А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Оно имеет интегрируемое с квадратом на [О, оо) решение при Л=Л„,=п,+, п„=0,1,2..., а+1 2 и это решение имеет вид а о у(х) = х г е г Ь (х), (15.15) 60 См. НикиВорое А.Ф., Уоороо В.В. Специальные функции математической физики. Мо Наука, 1964. где Е„, (я) — обобщенный полинам Лаггера. ( ) Поскольку о = 21 + 1 (1 = О, 1,... ), о+1 Л«, — — и,+ =и„+(+1=и, и =1,2, 2 Целое число и называется главным квантовым числом, и, — радиальным квантовым числом, 1 — азимутальным квантовым числом. Уровни энергии (отрицательные) определяются из соотношения 1 Л=Л„„= — =и, тт=1,2,..., ~-2е откуда !те Е =еЕа=-— 25аит ' и=1,2, Они зависят только от главного квантового числа и. Возвращаясь к старым переменным, собственные функции запишем в виде где коэффициент С определяется из условия нормировки (15.9).
Под- ставляя (15.16) в (15.9), найдем С: с= 2Лз1т (и ! 1)! (2!+ 1)(! ж ~ ~ ~ 3 | 2 и) 2и(и+1)! 2яе (1+ ти)! где еа — — 2 и е„, = 1, ти 11 О. Число ти (ти = О, 1,2,...,1) называется магнитным квантовым числом. Так как и, всегда неотрицательно (и, = О, 1,2,... ), при фиксированном и в силу соотношения и=и,+1+1 «-1 ~(21+ 1) = 1+ 3+ 5+ + (2и — 1) = и нш 61 квантовое число ! не может быть больше и — 1 (! = О, 1, 2,..., и — 1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа и число 1 может принимать и значений (1 = О, 1,..., и — 1), а каждому значению 1 соответствует 21+ 1 значений ти.
Отсюда следует, что заданному энергетическому уровню Е„, т.е, заданному значению и, соответствует различных собственных функций. Таким образом, каждый энергетический уровень имеет вырождение кратности по. Итак, нами найдены отрицательные уровни энергии. Особенностью уравнения (15.8) является то, что всякое положительное число Е является собственным значением уравнения (15.8), т.е. это уравнение имеет непрерывный спектр положительных собственных значений.
Исследование этого случая выходит за рамки настоящего пособия, и его можно найти в специальной литературе. о тв. зАдАчи для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти собственные значения и собственные функции отрезка -1 < х < 1 при граничных условиях: а) и( — !) = и(1) = О; б) — (-1) = — (1) = О; ь!х ах в) и(-1) = — (1) = О; Ыи дх г) — ( — !) = и(1) = О.
о!и дх 2. Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямоугольника О < < х < а, О < у < о с граничными условиями: в=о дх ~*=а ' э=о ду ~о-ь в) — > = — ! =О, — =и =О. ди~ ди! ди дх !*=о дх !*=а ' ду (о=о (о=ь г) по переменной х — периодические граничные условия с периодом а .! =. = ! =. = д) периодические граничные условия по обеим переменным: по х — с периодом а, по у — с периодом 6. 3.
Решить задачу Штурма — Лнувилля для кругового сектора О < < г < а, О < у < о с граничными условиями: дп ~э= д) — +Ьи! =О, и! =и! =О, Ь=сопей. ди 4. Решить задачу Штурма — Лиувилля для кругового кольца а < < т < Ь, О < у < 2я с граничными условиями: а)и! =О, — ! =О; в) — +Ьи! =О, и! „=О, Ь=сопзй. 5. Решить задачу Штурма-Лиувилля для кольцевого сектора а < < т < 6, О < у < о с граничными условиями: дм ди а) и! = и! = О, †! = †! = О; ди ди дт !т=а дт !т»Ь ' !т»О ™!у=» в) и!„».= — "1„ь — — О, и!,=и! =О; дю О дп дп !т=а дт !т=Ь ' дЬО!Ю»О ду !т»» ).1,=.= 1,=.= 1,=.=,— "1,=.= 6.
Решить задачу Штурма — Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда О < х < а, О < у < Ь, О < х < о с граничными условиями: дп~ ди! а) и!,=о = п)у»о = О, — ! = — ! = О; м=а !у ь дх а о дум»» — "! =, ! ду!у=о,у=ь !л=о,к=с ди в) †! = О, Я вЂ полн поверхность параллелепипеда; дп У г) — ! = — =О, и =О; дп~ ди дп!»»0,»»а дп!у=о,у=ь ди д) — + Ьи! = О, Я вЂ” поверхность параллелепипеда, п — внешдп 5 няя нормаль, Ь = сопео.
