А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов - Задачи по математической физике (PDF) (1125169), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2 ~г) »гн (3.3) 2. Задача Неймана: — / = Д(~р) ди дг г=а (а=1, д=0), »+1 и = — ~ — — (А» соя ног+ В» я1п п~р) + С, (ЗА) г» »=1 где С вЂ” произвольная постоянная. Опять напомним, что на плоско- сти внешняя задача Неймана разрешима лишь при условии и ее решение определяется с точностью до постоянного слагаемого. ди 3. Третья краевая задача: — — Ьо = Д1о), (а = 1, д= Ь), ' дг (г»» »+1 о а и=- — — ~~ (А» соя п1о+ В» шп п1о). (3.5) 2Ь (и+ оЬ) " 1 4. КРАЕВЫЕ ЗА,ЦАНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ Разберем теперь решение краевой задачи для уравнения Лапласа внутри кругового кольца. Коэффициенты А» и В» в разложениях (3.3)-(3.5) являются коэффициентами Фурье функции Д1о) и вычисляются по формулам (3.2) .
Рассмотрим сначала задачу Дирихле сьи=О вкольцеа<г<Ь, и!,л, = Л((а), и),=ь = Ь((а). Решение этой задачи можно записать в виде разложения по частным решениям (1.6). Но вычисления значительно упрощаются, если при каждом и построить систему фундаментальных решений (Вй (г), Вй (г)) уравнения (ь) 2Ви+ гВ' и2В = О, (4.3) удовлетворяющих граничным условиям В(а)(а) = О, В(~)(Ь) = О. Поскольку общее решение уравнения (4.3) имеет вид В= С)+С21пг В = Сьгг + Стг мы, подбирая коэффициенты С1 и С2, легко построим нужные реше- ния.
Они определяются с точностью до числового множителя, и их можно взять, например, в виде В(е )(г) = 1и —, Ь2л 2» В(ь)(г) г ъ и ф О. (а) (ь) Построив функции В„и В(, получаем систему частных решений уравнения Лапласа: и(а)(, ) В(а)(.) соелп» (ь)(г ) В(ь)(.) соаиУ и ~ О (а1пиу) ' " ' " ( е(пиьь( ' иь (г,(ь) = 1и —, (ь) г ие (г,)ь) = 1п —, (а) а (4.4) ограниченных внутри кольца и удовлетворяющих граничным условиям (4.5) Заметим, что и(")(„=ь )ь О, и„/ лафО. (ь) Вь()(г) = 1и —, а 2» а2п В(')( ) = гп при и = О, при и ф О, (4. 1) (4.2) .2«, 2« 1« — —" + Ъ „— (Ап соз па2+ Вп з1п п(а)+ 2 1п ь аг 62» а2» гп а п=1 1.2«1« — (Сп соа тиР + В«з1п п(2). Ао 1п -', п(г,(о) = — —;+ 2 1п» 12« '~.': Ь2- «=1 (4.6) Подставляя (4.6) в граничное условие при г = а и учитывая (4.6), получаем Со — + ~ (С«сов«(а+ В«а1пп(2) = ~1((а).
2 «=1 Отсюда находим Сп и В«: 1 Сп аа — / у1(уа) СОЗП~ОИ(Г, о 2» 1 В« = — /( у1 ((а) ьйп п(21(у. о (4.7) Аналогичным образом, подставляя (4.6) в граничное условие при г = 6, находим коэффициенты Ап и Вп: 1 1' Ап — — — / 6((а) сов пух(р, о 1 Вп ап — / ~2((а) аШП(»И(а.
о (4.8) Таким образом, построив предварительно радиальные функции (а) (ь> В„(г) и Яй (г), удовлетворяющие нужным однородным граничным условиям при г = а и г = 6, нам удалось «развязать» граничные условия, заданные при г = а и при г = 6. Аналогичным образом можно поступать и при решении других краевых задач для уравнения Лапласа внутри кольца. При построении радиальных функций В„(г) для граничных условий второго рода следует иметь в виду, что при и = О не существует двух линейно независимых решений уравнения (4.3), одно нз кото- (Л('1 (»1 рых удовлетворяет условию ' = О, а другое — ' = О.
