/ 1~ Е„= Ььо и+ -(, и =0,1,2,...
2/ ' Число и, определяюшее номер уровня энергии, называется главным квантовым числом. В низшем квантовом состоянии при и = О энергия осциллятора отлична от нуля и равна 1 Ео = -Воо. 2 См. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Снецианьнме функции математическая физики. Мо Наука, 1984. 2. Вычисление уровней энергии ротатора со свободной осью. Ротатором называется частица, вращающаяся на одном и том же расстоянии вокруг неподвижного центра в пространстве.
Поскольку потенциальная энергия У ротатора сохраняет одно и тоже значение при всех положениях вращающейся частицы, то можно считать У = О. Поэтому уравнение Шредингера для ротатора имеет вид Ь4+ — ЕФ = О. 2р йт (15.6) Введя сферическую систему (г, д, у) с началом координат в неподвиж- ном центре и учитывая, что для ротатора д~ — =0 дг из (15.6) получаем уравнение Ь~~~+ЛЮ =О, (15.7) где Л = 27Е/Ьт, Г = ргт — момент инерции. Таким образом, приходим к задаче на собственные значения для уравнения (15.7) с естественным условием ограниченности н условием нормировки: ге э / Ц'э(пВОЫ~ =1. а о Собственные значения сферического оператора Лапласа являются (см.
1 13) Л„= п(п+ 1), п = 0,1,..., а нормированные собственные функции имеют внд ,дг -:-пг= )! ,.> ~ а. Феп~( ~р) = Р~ (сов э) 1 2гю(п + гп)( 1, 8!пуф, йт Е„= — п(п+1), в=0,1,2... Заметим, что каждый уровень имеет (2п+1)-кратное вырождение, т.е. ему соответствует 2п+ 1 линейно независимая собственная функпия. вв где с = ~ ' и = 0,1,2,..., т = 0,1,2,...,п, Р„(я)— ( 1, Ф О, присоединенные функции Лежандра. Отсюда получаем формулу для квантованных значений энергии ротатора: 3. Математическая модель водородоподобного атома— движение электрона в кулоновском поле ядра. В атоме водорода электрон находится в электростатическом поле ядра (протона), так что потенциал У имеет вид е~ П= —— где г — расстояние электрона от ядра, -е — заряд электрона, е— заряд ядра. Уравнение Шредингера имеет вид 2д l ег~ Ьф+ — '( Е+ — ) т' = О.
5 (, ° ) (15.8) Будем искать отрицательные значения Е (уровни энергии), при ко- торых существует непрерывное во всем пространстве решение напи- санного уравнения, удовлетворяющее условию нормировки: (ф)тс1'г' = 1 (15.9) Введем сферическую систему координат (г, 9, у) с началом в ядре и будем искать решение уравнения (15.8) в виде Яг, д, 1э) = В(г) э(0, У) . (15.10) Подставляя (15.10) в (15.8) и разделяя переменные, получим уравне- ния для Я и щ НгЯ 2 сИ (2д/ его х1 — +- — +~ — ~Е+ — ) — — ~В=О (15.11) Йгт г Й ~ Лт 1, . ) гт ~ (15.12) ~аэто+ яе = О, где я — параметр разделения.
Уравнение (15.12) вместе с условием ограниченности при В = 0 и 0 = т и периодичности по у с периодом 2т дают задачу Штурма— Лиувилля для сферического оператора Лапласа, собственными значениями которой являются а собственными функциями будут сферические функции ш (В,1о) = У,1 (В,1р) = Р, (соеВ)( ~ 91п гп1р, 1 = О, 1, 2, ..., уп = О, 1, ..., 1. Рассмотрим теперь уравнение (15.11) для Щг).
Перейдем к без- РаЗМЕРИЫМ ПЕРЕМЕННЫМ: Р = —,, Е = в.-, ГДЕ а = -„-;У, Ее = ЛГ = — ', д Я Л* при этом будем помнить, что определяются отрицательные уровни энергии, т.е. е < О. Уравнение (15.11) принимает вид (РЯ 2 сЩ ( 2 1(1-1- 1) ) — + — — + ~26+ — — — г) 11= 0 Врг р с1р '1 р рг ) Введя новую неизвестную функцию у соотношением 1 11 = — у, получим уравнение Игу 1ф ( 2 а ( — + — — +~26+ — — — ) у=О, Ирг рИр ( р 4рг) (15.13) где а = 21+ 1. Сделав замену переменной х = р~/-36 (е < 0), приведем уравнение (15.13) к стандартному виду: г1 и ге х а Л ху + у~+ ~~Л вЂ” — — — ) у= О, 4 4х) (15.14) 1 где Л =— л/ — 26 Уравнение (15.14) есть уравнение обобщенных функций Лагерра'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
