А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При изучении краевых задач для уравнения Лапласа следует различать внутренние и внешние краевые задачи. Граничные условия вытекают из су1цества той физической задачи, математической моделью которой является краевая задача для уравнения Лапласа. Наиболее часто встречаются граничные условия первого (задача Дирихле), второго (задача Неймана) или третьего рода. Пусть Р— конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью (на плоскости — кривой) Ляпунова о'. Классическим решением внутренней задачи Дирихле будем называть функцию и(М), непрерывную в замкнутой области Р, удовлетворяющую в открытой области Р уравнению Лапласа и принимающую на поверхности д заданные значения: и~ = ~(Р)~ц.
Классическим решением внутренней второй или третьей краевой задачи будем называть функцию и(М), непрерывную вместе с первыми производными в замкнутой области Р, удовлетворяющую в открытой области Р уравнению Лапласа и удовлетворяющую на поверхности д заданным граничным условиям второго или третьего рода. Классическое решение внутренней задачи Дирихле Ьи = О в Р, п~ = у(Р)ц и внутренней третьей краевой задачи =ОвР, — +1 ~ =1(Р)~, ди дп з где п — внешняя по отношению к области Р нормаль к поверхности о', л(Р) > О, И(Р)~О, единственно. Решение внутренней задачи Неймана ди~ О,Р, ~ =~(Р)), дп )5 существует лишь при условии у(Р)дд = О 69 (это условие необходимое и достаточное) и определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Для выделения единственного решения внешней краевой задачи следует поставить дополнительное условие, описывающее поведение искомой функции на бесконечности. Для уравнения Лапласа таким условием является требование, чтобы решение было регулярно на бесконечности. При этом понятие функции, регулярной на бесконечности, в двумерном (плоском) и трехмерном случаях формулируется по-разному. В трехмерном случае функция и называется регулярной на бесконечности, если сушествует такая постоянная А > О, что вне некоторой сферы Я„(г > ге) имеют место неравенства А )и) < —, г А ) йгай и) < —.
гз' На плоскости функция и называется регулярной на бесконечности, если она на бесконечности имеет конечный предел. В трехмерном случае для гармонической функции требование и:ФО при г — >оо эквивалентно требованию регулярности на бесконечности. В трехмерном случае решения первой, второй и третьей краевых задач, регулярные на бесконечности, единственны (для третьей краевой задачи ди — + Ьи~ = ~(Р)~з ди ~з при й(Р) > О, если н — внешняя по отношению к области В, нормаль к поверхности Я). На плоскости опять выделяется внешняя задача Неймана, решение которой существует не всегда, а если существует — то не единственно и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Для решения краевых задач для уравнения Лапласа используются различные методы (метод разделения переменных, метод функции Грина, метод интегральных уравнений, вариационные методы, численные методы и др.).
В настоящем пособии рассматриваются метод разделения переменных и метод функции Грина. Рассмотрим метод разделения переменных решения краевых задач для уравнения Лапласа. Этот метод применим в том случае, когда граница области совпадает с координатной поверхностью (или состоит из частей координатных поверхностей) криволинейной системы координат, которая допускает разделение переменных в уравнении Лапласа. В настоящей главе будут рассмотрены краевые задачи для уравнения Лапласа в круге и вне круга, в круговом кольце, в круговом и кольцевом секторах, в прямоугольнике, прямоугольном параллелепипеде и прямом круговом цилиндре, в цилиндрическом секторе, в круговом торе прямоугольного сечения и его секторе, в шаре, вне шара и в шаровом слое. 5 т.
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ тРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Введем полярную систему координат (т, р) и построим частные решения уравнения Лапласа 1 д / ди1 1 дти Ьи= — — (т — ) + — — =О, тдт (, дт/ тг д~рг представимые в виде и(т, р) = В(т)Ф(Р) . Для этого искомый вид решения подставляем в уравнение Лапласа и разделяем переменные: (1.1) Отсюда получаем отдельно уравнения для В(т) и Ф(р).
Рассмотрим сначала уравнение для Ф(гр): Ф" + ЛФ = О. Будем считать, что переменная гр изменяется от О до 2я (случай, когда переменная гр изменяется в меньшей области: О < 1р < о < 2я, соответствует решению уравнения Лапласа в секторе и будет рассмотрен в 1 5). Если О < 1г < 2я, то решение (в силу непрерывности) должно быть периодично по р с периодом 2я. Следовательио, для определения функции Ф(р) получаем одиомерную задачу ШтурмаЛиувилля с условиями периодичности Ф" + ЛФ = О, О < р < 2я, Ф(р+ 2я) = Ф(гр) при любом р, Ф(р)~О. Эта задача имеет решение (см. гл. 11, 1 2) Г соя ар, Ф=Ф„(1)=~, ' Л=Л„= ', =О,1,..., ип пр, Из (1.1) с учетом найденных значений А„получаем уравнение для В(г): г2 он+ гН п2 — О Это уравнение Эйлера' >, и общее решение его может быть записано в виде В = К(г) = С1г" + Сзг ", и ф О, Ве(г) = С1 + С21пг, и = О.