Т. Решить задачу Штурма-Лнувилля для прямого кругового цилиндра О < т < а, О < ~р < 2я, О < х < ! с граничными условиями: дп 6) — ! = О, Я вЂ” полная поверхность цилиндра; дп У 63 д) и!,=О, — ! =и! =О. 8. Решить задачу Штурма-Лиувилля для сектора прямого кругового цилиндра: 0 < г < а, 0 < оо < а, 0 < х < 1 с граничными условиями: а) и! = О, Я вЂ” полная поверхность; ди~ б) — ) = О, Я вЂ” полная поверхность; дп !з в) и = О, и = О, — = 0; ди !с=к ' !ю=о,и=а ' дх 1,-о,,ы г и =0 — =0 и =0; ди !г=а ' д !у=о,у=а ' !я=о,лы ди~ ди !с=а ' !и=о дп [,„' !а=о,гы 9. Решить задачу Штурма-Лиувилля для прямого кругового тора прямоугольного сечения: а < г < 6, 0 < 1о < 2х, 0 < х < ! с граничными условиями: а) условия Дирихле; б) условия Неймана; ди ди !с=а !с=о ' дх !зло дх !г=( ) и! = и! , = О, и! , = †" ! , = О; д) и!„= ! =ь О и!.=о и!.=г ди ди !с=а д, !с=о ' дх [~=о !~ы 10.
Решить задачу Штурма-Лиувилля для шаровой оболочки а < < г < 6 с граничными условиями: .) .!„. =.!„, = в г) — ! = и! = О. Ответы. 1. а) о)п — "",(х+!), Л„= Я), и = 1,2,... б) соо ~~~(х+1), Ло —— ("~~ ), и = 0,1,2,... в) о(п [к(и+ 1/2)(х+1)~, Л„= [$(и+ 1/2)~ г) соо [т,(п+ 1/2)(х+1)], Л„= [я(п+ 1/2)! и=0,1,2,... п= 0,1,2, в) (Увв(~/Лг)Ф.«(ГЛа) — У (итЛа)У«' (~/Лт))яп — '"~р, Л вЂ” корень уравнения Гл(у'..(Гль)уу- (Гл.) — у=-(/ла)м,'.(Гль)) =о; г) (У (й~т)И«в(~IЛа) — У«в(/Аа)М=(итог)) сов «" 1е, Л вЂ” корень уравнения Гл (у'..
( Гль) у у=-( Гла) — у=-( Гла)и',. ( Гль)) = о; д) (Ув<„+дуг)(~/Лг)гАУх1«+гуг1(ъ/Ла) — Хв<„+цг1(ъ/Ла)х х Фв<„+гуг)(«/Лг)) в(п Н(п+ 1/2)~Р, Л вЂ” корень уравнения Уа1 +цг1(~ГЛЬ) Мх(е+гуг1(~/Ла) — Ух(„+цг)(ъ/Ла)Ха1„+гуг1(~/ЛЬ) = О. 6. а) в1п — '"хяп ~™усов ~~в, Л = ( — ") + ( е ) + ( —,~) г) сое — "х сов «уяп ~~в, Л = («") + ( е ) + ( —;~); д) з1п(г/Агх + Ьг) яп(~/Лгу+ 6г) в1п(~/Лззв+ Ьз), Л = Лг + Лг + Лз, Л„(и = 1,2,3) — корень уравнения г~~/Л„1„= +~~~«, 1г = а, .А.+В« 1г = Ь, 1з = с, сов е« = ., в(п е, = ~, и = 1, 2, 3.