Йг .«Ь Теперь решение краевой задачи (4.1), (4.2) можно записать в виде разложения по этим частным решениям: Обоим этим условиям удовлетворяет одно и то же решение Вь(т) = 1. При и ф. 0 нужную пару фундаментальных решений образуют функции т2» ) о2» т2» 1 Ь2» ВОО( ) = „ , ВИ)( ) = , ( Ф 0). Поэтому решение задачи Неймана внутри кольца а < т < Ь; !хи=О в кольце, ди) — = Л(р), =а ди — = Ь(ю) дт =ь удобно записывать в виде ряда Со Вй )(т) и(т,1а) = — 1пт+ ~~~~, (А„соэп)а+ В„а)впар)+ .= Л(а)'(Ь) В(ь)(т) + ~' '~, (Сп соэп)а+ 1)»э!пи)а) +сопзь, »пм В„(а) !ь)' (4.9) коэффициенты которого определяются из граничных условий по формулам (4.7), (4.8) при и ф О, коэффициент Сь равен а Ь Сь = - у! У Р) ЬР аа — у! У2(Р) ЬР, (4.10) а сопзь — произвольная постоянная. Равенство (4.10) противоречия при произвольных функциях !2()а) и 72(р) не содержит, поскольку оно соответствует условию разрешимости задачи Неймана ди — ~!! = / (ЬУ2()а) — а~2()а))И)р = О.
дп с о т2» о2» Ьп 1 (а) рт1» Ь2» О2» тп (а 2» ~Ь! Г! — (-) Ь 1- у (ь) ь- (ь) В„"(.) Л1»)(Ь) Рассмотрим вопрос о сходимости полученных рядов. Рассмотрим, для примера, ряд (4.6). Поскольку при а < т < Ь д~ )(г) Ь2» 1.2» оп о» <(' '1 ЯЬ)( ) Ь2п 82п Г.» — ~1.) ,»Ьи = О, 0<»<а, 0<18<2л, Гà — 1Р и~ — и 2 Решение. Общее решение задачи Дирихле внутри круга можно записать в виде и= — +~~1 ~-) (Апсоапьо+В»81ппу). 2 а »=1 Коэффициенты ряда определяются из граничного условия по фор- мулам Гà — 1Р соа »1р Игр = О, 2 о 2» Гà — 22 1 81п »ГоИР = —. 2 и о 1 А» =— л 1 В» =— 1Г Следовательно, ] 1» п(г, 1Р) = à — ( — ) 81П »1Р.
п=1 2. Внутри кольца а < г < Ь решить краевую задачу Гав=О, ди ~ — = 81п21р, дг ~,п, и(, ь — — 1+ соагр. Решение. Радиальные решения, удовлетворяющие однородному граничному условию при г = а, имеют вид »2» + 82» В~'1(г) = , и ~ О, В~1'1(г) = 1, ряды в (4.6) сходятся внутри кольца а < г < Ь не хуже, чем геометрические прогрессии. При увеличении гладкости граничных функций Д(гр) и Ь(гр) скорость сходимости увеличивается.
Рассмотрим примеры решения задач. 1. Внутри круга решить краевую задачу а удовлетворяющие однородному граничному условию при г = Ь— Ьь» гв» Т11(~)= „, Фо. То( 1(г) = 1п —, Поэтому решение поставленной задачи можно записать в виде и(г,1о) = — + ~~~ (А»соя»1»+ В»в1ппр)+ 2 ф)(Ь) „ , В,",1(Ь) С Т~1 1(~) Т( 1(г) + ~ + ~~~ ~ (С»совпав+ Р»я1ппф). То (а)»»а Т» 1 (а) 2 1ь) 1ь) Подставляя в граничное условие при г = а, получим Со г — + у (С„совп~р+Р„в(п»1о) =в1п2р.
2 »»и Отсюда находим С»=0, п=О, 1,..., Рв=1, Р»=0, пуЬ2. Отсюда Ао=2, Аь=1, А»=0, пф0,1, В»=0, »=1,2, Следовательно, и(г,1о) = 1+ сов~р+, я1п2Ьо= В,"(Ь) Т1ьр(,) а гв + ао ав Ь4 г4 + г я соя~р г о о в)п2р' 3. Для задачи Дирихле внутри круга: Ьи = 0 в круге 0 < г < а, ~.». = УМ) во Подставляя общий вид решения в граничное условие при г = Ь, получим Ао — + ~~~ (А»соя»во+В»в)ппу) = 1+сов1о.
2 »=1 вывести формулу Пуассона 1 /' (а — г~) ~(о) Ио и(т, р) =— 2я у аз+ гт — 2агсов(~р — а) о Решение. Решение задачи Дирихле в круге может быть записано в виде ряда Ао т и = — + ~~~ ( — ) (А„сов поо+ В„в1ппр), ..., (4.11) 2 а и=1 коэффициенты которого определяются формулами 1 А„= — у1 у(а) сов поо(о, о 1 В„= — / у(о) в(пиона.