Следовательно, построеиы следующие серии частных решений урав- иеиия Лапласа: (8(пп221 ' а) (1.2) Эти решения ограничены при г -+ О и неограничены иа бескоиечио- сти. Общее решение уравнения Лапласа в круге О < г < а записыва- ется в виде разложения по этим решениям: и(г,1о) = — + ~~~ г" (А„сов п12+ В„81пп12).
(1.3) Ао 2 н=1 1 ( соз п12 )( и„(г,уо) = — ~ . у, н = О, 1, шп пео б) (1А) Ао 1 н(г, 21) = — + ~~~ — (А„соа пео+ В„81п яр). (1.5) го н=1 в) Третья серия решений 1,)пг, " . ~, 1„. ~, =1 2,, (1б) Смл Тихонов А.Н., Ваонлоева А.Б., Свеыников А,Г. Дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1985. Эти решения ограничены иа бесконечности и неограничены при г -+ О. Оии используются при решении уравнения Лапласа вие круга. Об- щее решение уравнения Лапласа вие круга (г > а), ограниченное иа бескоиечиости, может быть записано в виде неограничена как при г — > О, так и при т -+ оо. Она используется при решении уравнения Лапласа в круговом кольце а < г < Ь. 1 2. КРАЕВЫЕ ЗАДА»1И,ЦЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНУТРИ КРУГА Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга 0<г<а: (2.1) Ли=О вкругеО(г(а, Ви Р(и] = о — + ди~,п» = )'(~р), (о)+ ф ф О. (2.2) Решение этой краевой задачи можно записать в виде разложения (1.3), коэффициенты которого определяются из граничного условия (2.2).
Но вычисления оказываются проще, если решение задачи (2.1), (2.2) записать в виде и(г, Р) = — + ~ ~„(А„соз»1о+ В„япп1о) (2.3) тп »=1 (13 ф 0). Подставляя (2.3) в граничное условие (2.2), получаем Ао — + ~~1 (Ап соз п~Р + Вп Яп и Р) = 1(У). 2 »=1 А» = — ) Д~р) соз п~рНО1, Вп = — / у(~о) з1п пу»1(у, о о п = О, 1, 2,... Выпишем отдельно решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге. 1. Задача Дирихле: и~т»» = у(г) и — .1.
~~1 Н (Ап соз по»+ В» Яп пр). 2 ~а п=1 (2.5) 2. Задача Неймана: ~"„~„», = 1(1») и т и = ~ (А» соз »1о + В» з1п тир) + С, па -1 п=1 (2.6) тз Следовательно, Ап и Вп есть коэффициенты Фурье функции ~(1») по системе тригонометрических функций (созпО», яппи), которые вычисляются по формулам где С вЂ” произвольная постоянная.
Напомним, что решение внутрен- ней задачи Неймана существует только при условии г» / Ум)др = О о (это условие необходимое и достаточное) и определяется с точностью до произвольной постоянной. 3. Третья краевая задача: — + Ьи~ = )(р), Ь = сапог, ди дг и = — + 5 „,(А«ооон~о+В«япир). (2.7) 26 (и+ аЬ)а« «=1 Коэффициенты в разложениях (2.5) — (2.7) определяются по формулам (2А).
Остановимся кратко на вопросе о сходимости рядов (2.5) — (2.7). Если граничная функция 7'(у) абсолютно интегрируема, то ее коэффициенты Фурье, по крайней мере, ограничены, и, как видно из структуры указанных рядов, эти ряды будут в любой внутренней точке круга (г < а) сходиться не хуже, чем геометрическая прогрессия со знаменателем д = г)а. При увеличении гладкости функции )(1о) сходимость указанных рядов улучшается. На получении строгих оценок скорости сходимости мы здесь не останавливаемся. 1 3. кРАВВые зАдА»7и для УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВНЕ КРУГА Рассмотрим теперь внешнюю краевую задачу рзи = О вне круга (г > а), Р[и] = о — — р'и~ = Д~р), ди дг »=и и регулярна на бесконечности. Ао и(г,~р) = —— 2д + ~~~ '" (А«сооп1о+В„япи~р) = [,"-)[.«. Р[ — ) «+1 -~-( д)- а (А„сооп1р+ В„япп1о) (оп + да) и« «=1 Ао (3.1) Напомним, что в двумерном случае регулярность на бесконечности означает, что функция и имеет конечный предел при г -+ оо.
Решение этой задачи можно записать в виде разложения (1.5). Но, как и для внутренней задачи, решение удобнее представить в виде (при д ф О). Коэффициенты А» и В» определяются из граничного условия и вычисляются по формулам 1 А» = — ( Д1о) соя п1оо(ог, о ог 1 В» = — / У(~р) я1пп~рг1Р, о (3.2) п=0, 1, 2, Отдельно выпишем решения первой, второй и третьей краевых задач вне круга. 1. Задача Дирихле: и~ = ~(~р) (а=0, д= — 1), о = — + ~~ Н (А» соя пзбг+ В» я1п п~о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