( сов т~р,, г Т. а) У (,/ит) сов в1-в~ Л = и+ ( —,), и — корень урав- 1( в1п пир, пения,У (~/иа) = 0; ( сов туг, „„г 6) У«,(~/йг) сов Уу-г~, ' Л = и+ ( — ", ), и — корень урав- 1 яппир, пения ~/й/1 («/йа) = О', ( сов лир, г в) У (,/иг) в(п — ', х~ Л = и+ ( —;), и — корень уравне- 1 в1п пир, ния ~/й/1 ( /йа) = 0; ( совтр, г г) Х ( /иг) яп -', (/с + 1/2)в ( Л = и+ (-", (Ь + 1/2)), и— з!п тф, корень уравнения ~/й,У' (ь/йа) = 0; ( сов т~р, г д) 3„,Яит)сов-(х+1/2)в~, ' Л = и+ [к(в+ 1/2)), и— яп тгг, корень уравнения Уя(,/йа) = О. Л=и+(!в),и— -"(и + 1/2)!р, /71(!/ыа) = О. 9. а) (1е(!/иг)№ Циа) — 1„(ь/йа)№Циг)) е!и ~~ в~ 1 в1ппу!, Л = и+ ( —,), и — корень уравнения 1„Цид)№Циа) — 1„(!/иа)№(/ид) = О; Г совлу, б) [1„Ц ит)/!/„'Ц ив) — /1 (!/ыа)№ Цит)) сов фх( е!и и!р, Л = и+ ( —,), и — корень уравнения ~/Л [~УЦыд)И„'(/иа) — ~1Циа)М„'Цид)) = О; ! совп1а, в) [1е(!/йг)№(,,/йа) — 1е( /йа)№(,/йг)) сов !ее~ в!п и!а, Л = и + ( †, ), и — корень уравнения 1„Цид)№ Цыа) — 1„(!/иа)У„(~/ид) = О; 1 совпр, г) [1„Яиг)№(,/иа) — 1е(!/иа)№(!/иг)[в!п ! (8+ 1/2)х~ в!п п1а, Л = и+ (-!(Ъ + 1/2)), и — корень уравнения 1„(/ид)№ Циа) — 1„(/иа)№ЦиЬ) = О; ! сое и!р, д) [1е Цйт)1!еЦиа) — 1еЦив)№Цйт)) в!п '!" х~ в!п и!р, Л = и + ( †, ), и — корень уравнения те х !/и [1„(~/ид)№ Циа) — 1„( ~ив)№( /ыд) ) = О; 67 8.
а) 1 (ь/йг) в1п к!д-х е1п — '" !р, ния 1 (~/йа) = О; б) 1 (/иг)сов фхсое — "!р, ния !/и1',(!/иа) = О; в) 1еа (!/йг) сое ~™- х в!п — "!р, ния 1.е(!/иа) = О; г) 1 Яит) в!п т-х сов ~" !р, ния 1 (~/йа) = О; д) 1таЯит) в!и ~™хе!п — "!р, ния ~/й1',.
( /иа) = О; е) 121„+х!хД;/ит) е!п х!-хе!п корень уравнения 1 1„+! ,е г Л = и+ ( ! ), и — корень уравне- Л = и+ ( !е), и — корень уравне- Л = и+ ( —,), и — корень уравнетй Л = и+ ( ! ), и — корень уравне- Л = и+ ( —,), и — корень уравне- е) (ат(Л/йг)тл/а (Л/иа) — /а(л/йа) ЬУ„(Л/йг)) сое -', (Ь+ 1/2)2( ( етпп(В, Л = и+ [-;(Ь + 1/2)~, и — корень уравнения ,/и [/1 (,/иь)((т„( /иа) — 1„Циа)//„'Циь) = О.
.У„( /Ла) ЛУ„(~/Лг) ) — "ттт— а г )х Л вЂ” корень уравнения та+1/2(Л/ЛЬ)Фа+1/2(ЛГла) /а+1/2(ГЛа)Фюъ+1/2(ГЛЬ) = О; В .У„( /Ла) Ут (т/Лг) ) Иа а г х т(а лГа т(Ь лГЬ т(Ь лГЬ т(а,Га ( /ла) лт„( /л ) ) а г )х Л вЂ” корень уравнения ,(,/„+ц2(Гль) л„+,/,( Гла) /„. ц (чГла) ( Ф„+1/ (~Гль) ,Га ТЬ Гь (Ь лГЬ лГ .1„,,(/ль) лу„,,(/л )) Л вЂ” корень уравнения ( .У„+ / ( /Ла) ( улт„+1/ ()ГЛа) ))У„„„( ЛЬ) — — ( ец,(/Ль) " =О, т(а Л/а т(а /а 68 1О ' ('"+' *('/л") "" ' "/л"' 10. а) а хР( )(саед) ( етпот(в, ао) ( У т 2(/Лг) Ю Ут т т(~/Ла) Юа а хР( )(сов 0)~ (, втппттут, Л вЂ” корень уравнения ( /„+ц2(.Гль) ( юв +1/2(лГла) в) ('У Ф ( /Лг) Ф ( УЛа) г а ( етптптут, ( З„,,(/Лг) ВУ„,,(/ЛЬ) ( сов пир, хР„( )(совр) ~ е!п птьа, т( У +1/2(ЛГла) т( тт/ +1/2(ГЛЬ) — О Глава Я КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Уравнение Лапласа является простейшим уравнением эллиптического типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