о Подставляя значения А„и В в (4.11) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим от 1 Г а и(г,~р) = — / у(о)(1+2~~ (-) сова(1о — о))Иа. о п=1 т Поскольку (см. приложение, О 3) при — < 1 ~-( ) г а ао — гт 1+ 2 ( — ) сов п(1о — о) = ~а/ аз+то — 2атсов(р — о) ' можем записать 1 ~ (а — т~)~(о) Ио и(г,~р) = — 1 о 2я у аз+ го — 2атсов(~р — о) о При непрерывной функции у(р) формула Пуассона дает классиче- ское решение задачи Дирихле в круге. 4.
Построить интегральную формулу, аналогичную формуле Пуассона, для решения внутренней задачи Неймана для круга. Решение. Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана для круга: Ьи = О в круге О < т < а, ди — = Пр). дт,, Считаем, что задача разрешима, т.е. 2л Г г(1 = а Г(гр) г(уг = О. с о Решение поставленной задачи можно записать в виде ряда п т и = ~ 1(А„соопуг+ В„вгппгр)+сопя!, Паи — 1 »=1 коэффициенты которого определяются формулами 2л 1 Г 1 А„= — / Г(а)совпаг(а, В„= — ( Г(а)а!ппаг1а. Подставим значения А„и В„в ряд и поменяем порядок интегриро- вания и суммирования: 2л и(т,гр) = — / Г(а) ~~г (соопасоапгр+агппае!пп!о) гга+ Паи-1 о »=1 + сопя! = 2л = — / Г(а) ~ — ~-) сооп(!о — а) гга+сопо$.
о »=1 Поскольку при !1! < 1 (см. приложение, 2 3) 1 „ 1 — 1" соо и!3 = 1и гтг:гг, Лгг ' можем записать и(т !2) = — / Г(а)!и а2+ тт — йат соа(р — а) г(! + сепо!. с. Эта формула дает решение внутренней задачи Неймана для круга (она аналогична формуле Пуассона для задачи Дирихле внутри кру- га) . 1 з. кРАеВые 3АДАчи ДлЯ УРАВнениЯ ЛАПЛАСА В КРУГОВОМ СЕКТОРЕ Аналогичным образом можно решать краевые задачи внутри кругового сектора (О < т < а, 0 < 1о < а) и кольцевого сектора (а < т < Ь, 0 < у < а) при условии, что граничные условия на лучах зо = 0 и оо = а однородные.
Действительно, рассмотрим краевую задачу внутри кругового сектора: Ли=О, 0<т<а, 0<~р<а, (5.1) и[,=. = У(р), (5.2) ди Рз[и] = аз — — дзи = О, д~р,=о (5.3) Р4[и] = ао— ди д1о (5.4) +д4и = О, т=а [а,[ + [д;[ ф О, 1 = 3, 4. Сначала найдем частные решения вида (5.5) и(т, р) = В(т)Ф(~р). Подставляя (5.5) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, по- лучаем для определения Ф(у) задачу Штурма-Лиувилля на отрезке 0<у<а: фи+ Лф = О, 0 < 97 < а, Рз[ф] = азф' — дзф[ -о = О Р4 [ф] = а 4 Ф' + до Ф! т и = 0 (5.6) и задачу для определения В(т): тзВ" + тВЯ вЂ” ЛВ = О, 0 < т < а, [В(0)[ < оо. (5.7) В(т) = Ст~», С = сопзо.
83 Задача (5.6) решена в гл. П, з 1. Ограниченное при т = 0 решение уравнения (5.7) имеет вид Таким образом, построено семейство частных решений уравнения Лапласа, ограниченное при г = 0: и„(г, 1о) = г'"~" Ф„(1о), и = 1, 2,..., (5.8) где Ф„(ог) и Л„> 0 — собственные функции и собственные значения задачи (5.6) для отрезка 0 < р < а. Поэтому общее решение уравнения Лапласа внутри кругового сектора можно записать в виде и(г,1о) = ~ С„н Ф„(р), »=1 (5.9) а коэффипиенты С„определяются из граничного условия (5.2); (5.10) Если граничное условие при г = а есть условие третьего рода Рг[и] = ог —" + дги = У(~р), ]аг[+ [дг] Р О, ди дг то общее решение уравнения Лапласа удобно записать в виде Ь а.
кРАеВые 3АДАчи ДлЯ ЕРАВнениЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕВОМ СЕКТОРЕ Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнения Лапласа внутри кольцевого сектора (а < г < Ь, 0 < 1о < о) с однородными граничными условиями на лучах р = 0 и 1о = о: Да=О, а<т<Ь, 0<В<о, (6.1) Рг[и] = ог — — дги ди дт = Л(р) (6.2) Рг[и] = ог — + дги ди дг = Ь(р), Рз[и]] о = О, Р4[и]] = О, [а;] + [Д ] ф О, (6.3) 1 = 1, 2, 3, 4. и(г, ~р) = ~~~ С„у н Ф„(1о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
